Topologie et Calcul Di érentiel F Rouvière Septembre

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Topologie et Calcul Di?érentiel (F. Rouvière) Septembre 05 CORRIGÉ DE L?EXAMEN DE SEPTEMBRE 2005 1. Racine cubique d?une matrice. a. Soit X 2 E une matrice carrée quelconque. Comme I et X commutent on a par la formule du binôme f(I + X) = (I + X)3 = I + 3X + 3X2 + X3 . Au second membre ?gurent successivement I = f(I), le terme 3X linéaire par rapport à l?ac- croissement X de la variable, et le reste R(X) = 3X2+X3 qui est d?ordre supérieur à 1. D?après les propriétés des normes d?applications linéaires on a kR(X)k kXk2 k3 + Xk donc kR(X)k = kXk tend vers 0 quand X tend vers 0, autrement dit R(X) = o(kXk) et f(I + X) f(I) = 3X + o(kXk) . Ceci montre, par dé?nition de la di?érentielle, que l?application f est di?érentiable au point I et que sa di?érentielle est l?application linéaire X 7! 3X de E dans lui-même, i.e. Df(I)X = 3X. Variante. On peut aussi, si on préfère, écrire R(X) = kXk (X) avec (X) = 1 kXk(3X 2 + X3) si X 6= 0 , (0) = 0 .

  • c?est l?analogue matriciel de la formule classique

  • l?équation de départ z

  • propriétés des normes d?applications linéaires

  • solution de l?équation aux dérivées partielles

  • linéaire df


Publié le : mardi 19 juin 2012
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Topologie et Calcul Di¤érentiel(F. Rouvière)
CORRIGÉ DE LEXAMEN DE SEPTEMBRE 2005
Septembre 05
1. Racine cubique dune matrice. a.SoitX2Eune matrice carrée quelconque. CommeIetXcommutent on a par la formule du binôme 3 23 f(I+X) = (I+X) =I+ 3X+ 3X+X. Au second membre gurent successivementI=f(I), le terme3Xlinéaire par rapport à lac-2 3 croissementXde la variable, et le resteR(X) = 3X+Xqui est dordre supérieur à1. Daprès les propriétés des normes dapplications linéaires on a 2 kR(X)k  kXk k3 +Xk donckR(X)k=kXktend vers0quandXtend vers0, autrement ditR(X) =o(kXk)et f(I+X)f(I) = 3X+o(kXk).
Ceci montre, par dénition de la di¤érentielle, que lapplicationfest di¤érentiable au pointIet que sa di¤érentielle est lapplication linéaireX7!3XdeEdans lui-même, i.e.Df(I)X= 3X. Variante.On peut aussi, si on préfère, écrireR(X) =kXk"(X)avec
1 2 3 "(X(3) =X+X)siX6= 0,"(0) = 0. kXk
On ak"(X)k  kXk k3 +Xkdonc"(X)tend vers0avecX.
11 b.Lapplicationfest de classeC(et mêmeC) sur lespaceEtout entier, puisque les éléments 3 matriciels deXsont des fonctions polynomiales (de degré3) de ceux deX. De plus lapplication 1 1 linéaireDf(I) :X7!3Xest évidemment inversible, dinverseDf(I) :X7!X. On peut 3 donc appliquer àfle théorème dinversion locale au voisinage deI. Par suite il existe un voisinage 1 ouvertVdeIdansEtel que lapplicationf, restreinte àV, soit unC-di¤éomorphisme deV sur louvertW=f(V)deE, voisinage def(I) =I. Notonsg:W!Vlapplication réciproque. On a donc 3 (X2VetY=X)()(Y2WetX=g(Y)); lapplicationgdonne une "racine cubique locale" pour les matrices carrées proches deI.
c.En particuliergest di¤érentiable enI, ce qui sécrit
g(I+X) =I+Dg(I)X+kXk"(X),
1 "(X)tend vers0avecX. OrDg(I) = (Df(I))(on retrouve cela en di¤érentiant enIla fonction composée(gf)(X) =X), doù
1 g(I+X) =I+X+kXk"(X). 3 p 3x Cest lanalogue matriciel de la formule classique1 +x+= 1+o(x)lorsquexest une variable 3 réelle.
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2. Point xe et compacité. a.Théorème du point xe(rappel). SoientXun espace métriquecomplet(muni de la distance d) etfune application deXdans lui-même, supposéecontractante: il existe une constantek, 0k <1, telle que 0 0 d(f(x); f(x))k d(x; x) 0 pour tousx; x2X. Alorsil existe un unique pointa2Xtel quef(a) =a. De plusaest limite de la suite desitérés x0,x1=f(x0),...,xn+1=f(xn),... à partir dun point quelconquex0deX, et on a n k d(x ;a)d(xx ;). n0 1 1k b.Lapplicationfconsidérée ici nest pas nécessairement contractante, mais le théorème du point xe est applicable àfnsurK. En e¤et : Kest un espace métrique compact, donccomplet.  Ladénition defnmontre quefn(x)appartient au segment[0; f(x)]. Daprès les hypo-thèses0etf(x)appartiennent àKpour toutx2K; commeKest convexe on a donc fn(x)2K, doncfnappliqueKdans lui-même.  Enn, daprès lhypothèse (1),    1 1 0 00   fn(x)fn(x) =1f(x)f(x)1xx, n n 1 doncfnest contractantede rapportk= 1<1. n Daprès le théorème du point xefnadmet dansKun unique point xe, notéan. c.CommeKest compact on peut extraire de la suite(an)une sous-suite(an)qui converge k vers un pointadeK. Montrons queaest point xe def. En e¤et légalitéfn(an) =ansécrit k kk   1 1f(a nk) =an. k nk Quandktend vers linni on aa!adoncf(a)!f(a)(fest continue surKdaprès n n k k 1 linégalité (1)) et1 !1. Par suitef(a) =aen passant à la limite dans légalité. n k d.SoitKun compact convexe quelconque. Lapplication identique deKvérie (1), mais tout point deKest point xe def: il ny a pas unicité. SoientKun cercle du plan euclidien (compact non convexe) etfune rotation autour de son 0 0 centre. On akf(x)f(x)k=kxxketfappliqueKdans lui-même. Maisfna aucun point xe dansK(sauf si cest lidentité). 3. Fonction implicite et équation aux dérivées partielles. 3 a.La fonctionF(x; y; z) =z+xf(z)yest continûment di¤érentiable surR. On aF(0;0;0) = 0 0 00 etF(x; y; z) = 1+xf(z)doncF(0;0;0) = 16= 0. Le théorème des fonctions implicites est z z 2 donc applicable àFau voisinage de lorigine : il existe un voisinage ouvertVde(0;0)dansR, 1 un voisinage ouvertWde0dansRet une applicationu:V!W, de classeC, unique, tels que ((x; y)2V; z2Wetz+xf(z) =y)()((x; y)2Vetz=u(x; y)). 0 b.Si les voisinagesVetWdeasont su¢ samment petits on aF(x; y; z)6= 0pour(x; y)2Vet z z2W, ce qui permet de calculer les dérivées partielles de la fonction impliciteu. Par dénition deuon a u(x; y) +xf(u(x; y))y= 0
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pour tous(x; y)2Vdoù, en dérivant enxet eny,
0 00 u+xf(u)u+f(u) = 0 x x 0 00 u+xf(u)u1 = 0 y y
ce qui donne f(u) 1 0 0 u=,u=. x y 0 0 1 +xf(u+) 1xf(u) 0 Comme toujours dans ce genre de calcul, on reconnaît au dénominateur lexpressionF(x; y; z), z non nulle daprès ce qui précède. Ces égalités entraînent queuest solution de léquation aux dérivées partielles
0 0 u+f(u)u= 0. x y
Dautre part en prenantx= 0dans léquation de départz+xf(z) =yon obtientz=y, autrement dit on au(0; y) =y.
4. Identité dEuler.En dérivant par rapport àtlidentité
k f(tx; ty) =t f(x; y),
valable pour toutt >0et tout(x; y)2, on obtient par dérivation de fonction composée
doù, en prenantt= 1,
pour tout(x; y)2.
0 0k1 f(tx; ty)x+f(tx; ty)y=kt f(x; y), x y
0 0 xf(x; y) +yf(x; y) =kf(x; y) x y
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