Transport de masse sur la Terre

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Transport de masse sur la Terre Ludovic Rifford Universite de Nice - Sophia Antipolis & Institut Universitaire de France Colloquium de l'Institut de Mathematiques de Jussieu Ludovic Rifford Transport de masse sur la Terre

  • distance geodesique sur les surfaces

  • cout de transport quadratique

  • surface compacte

  • applications de transport

  • probleme de monge quadratique

  • transport de masse sur la terre


Publié le : lundi 18 juin 2012
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Transport de masse sur la Terre
Ludovic Rifford
Universite´deNice-SophiaAntipolis & Institut Universitaire de France
ColloquiumdelInstitutdeMath´ematiquesdeJussieu
LudovicRiordTransprotedamssesurlaTerre
istaDseuqise´doe´gecnscefaurssleurovudRiicLaTerre
SoitMune surface compacte lisse dansRn. Pour tout x,yMrentee´deinltdasiatcn,onxetye´eot,nd(x,y), commeleminimumdeslongueursdescourbestrace´essurM quireliet`ay. nx
assesurlpsrodtmeodrrTna
calippAetsdontitropsnariRcTdrouLivodmadeesssnsrartporrTelaur
BmesurableM.
Soitµ0etµ1deuxmesuresdeporabibil´tsesurM. On appelleapplication de transportdeµ0versµ1toute application mesurableT:MMtelle queT]µ0=µ1, c’est a`dire
µ1(B) =µ0T1(B),
e
Eer
´ Etantdonne´esdeuxmesuresdeprobabilit´eµ0, µ1surM, trouver une application de transportT:MMdeµ0vers µ1qui minimise le coˆt de transport quadratique (c=d2/2) u Z
Tare
c(x,T(x))dµ0(x). M
ixtsneecU?inic´te?R´egularit´e?LvoduiRcidronarTorspemtdseasrlsuqutiequgeraaddemenoMerP`lbo
Unicite´?
Existence ?
Re´gularite´?
´ Etantdonne´esdeuxmesuresdeprobabilit´eµ0, µ1surM, trouver une application de transportT:MMdeµ0vers µ1qminimiuiquadportque(ratiocuˆeselarsndttec=d2/2) Z
c(x,T(x))dµ0(x). M
ansportdRiordTrlrTareermesaesuscivoduLborPuqearitquadongeedeMl`em
eunefonc,ilexist.enEaftidaarituqx)T(ψ(=rllteueeqψexeRM:noitvnocansprdTrRioovicL.duxnR.p.p)x0µ
´ Proble`medeMongequadratiquedansRn: Etant donn´eesµ0, µ1it´eborplibaruseedsedxmeuµ0, µ1surRn`a supportscompacts,onsinte´resseauxapplicationsde transportT:RnRndeµ0versµ1iminqusimiltneˆocetu de transport ZRn|T(x )x|2dµ0(x).
reerTalrusessamedtrotnoctnnieuaprrpa)Siµ0estabsolumeebeLeugseli,tsixrtpola`asumederedntetaoioptrarsnuniqeuneplicueapartedtuˆuqtropsnlematiopcoleurporeinereBedemr`eoh´etLoreme(Brenier91hTe´
´hoe`rmeLteeredeBreniusessamedtropsna
T(x) =rψ(x)µ0p.p. xRn.
Th´eoreme(Brenier91) Siµ0paueinntcontmeluosbatseredea`alemusrrpaoptr Lebesgue, il existe une unique application de transport optimalepourlecouˆtdetransportquadratique.Enfait,il existe une fonctionconvexeψ:MRtelle que
´ Proble`medeMongequadratiquedansRn: Etant donne´esµ0, µ1dpirto´beeasbdielesureuxmµ0, µ1surRna` supportscompacts,onsint´eresseauxapplicationsde transportT:RnRndeµ0versµ1tuuqinimisimtlenoˆec de transport ZRn |T(x)x|2dµ0(x).
reeraTrlLduvociiRodrrT
Contre-exemple
trivial
Ludovic
Rifford
Transp
ort
de
masse
sur
la
Terre
N´ecessit´e
de
la
convexite´
Ludovic
Rifford
Transp
ort
de
masse
sur
la
Terre
N´ecessit´e
de
la
convexite´
Ludovic
Rifford
Transp
ort
de
masse
sur
la
Terre
de
ort
Transp
Rifford
Ludovic
N´ssite´ ece
de
la
Terre
la
sur
masse
convexit´e
0i)!!!y)T((xThe=x,ynoocvnxeenofcnitdientduTgra
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