Taylor quadratique

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Taylor quadratique Dedou Mars 2011

  • encadrement de taylor pour ln

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Publié le : mardi 1 mars 2011
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Taylor quadratique
D´edou
Mars 2012
Lin´egalite´deTaylorquadratiqueetsondessin
The´ore`me Soitfbaelusrsoif´xdureedviI:= [a,b] aveca<betmetM deuxnombresr´eels.Onsuppose
00 mfMsurI. Alors on a l’encadrement suivant def(x) pourxdans [a,b] : 2 (xa) 0 f(a) +f(a)(xa) +mf(x) 2 2 (xa) 0 f(x)f(a) +f(a)(xa) +M. 2
Et¸casedessinegrave: on encadre la fonction par les deux paraboles de Taylor.
Un exemple I
Je peux prendre n’importe quellefbavip,elxeralpmeeerd´
x f:=x7→e, et n’importe quelI:= [a,b] dans DDf, par exemple
a:= 0,b:= 1.
Un exemple II
Pourm d’abord
etM, c’est comme pour les accroissement finis. Je dois 00 calculerf, facile :
00x f=x7→e. 00 00 Etapr`es,jedoisencadrerfsur [0,1]. Commefest croissante, elleestencadre´eparsesvaleursauxbornes0et1,a`savoir1ete. J’ai donc par exemple :
00 x[0,1],1f(x)3. La formule donne alors, pour 0x1 :
2 2 x3x x 1 +x+e1 +x+. 2 2 Et pourx:= 1 : 2.5e3.5.
La morale de l’exemple
Comme pour les accroissements finis, quand on applique Taylor, on saitpeut-eˆtrequisontf,aetb, mais il faut choisirmetMde fa¸conquelhypothe`sesoitv´eri´ee. Exo 1 Calculez l’encadrement de Taylor pour ln sur [1,2].
Taylor et l’approximation quadratique
Dans l’approximation quadratique on ”approche”f(x) par
2 (xa) 0 00 f(a) +f(a)(xa) +f(a). 2 AvecTaylor,onencadrelemˆemef(x) par
2 2 (xa) (xa) 0 0 f(a)+f(a)(xa)+metf(a)+f(a)(xa)+M. 2 2 Notezquelhypoth`esedeTaylorimpliqueenparticulier
00 mf(a)M.
Taylor`areculons
On a vu comment encadrerf(x) et en particulierf(b) en termes 0 def(a),f(a),m,Mmais comment encadrerf(x) et en particulier 0 f(a) en termes def(b),f(a),m,M? Cette fois il faut prendre les paraboles de Taylor enb. On obtient, pourx[a,b] :
2 2 (bx) (bx) 0 0 f(b)f(b)(bx)+mf(x)f(b)f(b)(bx)+M. 2 2 Et en particulier
2 2 (ba) (ba) 0 0 f(b)f(b)(ba)+mf(a)f(b)f(b)(ba)+M. 2 2
Exemple
Encadrons ln 2.7 ”en partant de lne”. On prend donc
f:= ln,a:= 2.7,b:=e. 01001 On af=x7→etf=x7→ −2. x x Cette fonction est croissante sur [a,br´adncceeeleu`o,]nodtseel par ses valeurs aux bornes :
1 1 00 − ≤f≤ −. 2 2 (2.7)e Lin´egalite´deTaylora`reculonsdonne
2 2 e2.7 (e2.7)e2.7 (e2.7) 1− − ln 2.71− −. 2 2 e2(2.7)e2e
Exercice
Exo 2 3 3π Encadrer sin par Taylor quadratique sur [,]. 2 2 2
Preuve de Taylor
2 (xa) 0 On poseg:=x7→f(x)f(a)f(a)(xa) +met on 2 00 00 00 calculeg=x7→f(x)mu.qNeortese`esuashyrethpogest 0 positive, donc quegest croissante sur l’intervalle [a,b]. Comme 0 0 g(a) est nul, on conclut quegest positive sur [a,b], donc queg y est croissante. Commeg(a) est nul, on conclut quegest positive sur [a,b], ce qui signifie bien
2 (xa) 0 f(a) +f(a)(xa) +mf(x). 2 Onmontreladeuxie`memoitie´delameˆmefa¸con. Exo 3 Fairecettedeuxie`memoitie´depreuve.
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