Systemes trois deux

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Systemes trois-deux Dedou Octobre 2010

  • meme croquis

  • grosse ficelle

  • e1 ?

  • combinaison lineaire des equations x2

  • troisieme quelconque


Publié le : vendredi 1 octobre 2010
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Source : math.unice.fr
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Syst`emestrois-deux
D´edou
Octobre 2010
Monpremiersyst`eme`atrois´equations
Re´soudrelesyste`meauxdeuxinconnuesxety: x+y= 1 xy= 1 2xy=1. c’est calculer l’intersection de trois droites du plan. Exo 1 a)Dessinezlestroisdroitescorrespondantessurunmeˆmecroquis. b)Lesyste`meest-ilcompatible,autrementdita-t-ilunesolution?
Commentfaireunsyst`emecompatible?
Si on prend trois droites ”au hasard”, elle n’auront pas de point commun. Comment faire pour qu’elles en ait un ? Y’a une grosse ficelle : Jeprendsdeuxfoislamˆeme´equation,ou,a`peineplussubtil,je prendsdeux´equationsproportionnelles(etlatroisie`me quelconque). Exo 2 Utilisezcettegrossecellepourfabriquerunsyst`emecompatible detroise´quationsa`deuxinconnues.
Une solution plus subtile
Jeprendsmesdeuxpremie`rese´quationsE1etE2”au hasard”, par exemplex+y= 1 etxy= 1 mais pourE3je prends une combinaisonline´airedeE1etE2par exemple 3E12E2. J’obtiens lesyste`me x+y= 1 xy= 1 x+ 5y= 1. qui est compatible. Exo 3 Donnezunautresyst`emecompatibledetrois´equationsa`deux inconnuesnonproportionnellesdeuxa`deux.
Lepremierprincipefondamentaldessyste`mesd´equations
Lepremierprincipefondamentaldessyste`mesd´equationsse´nonce comme suit : Onnechangepaslessolutionsdunsyst`emeenluiajoutantune e´quationquiestcombinaisonlin´eairedesautres.
Evidemment,onpeutleformulera`lenvers:
Onnechangepaslessolutionsdunsyst`emeenluiretirantune ´equationquiestcombinaisonlin´eairedesautres.
Etmeˆmec¸asede´montre! Exo 4 2 Ecrivezunecombinaisonlin´eairedes´equationsx+y= 1 et 2 x+y= 3.
La preuve du premier principe fondamental I
Ontraˆıtenotrecasparticulierdedeuxe´quationsa`deuxinconnues etdelacombinaisonlin´eaireE3:= 3E12E2g´as´eenec,ltsarel pareil. Onalesyst`emeS A1(x,y) =A2(x,y) B1(x,y) =B2(x,y) 0 etlesyst`emeS A1(x,y) =A2(x,y) B1(x,y) =B2(x,y), 3A1(x,y)2B1(x,y) = 3A2(x,y)2B2(x,y) etondoitmontrerquilsontlesmˆemessolutions.Pourcela,on doit montrer deux choses : 0 que toute solution deSest solution deS, et 0 que toute solution deSest solution deS.
La preuve du premier principe fondamental II
0 Toutesolutiondugrandsyst`eme(S) est aussi solution du petit (S) : 0 en effet, si (x,ye´uqlsseuoetitev´er)densioatS´elv,iissuaeir touteslese´quationsdeSpuisquecesontaus,eedisqe´sitaudsno 0 S.
La preuve du premier principe fondamental III
Toutesolutiondupetitsyste`me(S) est aussi solution du grand 0 (S) : soit (x,y)´vreinaltseedux´equationsdeS. On a donc
A1(x,y) =A2(x,y) etB1(x,y) =B2(x,y)
0 et on doit montrer que (x,yenodsauits´eqtroie)lve´seriS. Lesdeuxpremi`erese´tantdansSneibtnoses.v´eri´e Latroisi`eme,
3A1(x,y)2B1(x,y) = 3A2(x,y)2B2(x,y) estunecons´equence´evidentedeuxpremie`res. Cqfd
Lar´eciproque
Onadonctrouv´euneconditionsusantepourquunsyst`emede trois´equationsline´aires`adeuxinconnues,dontlesdeuxpremie`res ontunesolutioncommune,aitunesolution,cestquelatroisie`me e´quationsoitcombinaisonlin´eairedesdeuxautres. Etilyauner´eciproque:
Th´eore`me Siunsyste`medetrois´equationslin´eairesa`deuxinconnuesaune solution,alorslunedecestroise´quationsestcombinaisonline´aire des deux autres.
Quelleestl´equationsuperue?
Doncsinotresyste`medetrois´equationslin´eaires`adeuxinconnues aunesolution,lunedecestrois´equationsestcombinaisonline´aire des autres, ok mais laquelle ? Supposons par exemple que ce soit la seconde,E2. On a donc E2=aE1+bE3. sia(resp.b) est nul,E2etE3(resp. etE1) sont proportionnelles. si au contraireaetbsont non-nuls, alors on a 1b1a E1=E2E3etE3=E2E1. a a b b Conclusion Siunsyst`emedetrois´equationsline´airesa`deuxinconnuesaune solution,soitdeuxdeces´equationssontproportionnelles;soit chacunedecestroise´quationsestcombinaisonlin´eairedesdeux autres.
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