Transport de masse sur les surfaces

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Transport de masse sur les surfaces Ludovic Rifford Universite de Nice - Sophia Antipolis Ludovic Rifford Transport de masse sur les surfaces

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  • minimum des longueurs des courbes

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  • convexe ?

  • surface lisse compacte

  • cout quadratique


Publié le : lundi 18 juin 2012
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Transport de masse sur les surfaces
Ludovic Rifford
Universite´deNice-SophiaAntipolis
LudoviciRodrrTnapsortedamssesurelsusfrcase
LcedaeruLodivRcielrusessecafrussnsradTormadertpos
SoitMunesurface lisse compacte connexedansRn. Pour toutx,yMepllnopa,od´eeg´etancedisertneeuqisxety, not´eed(x,ysedsruoc(sebcartmuniesmdnglourue´meielse), surM) joignantxa`y.
sessamedtropsnar
Soitµ0etµ1deuxaebsidleepsruorbmit´esurM. On appelleapplication de transportdeµ0versµ1toute application mesurableT:MMtelle queT]µ0=µ1, c’est a`dire
µ1(B) =µ0T1(B),
scefaurssleurordTcRidoviLu
BmesurableM.
leuresssmadertposnarTsafecssru
Th´eore`me(McCann(2001)) Siµ0soabsteapeunitnoctnemulrrpaoptra`eLebgsue,ilexiste une unique application de transport optimale entreµ0etµ1 r le c ˆt quadratique. pou ou Il existe une fonction c-convexeϕ:MRtelle que
T(x) = expx(rϕ(x))µ0p.p. xM.
´ Proble`medetransportquadratique: Etant donn´ de e ux mesuresdeprobabilite´µ0, µ1surM, trouver une application mesurableT:MMtelle queT]µ0=µ1qui minimise le cout de transport quadratique (c=d2/2) ˆ Z
c(x,T(x))dµ0(x). M
seacrfsuesrlsuseaspsrodtmeodrrTnaudovicRiLeLhte´roe`nnaCcMedem
psrodtmesaesuslrudovicRiordTransuesacrf
Le potentielϕvte.p.pp.peire.e´erstdiableenti ´
es
D´enition(Applicationexponentielle) ` Pour chaque vTxM , on noteexpx(v) =γx,v(1), ou γx,v: [0,1]euapseqioe´deu´guniqstlMeecavanrtextd vitesse initiale v .
rϕ(x)∈ I(x) etT(x) = expx(rϕ(x)).
De´nition(Domainedinjectivit´e) On appelleivctjein´eitddeniamo le sous-ensemble de ,de x TxM defini par I(x) :=vTxMt>mi1..qnmiet.γnttvrexetesutlneixqpuxe(ge´tv)od..
Date´lisL
Probl`eme
Re´gularite´
Ludovic
Rifford
de
Transp
T
ort
?
de
masse
sur
les
surfaces
Th´`eme(Caarelli(90s)) eor SoitΩ0,Ω1souvertsconnexesobnre´dseedRnet f0,f1des densite´sdeprobabilit´essurΩ0etΩ1seninre´obtemenieurf´er etsupe´rieurement que l’ensemble. SupposonsΩ1est convexe. Alors le transport optimal entreµ0=f0dx etµ1=f1dx est continu.
Th´eor`eme(Brenier(1991)) Soitµ0, µ1uedserusemxuspprostocpmcastdeprobabilit´e`a dansRntelles queµ0 ` rtest absolument continue par rap po a Lebesgue. Alors il existe une unique application de transport optimale entreµ0etµ1pourletardeuqiuˆocauqt c(x,y) =|xy|2. Il existe une fonction convexeψ:MRtelle que T(x) =rψ(x)µ0p.p. xRn.
casesurfrlessesuemaspsnadtrooiRrTdrudLicovmesdor`eTh´elliniereBreareetCa
ecaf
Cordero-Erausquin (1999) Ma, Trudinger, Wang (2005) Loeper (2006) Kim, McCann Delanoe¨,Ge Loeper, Villani Figalli, Rifford Loeper, Figalli Figalli, Rifford, Villani Figalli, Kim, McCann
selrurussmadeesssnsrartpoRciroTduLodivRe´´freneecs
dertssmaradTponsafrusecrusesselivRcirouLod
l’application de transport optimale deµ0versµ1estcontinue.
Theoreme (Figalli-R-Villani (2010)) ´ ` Soit M une surface dansRne.Ellev´eriTCPisspselrporeti´s´e suivantes sont satisfaites : touslesdomainesdinjectivite´sontconvexes, le ˆt c=d2/2str´eguleei.r cou
µ0=ρ0volg, µ1=ρ1volg,
On dira qu’une surfaceMRnsatisfaitTransport Continuity Property (TCP)tteesapilsnaviuse´te´irpor v´erie´e: Pourtoutepairedemesuresdeprbabilite´µ0, µ1associ´ ` o ees a desdensit´esetsirtccsnoitunsoptnemesevitiρ0, ρ1,
elssruafecsontisariurPsTCdee´tcaraC
jnceitiviaendsi´edesdomConvexit)esplemexe(t´nsradTormadertpouLiRcivods
Tores plats :evexcstnosenoiv´tectiinjnesdomaidselsuot Spheres:suelotainesdomnjecsdise´tivitidsedtnosuesq ` ouverts Ellipsoidesdere´volution(casoblate): Eµ:x2+y2+zµ2= 1µ(0,1].
Lesdomainesdinjectivit´edunellipsoideder´evolution oblate sont tous convexes ssi le ratio entre le petit et le grandaxeestsup´erieurou´egala`1/3 ('0.58).
ruelssseafecssru
sce
estquasi-convexeest`adirepourtoucs,v0,v1∈ I(x), on a Fx,x0vtmaxFx,x0v0,Fx,x0v1t[0,1],
ou`yt:= expxvtetvt:= (1t)v0+tv1(∈ I(x)).
sslefaurssamruseopsnedtrilree´ugtursCˆonodeuottusencafrSoonMuitesDtinie´ostnocejtcvitiinesdinslesdoma)v(xpxe,0xc(I)x:0vxFx,itnov)xpx(x,e7cpisrtruoge´reilulaM,ncfosxou0,xceˆotu=cvnxeseL.Restditd2/2:M×MRcivoduLarTdroi
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