Systemes trois deux

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Systemes trois-deux Dedou Octobre 2011

  • meme croquis

  • systeme compatible

  • grosse ficelle

  • e1 ?

  • troisieme quelconque

  • combinaison lineaire de e1


Publié le : samedi 1 octobre 2011
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Source : math.unice.fr
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Syst`emes
trois-deux
D´edou
Octobre
2011
Monpremiersyst`emea`trois´equations
R´esoudrelesyste`meauxdeuxinconnues x et y : x + 2 xx yyy ===11 1 .
c’est calculer l’intersection de trois droites du plan.
Exor´esolu a)Dessinezlestroisdroitescorrespondantessurunmˆemecroquis. b)Lesyste`meest-ilcompatible,autrementdita-t-ilunesolution?
Commentfaireunsyst`emecompatible?
Si on prend trois droites ”au hasard”, elle n’auront pas de point commun. Comme t faire pour qu’elles en ait un ? Y’ n a une grosse ficelle : Jeprendsdeuxfoislamˆeme´equation,ou,a`peineplussubtil,je prendsdeuxe´quationsproportionnelles(etlatroisi`eme quelconque).
E ´ olu xo res Utilisezcettegrossecellepourfabriquerunsyste`mecompatible detrois´equations`adeuxinconnues.
Une solution plus subtile
Jeprendsmesdeuxpremie`res´equations E 1 et E 2 ”au hasard”, par exemple x + y = 1 et x y = 1 mais pour E 3 je prends une combinaisonline´airede E 1 et E 2 par exemple 3 E 1 2 E 2 . J obtiens lesyst`eme
qui est compatible.
x + y = 1 x y = 1 x + 5 y = 1 .
Lepremierprincipefondamentaldessyst`emesde´quations
Lepremierprincipefondamentaldessyst`emesd´equationss´enonce comme suit :
Onnechangepaslessolutionsdunsyste`meenluiajoutantune ´equationquiestcombinaisonline´airedesautres.
Evidemment,onpeutleformulera`lenvers:
Onnechangepaslessolutionsdunsyst`emeenluiretirantune e´quationquiestcombinaisonlin´eairedesautres.
Etmeˆmecased´emontre! ¸
La preuve du premier principe fondamental I
Ontraıˆtenotrecasparticulierdedeuxe´quations`adeuxinconnues etdelacombinaisonline´aire E 3 := 3 E 1 2 E 2 ,lecasge´ne´ralest pareil. Onalesyst`eme S
A 1 ( xx ,, yy ))== AB 22 (( xx ,, yy )) B 1 (
etlesyste`me S 0 , y ) 2 AB 11 (( xx ,, yy ))==3 A 2 A ( 2 x ( , xy , ) y ) 2 B 2 ( x , y ) , B 1 ( x , y ) = B 2 ( x , y ) 3 A 1 ( x et on doit montrer
S S 0 .
La preuve du premier principe fondamental II
Dans un sens, 3 A 1 ( x , y ) 2 ABB 111 ((( xxx ,,, yyy )))===3 AB 22 A (( 2 xx ( ,, xyy , )) y ) 2 B 2 ( x , y )
A 1 ( x B 1 ( x ,, yy ))== AB 22 (( xx ,, yy ))
onatroishypoth`esesetdeuxconclusionsquisontdeshypoth`eses, trop facile.
La preuve du premier principe fondamental III
Dans l’autre sens,
A 1 ( x , y ) = A 2 ( x , y ) B 1 ( x , y ) = B 2 ( x , y )
A 1 ( x , y ) = A 2 ( x , y ) B 1 ( x , y ) = B 2 ( x , y ) 3 A 1 ( x , y ) 2 B 1 ( x , y ) = 3 A 2 ( x , y ) 2 B 2 ( x , y )
onadeuxhypoth`esesettroisconclusionsdontdeuxsontdes hypoth`eses.Restelatroisie`me.
La preuve du premier principe fondamental IV
AB 11 (( xx ,, yy ))== BA 22 (( xx ,, yy ))
3 A 1 ( x , y ) 2 B 1 ( x , y ) = 3 A 2 ( x , y ) 2 B 2 ( x , y ) .
Ca se voit bien (enremplac¸ant A 1 ( x , y ) par A 2 ( x , y ) et B 1 ( x , y ) par B 2 ( x , y )).
Lare´ciproque
Onadonctrouve´uneconditionsusantepourquunsyste`mede troise´quationslin´eairesa`deuxinconnues,dontlesdeuxpremie`res ontunesolutioncommune,aitunesolution,cestquelatroisie`me e´quationsoitcombinaisonline´airedesdeuxautres. Etilyaunere´ciproque:
Th´eore`me Siunsyst`emedetroise´quationsline´aires`adeuxinconnuesaune solution,alorslunedecestroise´quationsestcombinaisonline´aire des deux autres.
Quelleestle´quationsuperue?
Doncsinotresyst`emedetrois´equationsli´eairesa`deuxinconnues n aunesolution,lunedecestrois´equationsestcombinaisonline´aire des autres, ok mais laquelle ? Supposons par exemple que ce soit la seconde, E 2 . On a donc E 2 = aE 1 + bE 3 .
si a (resp. b ) est nul, E 2 et E 3 (resp. et E 1 ) sont proportionnelles. si au contraire a et b sont non-nuls, alors on a b E E 1 = a 1 E 2 a 3 et E 3 = 1 b E 2 ab E 1 .
Conclusion Siunsyste`medetrois´equationslin´eairesadeuxinconnuesaune ` solution,soitdeuxdeces´equationssontproportionnelles;soit chacunedecestrois´equationsestcombinaisonlin´eairedesdeux autres.
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