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Syst`emestrois-troishomoge`nes
D´edou
Octobre 2010
Monpremiersyst`emehomoge`nea`troise´quationsettrois inconnues
Re´soudrelesyste`meauxtroisinconnuesx,yetz: x+yz= 0 xyz= 0 2xy+z= 0. c’est calculer l’intersection de trois plans dans l’espace. Ces trois plans passent par l’origine (donc il y a toujours cette solution “triviale”). Lesdeuxpremi`eres´equationsnesontpasproportionnellesdoncles deux premiers plans se coupent suivant une droiteD. Donc deux cas peuvent se produire letroisie`meplancontientladroiteD, qui, du coup, est l’ensemble des solutions. letroisie`meplannecontientpasladroiteD, auquel cas il ne coupeDqu’en 0, qui est la seule solution.
Syst`emesfaciles
Unsyste`meseraditfacilesi l’une des inconnues n’apparaˆıt que dansune´equation. Lesyste`me 2xz= 0 x+ 2y+z= 0 x+ 3z= 0 est facile. Exo 1 Donnezunautresyst`emefacile.
R´esolutiondunsyste`mefacile
Pourr´esoudreunsyst`emefacile, onre´soutlesous-syste`medeux-deux ong`ereintelligemmentladernie`reinconnue.
Exo 2 R´esoudrelesyst`eme 2xz= 0 x+ 2y+z= 0 x+ 3z= 0
Syst`emese´quivalents
Onveutapprendre`aremplacerunsyst`emepasfacileparun syste`mefacilee´quivalent:
Onditquedeuxsyste`messontquivalenst´esmetnelmseˆslios solutions.
Exo 3 Donnerunexemplededeuxsyste`mes´equivalents.
Lesecondprincipefondamentaldessyste`mesde´quations
Lesecondprincipefondamentaldessyst`emesde´quationss´enonce comme suit : Onnechangepaslessolutionsdunsyste`me enmultipliantunee´quationparunnombrenon-nul; enajoutant`aunee´quationunmultipleduneautre.
Lame´thodedeGauss
Lam´ethodedeGausspournossyste`mesconsistea`appliquerle secondprincipefondamentalpourremplacerlesyste`medonne´par unsyst`emefacilee´quivalent.