Topologie et Calcul Di érentiel F Rouvière juin

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Topologie et Calcul Di?érentiel (F. Rouvière) 8 juin 06 CORRIGÉ DE L?EXAMEN (2ème session) 1. Topologie. a. L?application f 7! f(a) est linéaire de E dans R. L?inégalité évidente jf(a)j kfk1 montre qu?elle est continue et que sa norme d?application linéaire est au plus 1. [Cette norme est en fait égale à 1, puisque l?inégalité précédente est une égalité lorsque f est une fonction constante.] b. D?après a l?application ' : f 7! f(0) f(1) est une forme linéaire continue sur E. Par suite son noyau A = '1(0) est un sous-espace vectoriel fermé de E. c. L?application : f 7! kfk1 est continue sur E. Rappelons que cela vient de l?inégalité triangulaire jkfk1 kgk1j kf gk1 = d(f; g) , où f; g sont deux éléments quelconques de E et d désigne la distance choisie sur E. Si A était compacte son image (A) serait donc une partie compacte de R, en particulier bornée. Mais cela est impossible car (A) = [0;1[, puisque A contient toutes les fonctions constantes sur I, dont la norme est un réel positif arbitraire. Donc A n?est pas compacte. Variante. Les fonctions constantes fn(x) = n, avec n 2 N, appartiennent à A.

  • développements limités au voisinage de z

  • c1-di?éomorphisme de r3

  • classe c1

  • plicites s?applique au système d?équations

  • application linéaire


Publié le : mardi 19 juin 2012
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Topologie et Calcul Di¤érentiel(F. Rouvière)
CORRIGÉ DE LEXAMEN (2ème session)
8 juin 06
1. Topologie. a.Lapplicationf7!f(a)estlinéairedeEdansR. Linégalité évidentejf(a)j  kfkmontre 1 quelle est continue et que sa norme dapplication linéaire est au plus1. [Cette norme est en fait égale à1, puisque linégalité précédente est une égalité lorsquefest une fonction constante.] b.Daprèsalapplication':f7!f(0)f(1)est une forme linéaire continue surE. Par suite 1 son noyauA='(0)est unsous-espace vectoriel fermédeE. c.Lapplication:f7! kfkestcontinuesurE. Rappelons que cela vient de linégalité 1 triangulaire jkfk kgk j kfgk=d(f; g), 1 11 f; gsont deux éléments quelconques deEetddésigne la distance choisie surE. SiAétait compacte son image(A)serait donc une partie compacte deR, en particulier bornée. Mais cela est impossible car(A) = [0;1[, puisqueAcontient toutes les fonctions constantes surI, dont la norme est un réel positif arbitraire. DoncAnest pas compacte. Variante.Les fonctions constantesfn(x) =n, avecn2N, appartiennent àA. Mais il est impossible dextraire de la suite(fn)une sous-suite convergente, puisqued(fn; fp) =jnpj 1 pourn6=p. d.SupposonsAouverte. Pourf2Ail existerait une boule ouverteB(f; ")deE, de centrefet " de rayon" >0, tout entière contenue dansA. Considérons alors la fonctiong(x) =f(x) +x. 2 On ag2Eet " " kgfk= supx=< ". 1 2 2 0x1 Par suiteg2B(f; "); cependant " " g(0) =f(0),g(1) =f(1) +=f(0) +6=g(0), 2 2 doncg =2A. Ceci contredit linclusion deB(f; ")dansA; par suiteAnest pas ouverte.
2. Une équation aux dérivées partielles. 1 3 a.Lapplication': (x; y; z)7!(u; v; w) = (xy; yz; z)est unC-di¤éomorphisme deRsur 1 lui-même. Cest en e¤et une application linéaire (donc de classeC) de déterminant 0 1 11 0 @ A det 0111 =6= 0, 0 01
1 donc inversible, et son inverse est encore de classeC. [Variante: en résolvant un système triangulaire déquations linéaires on a immédiatement 8 8 <u=xy<x=u+v+w v=yz()y=v+w, : : w=z z=w
1 3 ce qui montre que'est une bijectionCdeRsur lui-même, dont linverse est aussi de classe 1 C.]
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1 Notonsf(x; y; z) =g(u; v; w), autrement ditf=g', ou encoreg=f'. Par di¤érentiation de la fonction composéef(x; y; z) =g(xy; yz; z)il vient
@ f=@ g,@ f=@ g+@ g,@ f=@ g+@ g, x uy uv zv w
les dérivées partielles defétant, bien entendu, calculées au point(x; y; z)et celles degau point correspondant(u; v; w) ='(x; y; z). Par suite
@xf+@yf+@zf=@wg
et, traduite en coordonnées(u; v; w), léquation proposée équivaut à@wg(u; v; w) = 0. Sa solution 1 2 générale estg(u; v; w) =F(u; v), oùFest une fonction arbitraire de classeCsurR. En revenant aux coordonnées(x; y; z)on obtient enn lasolution généralede léquation sous la forme f(x; y; z) =F(xy; yz). 2zy Par exemple les fonctionsxy,yz,xz= (xy) + (yz),(xy)e, etc. sont solutions. b.!) explique le succèsLe résultat de lexemple précédent (ainsi quun exemple traité en cours du changement de variables choisi ena:uetv, les deux premières composantes de', sontdeux solutions particulières simplesde léquation proposée, et le choix dew=zpour les compléter na guère dimportance pourvu quil rende'bijective. La même méthode sapplique à léquation plus générale
a @xf+b @yf+c @zf= 0,
a; b; csont des constantes non nulles toutes trois. Une forme linéaire
0 0 0 f(x; y; z) =a x+b y+c z
(1)
0 0 0 est solution de (1) si et seulement siaa+bb+cc= 0(comme le montre un calcul immédiat), 0 0 0 cest-à-dire ssi le vecteur(a ; b ; c)est orthogonal à(a; b; c)pour le produit scalaire canonique. Considérons donc le changement de variables 8 0 0 0 <u=a x+b y+c z 00 00 00 ': (x; y; z)!7(u; v; w), avecv=a x+b y+c z; : w=ax+by+cz
0 0 000 00 003 où les vecteurs(a ; b ; c)et(a ;b ;c)complètent(a; b; c)en unebase orthogonale deR. Alors' 1 3 est unC-di¤éomorphisme deRsur lui-même, car cest une application linéaire dont la matrice 0 1 0 0 0 a b c 00 00 00 @ A A=a b c a b c
est inversible, ses vecteurs lignes étant indépendants. En notant, comme ena,f=g'(composée dapplications) on a par di¤érentiationDf=DgA(produit de matrices), doù 0 10 1 a a @ A@ A a@xf+b@yf+c@zf= (@xf; @yf; @zf)b= (@ug; @vg; @wg)A b c c 0 1 0 0 0 aa+bb+cc   00 00 002 2 2 @ A = (@ug; @vg; @wg)aa+bb+cc=a+b+c @wg 2 2 2 a+b+c
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compte tenu de lorthogonalité des vecteurs choisis. Le coe¢ cient de@wgétant non nul par hypothèse, léquation (1) équivaut à@wg= 0, doùg(u; v; w) =F(u; v)et nalement lasolution généralede (1) 0 0 000 00 00 f(x; y; z) =F(a x+b y+c z; ax+b y+c z), 1 2 Fest une fonction arbitraire de classeCsurR.
3. Fonctions implicites. a.Commef1(1;0;1) =f2(1;0;1) = 0le pointAappartient àS1et àS2. Les di¤érentielles de f1etf2sont 5 22 Df1(x; y; z) = (5x ;1;1),Df2(x; y; z) = (3x ;3y ;2z), doùDf1(A) = (5;1;1)6= 0etDf2(A) = (3;0;2)6= 0. Les surfacesS1etS2admettent donc des plans tangentsP1etP2enA, déquations respectives
P1: 5(x1) +y(z1) = 0, soit5x+yz= 4 P2: 3(x1)2(z1) = 0, soit3x2z= 1.
2 3 b.Les fonctionsf1etf2sont de classeCsurR, et on a vu quef1(A) =f2(A) = 0. Daprèsa 3 2 la matrice jacobienne enAde lapplication(x; y; z)7!(f1(x; y; z); f2(x; y; z))deRdansRest    @ f@ f@ f5 11 x1y1z1 (A) =. @xf2@yf2@zf23 02   5 1 Son premier mineur extraitdet =3étant non nul, le théorème des fonctions im-3 0 plicites sapplique au système déquationsf1(x; y; z) = 0; f2(x; y; z) = 0, quon pourra résoudre au voisinage deA= (1;0;1)sous la formex='(z); y=(z). Plus précisément : il existe un 2 voisinageVde(1;0)dansR, un voisinageWde1dansRet un unique couple de fonctions 2 ('; ) :W!V, de classeC, telles que     f1(x; y; z) = 0x='(z) (x; y)2V; z2Wet()z2Wet . f2(x; y; z) = 0y=(z)
La courbeC=S1\S2peut donc être paramétrée parzau voisinage deA. c.En dérivant par rapport àzles relations
5 33 2 x+yz= 0,xyz= 0, vériées identiquement parx='(z),y=(z)pourz2W, il vient 40 02020 5x x+y1 = 0,3x x3y y2z= 0. 0 00 Au pointAon ax= 1; y= 0; z= 1doù5x+y= 1,3x= 2et 2 7 0 00 0 x='(1) =,y=(1) =. 3 3 Une nouvelle dérivation de (2) par rapport àzconduit à 40030200200 02 200 02 5x x+ 20x x+y= 0,3x x+ 6xx3y y6yy2 = 0, 00 02000 002 doù5x+ 20x+y= 0,3x+ 6x= 2enAet nalement 2 70 00 0000 00 x='(1) =,y=(1) =. 9 9 3
(2)
(3)
(4)
De (3) et (4) on déduit lesdéveloppements limitésau voisinage dez= 1(en notantz= 1 +h) 2 1 2 2 x='(z) = 1 +hh+o(h) 3 9 7 35 2 2 y=(z) =hh+o(h). 3 9 d.Parbla courbeCest, au voisinage deA, paramétrée parzselonz7!('(z); (z); z). 0 0 Le vecteur dérivé enz= 1est('(1); (1);1) = (2=3;7=3;1)daprèsc. La tangente en A= (1;0;1)àCest donc la droite de vecteur directeur(2=3;7=3;1)passant par ce point, qui peut être paramétrée selon 2 7 x= 1 +h,y=h,z= 1 +h. (5) 3 3 Cette tangente aurait pu sobtenir aussi comme intersection des plans tangentsP1etP2: la   5 1 non-nullité du mineurdetassure en e¤et que ces deux plans se coupent selon une 3 0 droite. Daprèsala tangente est donc la droite déquations 5x+yz= 4 3x2z= 1. Ces équations sont bien vériées par les valeurs dex; y; zdonnées par (5), ce qui conrme les dérivées obtenues en (3).
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