Sur les varietes riemanniennes jouissant de bons transports optimaux

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Sur les varietes riemanniennes jouissant de bons transports optimaux Ludovic Rifford Universite de Nice - Sophia Antipolis (en collaboration avec A. Figalli et C. Villani) Ludovic Rifford Sur les varietes TCP

  • application de transport entre µ0

  • rn ?

  • rappels de geometrie riemannienne

  • support compacts dans rn

  • cout quadratique

  • probleme de transport optimal

  • varietes tcp


Publié le : lundi 18 juin 2012
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Sur
lesvari´et´esriemanniennesjouissant bons transports optimaux
Ludovic Rifford
Universit´edeNice-SophiaAntipolis
(en collaboration avec A. Figalli et C. Villani)
LudovicRiordSurelsavrie´t´esTCP
de
I.
Intro
duction
Ludovic
Rifford
Sur
les
vari´et´es
TCP
Porlbe`emgnoMedlanRsnadespantrdeimpttoorcivoduLrivaesrlSurdoRiP
|T(x)x|dµ0(x). Rn
Existence?t´eniciU?R´ege´tiralu?
Soitµ0etµ1deuxtrop`se´pusaedrpruselitibobames compactsdansRn. On appelleapplication de transportentreµ0etµ1toute application mesurableT:RnRntelle queT]µ0=µ1, c’est `adire
´ Proble`medeMonge: Etude des applications de transport T:RnRnenisectlutoˆtrdepsnatrouqminimi Z
µ1(B) =µ0T1(B),BmesurableRn.
e´´tseCT
elsdeg´eRappirmenainmoe´rteineente´iravselruSdroicRvidoLu
Pour toutxM, on appelleexponentielle enx, lapplicationde´niepar
expx:TxM−→M v7expx(v) :=γv(1),
`v: [0,1]Metd´galtseiqesd´eoanrtpauexavec vitesse ouγv particulier,. En
dg(x,expx(v))longg(γv) =pgx(v,v) =:kvkx.
CP
Soit (M,geconpactecomiennedenexne)ueirennamirav´te´ dimensionn2 etdglaceanstdieuqise´doe´gsurM.
´esT
innameirsennepsrorTnamilaottpesvasurlt´esri´e
c(x,T(x))dµ0(x) M Existence?U´teinic?ularR´egit´e?
Soitµ0, µ1eudesxmetilibaborped)sneenli´eor(besurµ0, µ1 ´ surM. ´ Proble`medetransportoptimalquadratique: Etude des applications de transportT:MM(T]µ0=µ1) qui minimisent Z
rivat´´eTCes
Soitc:M×M[0,) leuˆqtaurdtaqieucoenipar´d
c(x,y2):=1dg(x,y)2x,yM.
PcivooiRuSdrselrLud
etLsT´eeti´
µ0p.p. xRn.
T(x) = expx(rψ(x))
c(x,T(x))dµ0(x). M
En fait, il existe une fonction semiconvexeψ:MRtelle que
Th´eore`me(McCann01) Siµ0epnutionorppraarsemala`tederuseatsblomunect Lebesgue, il existe une unique application de transport optimalepourlecouˆtdetransport Z
CProSdRcivsrarueldoviLueoh´emr`eBednireM-renaCcn
PCri´et´eTLapropiRodruSLduvoci
µ0=ρ0volg, µ1=ρ1volg,
l’application de transport optimale entreµ0etµ1est continue.
P
Onditquelavari´et´eriemannienne(M,gv´)eierTCP(pour TransportContinuityProperty)silaproprie´te´suivanteest satisfaite :
Pourtoutepairedemesuresdeprobabilit´eµ0, µ1associ´ ` ees a desopisemtncietssrtstivedueinntcoest´sienρ0, ρ1est,ca` dire
t´´eTCesesrlriva
I
I.
Conditions
ne´cessaires
Ludovic
Rifford
Sur
les
variete´s ´
TCP
The´or`eme(Villani09,Figalli-R-Villani) Si(M,g)re´vei(TCP)es,loppr´eri´tseusvinaetssnot satisfaites : touslesdomainesdinjectivit´essontconvexes, ˆ le cout c=12dg2esguliterr´.e
PTC´tseire´seavuSlrordicRiudovL´esnontidionCseriassec
tivie´nidtcejmaDoesinTCP
.
SoitxMlle´xpaep.enOdomaine d’injectivitedex, le ´ sous-ensemble deTxM´deinapr I(x) :=TxMγv entreest l’uxet expx(v) vinemisimteanuqine´gee´douqis
Cestunouvertborne´´etoil´e(parrapporta`0TxMbaro`)d Lipschitz.
ri´et´esLovudlruSavseiRcidro
oCuˆst´rgeluiers
Lecoˆutc=12dg2/2 :M×MRest ditegr´ieulr, si pour toutxMet toutv0,v1∈ I(x), on a
CPsT´eeti´arsv
pour toutx0M, avecyt:= expxvt.
cx0,ytc(x,yt)mincx0,y0cx,y0,cx0,y1cx,y1,
et
vt:= (1t)v0+tv1∈ I(x)t[0,1],
LuruelroSdRciodiv
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