Trois conferences sur la theorie analytique

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Trois conferences sur la theorie analytique et probabiliste des nombres Gerald Tenenbaum Journees Etat de la Recherche 7-9 decembre 2000 Universite Bordeaux 1

  • sorte de formule de stirling de degre superieur

  • preuve elementaire de daboussi

  • formule asymptotique

  • enonce de la solution

  • breve description de la preuve initiale de selberg

  • methode de l'hyperbole de dirichlet

  • celebre theoreme d'ikehara


Publié le : vendredi 1 décembre 2000
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Trois conf´erences
sur la th´eorie analytique
et probabiliste des nombres
G´ erald Tenenbaum
´Journ´ees Etat de la Recherche
7-9 d´ecembre 2000
Universit´e Bordeaux 1´Journ´ees Etat de la Recherche
7-9 d´ecembre 2000
Universit´e Bordeaux 1
Convolutions et ´equations fonctionnelles :
sur la preuve ´el´ementaire de Daboussi
G´ erald Tenenbaum
1. Introduction
Myst´erieuse pendant des mill´enaires, la r´epartition des nombres premiers demeure un
sujet d’´etude actuel, sous-tendu par de redoutables questions m´ethodologiques, voire
philosophiques. Conjectur´e pendant plus d’un si`ecle, le th´eor`eme des nombres premiers,
soit
π(x)∼ x/log x (x→∞),
est rest´e source d’interrogations apr`es ses premi`eres d´emonstrations par Hadamard et La
Vall´ee–Poussin, en 1896. En effet, le remarquable succ`es, sur ce probl`eme, des m´ethodes
de l’analyse complexe semblait leur conf´erer une sup´eriorit´e intrins`eque sur celles de
l’arithm´etique ´el´ementaire, auquel le probl`eme, et mˆeme l’´enonc´e de la solution, se
rattachent.
La preuve analytique repose de mani`ere essentielle sur l’absence de z´ero de la fonction
zˆeta de Riemann sur la droite σ = 1. En outre, les th´eor`emes taub´eriens d´ evelopp´es par
Wiener au d´ebut des ann´ees 1930, et notamment le c´el`ebre th´eor`eme d’Ikehara (1931),
fournissent un cadre g´en´eral dans lequel le th´eor`eme des nombres premiers et l’assertion
sur les z´eros de ζ(s) apparaissent de mani`ere ´eclatante comme des propositions ´equiva-
lentes. Cela a induit l’id´ee qu’en un certain sens la th´eorie des fonctions analytiques ´etait
plus profonde que l’analyse r´eelle et qu’il ´etait hautement improbable, pour ne pas dire
impossible, de parvenir au th´eor`eme des nombres premiers par de simples manipulations
d’in´egalit´es.
Ainsi, le th´eor`eme des nombres premiers apparaissait comme irr´eductible, pour sa
d´ emonstration, au cadre naturel dans lequel on pouvait l’´enoncer — une frustration qui
engendrait bien des sp´eculations m´eta-math´ematiques !
En 1921, Hardy exprimait ainsi, lors d’une communicational` asoci´et´e math´ematique de
Copenhague, l’opinion suivante : Aucune preuve ´el´ementaire du th´eor`eme des nombres
premiers n’est connue et l’on peut se demander s’il est raisonnable d’en attendre une.
Nous savons maintenant que le th´eor`eme est essentiellement ´equivalent `aunth´eor`eme
concernant une fonction analytique, a` savoir que la fonction zˆeta de Riemann ne poss`ede
pas de z´ero sur une certaine droite. Une d´emonstration d’un tel r´esultat fondamentalement
ind´ependante des id´ees de la th´eorie des fonctions me semble extraordinairement impro-
bable. Il est hasardeux d’affirmer qu’un th´eor`eme math´ematique ne peut ˆetre d´emontr´e
d’une fa¸ con ou d’une autre, mais un point paraˆıt acquis. Nous avons un certain regard
sur la logique de la th´eorie ; nous pensons que certains th´eor`emes, sont, comme on dit,
plus profonds, alors que d’autres gisent plus pr`es de la surface. Quiconque produirait une

2 G. Tenenbaum
preuve ´el´ementaire du th´eor`eme des nombres premiers d´emontrerait par lam` ˆeme que ces
vues sont fausses, que le sujet n’est pas agenc´e de la mani`ere dont nous le supposons et
qu’il est temps de se d´ebarrasser des livres et de r´e´ecrire la th´eorie.
Ce fut donc un grand choc lorsqu’en 1949 Erd˝ os et Selberg produisirent une preuve
(1)´el´ementaire, mais certainement astucieuse et nullement facile, du th´eor`eme des nombres
premiers — rendant ipso facto caduques toutes consid´erations sur les profondeurs relatives
des m´ethodes de l’analyse complexe et de l’analyse r´eelle. L’outil essentiel est ici la formule
asymptotique
2(log p) + log plog q =2xlog x + O(x),
px pqx
aujourd’hui c´el`ebre sous le nom d’identit´e de Selberg. Cette relation peut ˆetre vue comme
une sorte de formule de Stirling de degr´e sup´erieur : au lieu d’employer la fonction de von
Mangoldt Λ(n) qui v´erifie Λ(d) = log n, on introduit une nouvelle Λ (n)2d|n
2satisfaisant `a Λ (d) = (log n) et l’on ´evalue sa fonction sommatoire a` partir d’un2d|n
2calcul approch´e´el´ementaire (et facile !) de (log n) . La proc´edure est semblablenx
`a celle employ´ee par Tch´ebychev pour estimer (sans toutefois parvenir `a une formule
asymptotique) la valeur moyenne de Λ(n)`a partir d’une forme faible de la formule de
Stirling.
Voyons rapidement les d´etails de l’approche de Tch´ebychev. Nous supposons connue
la d´efinition de la convolution de Dirichlet et nous notons 1 la fonction arithm´etique
constante ´egale a1` ,μ la fonction de M¨ obius, et δ la fonction qui vaut 1 en n = 1 et 0
pour tout n>1. On a log = Λ∗ 1, donc
x
(1) log n = Λ(d) .
d
nx dx
Le membre de gauche vaut xlog x− x + O(x). En introduisant

0(0 u<1),
χ(u):=[u]−2[u/2] =
1(1 u<2),
on obtient
χ(x/d)Λ(d)=xlog 2 + O(log x),
nx
d’ou` l’on d´eduit facilement un encadrement pour la fonction de Tch´ebychev

ψ(x):= Λ(d),
nx
soit
x ψ(x) x (x 2).
En reportant dans (1), on obtient en particulier
Λ(d)
(2) = log x + O(1) (x 2).
d
dx
Dans le cas de Λ , on montre ais´ement que2

2 j⎨(2j− 1)(log p) (n = p ),
j k(3) Λ (n)=Λ∗ Λ(n)+Λ(n)log n = 2log plog q (n = p q ),2
⎩ (2)0( ω(n)=1,2).
1. Au sens ou` elle n’utilise pratiquement aucun outil sophistiqu´e d’analyse `a l’exception des
propri´et´es du logarithme.

Sur la preuve ´el´ementaire de Daboussi 3
Un calcul standard, reposant sur la m´ethode de l’hyperbole de Dirichlet, permet par
ailleurs d’´etablir que, pour des constantes convenables a et b,

1 2 3/41∗ 1∗ 1(n)= x(log x) + axlog x + bx + O(x ),
2
nx
ce que nous pouvons r´e´ecrire sous la forme

3/4H(x):= h(n) x
nx
2avec h := 2(1∗1∗1)+A(1∗1)+B1−(log) et ou` A et B sont des constantes ad´equates.
Or, en introduisant la fonction μ de M¨ obius et en faisant appel `a l’identit´e de convolution
classique 1∗ μ = δ, nous pouvons ´ecrire
2Λ = μ∗ (log) =2(1∗ 1)+A1 + Bδ− h∗ μ.2
Donc
x
Λ (n)=2 + Ax + B + μ(d)H(x/d)2
n
nx nx dx


3/4(4) =2xlog x + O x + (x/d)
dx
=2xlog x + O(x),
Le gain (capital) du`ˆ a l’introduction de l’exposant 2 est que la technique produit ici
directement une formule asymptotique.
En utilisant l’identit´e de Selberg, Erd˝ os a prouv´e´el´ementairement que le rapport
p /p de deux nombres premiers cons´ecutifs tend vers 1. Il a mˆeme ´etabli que, pourn+1 n
toutδ>0etx>x (δ) il existe entre x et x + δx au moins c(δ)x/log x nombres premiers,0
o`u c(δ) est une constante positive ne d´ependant que de δ. Cela fournissait le pendant
local de la r´egularit´e globale mise en ´evidence par la formule de Selberg, et il n’est gu`ere
surprenant, du moins a posteriori, qu’une preuve ´el´ementaire du th´eor`eme des nombres
premiers ait pu r´esulter de la conjonction de ces deux informations : Selberg effectua la
liaison finale deux jours seulement apr`es qu’Erd˝ os lui ait communiqu´e sa preuve. Quelque
temps plus tard, les deux math´ematiciens simplifi`erent ensemble l’argument. La nouvelle
preuve n’utilisait plus directement le r´esultat d’Erd˝ os mais reposait fondamentalement
sur les mˆemes id´ees.
Ces id´ees sont pr´esentes, sous une forme ou une autre, dans toutes les d´emonstrations
´el´ementaires du th´eor`eme des nombres premiers. On peut dire grosso modo qu’il s’agit
de mettre en ´evidence des ´equations ou des in´equations fonctionnelles. La signification
profonde d’une ´equation/in´equation fonctionnelle est celle d’une tendance lourde `ala
r´egularit´e : chaque solution est attir´ee vers une des solutions fondamentales dont elle
adopte le comportement asymptotique. La technique adapt´ee consiste a` montrer que des
estimations pr´eliminaires (souvent grossi`eres) sont suffisantes pour imposer `a la solution
´etudi´ee d’appartenir au domaine d’attraction requis.
Nous nous proposons ici de donner une br`eve description de la preuve initiale de
Selberg et une description plus compl`ete de la d´emonstration ´el´ementaire de Daboussi
(1984). Nous verrons en particulier que les d´etails sont sinon plus simples, certainement
plus naturels dans le second cas. Ils constituent non seulement un prototype exemplaire
d’utilisation des ´equations fonctionnelles en th´eorie ´el´ementaire des nombres mais le
fondement d’une v´eritable m´ethode ou` apparaissent en pleine lumi`ere certaines des
id´ees actuelles de la discipline : convolutions de fonctions arithm´etiques, crible, solutions
d’´equations diff´erentielles aux diff´erences.
4 G. Tenenbaum
2. Preuve d’Erd˝ os–Selberg
Posons R(x):=ψ(x)− x. Nous devons montrer que
(5) R(x)=o(x)( x→∞).
De (3), nous d´eduisons que

Λ(n)log n = Λ (n)− Λ∗ Λ(n).2
nx nx nx
En ins´erant (4), il s’ensuit que

Λ(n)log n=2xlog x− Λ(n)ψ(x/n)+O(x).
nx nx
dans le membre de gauche, nous pouvons remplacer log n par log x au prix d’une erreur
que, grˆ ace `a (2), on peut globalement majorer par x. En introduisant la fonction R et
en faisant de nouveau appel a` (2), on obtient ainsi

(6) R(x)log x =− Λ(n)R(x/n)+O(x).
nx
`Apr´esent, r´ecrivons (3) sous la forme
Λ (n) Λ∗ Λ(n)2
(7) Λ(n)= − (n>1).
log n log n
Une sommation d’Abel fournit alors

Λ∗ Λ(m) x
ψ(x)=2x− + O (x 1),
log m log 2x
mx
o`u nous convenons que le terme g´en´eral de la somme en m est nul pour m =1.En
rempla¸ cant x par x/n et en sommant pour n x, nous obtenons


x Λ∗ Λ(m) x
(8) Λ(n)ψ =2xlog x− ψ + O(xlog x),2n log m m
nx mx
o`u log d´ esigne le logarithme it´er´e. Maintenant, nous observons que2
Λ∗ Λ(m) Λ(n) Λ(d)
=
m n d
mx nx dx/n

Λ(n) x 1 2= log + O(1) = (log x) + O(log x),
2n n
nx
d’apr`es (2). Par sommation d’Abel, il suit
Λ∗ Λ(m)
= log x + O(1).
mlog m
mxSur la preuve ´el´ementaire de Daboussi 5
En reportant dans (8), nous obtenons


x Λ∗ Λ(m) x
Λ(n)R =− R + O(xlog x),2n log m m
nx mx
et donc, en tenant compte de (6),

Λ∗ Λ(m) x
(9) R(x)log x = R + O(xlog x).2log m m
mx
Posons (n):=Λ(n)+Λ∗ Λ(n)/log n (n>1) et (1) = 0. Une sommation d’Abel
fournit, `a partir de (4),

x
(10) L(x):= (n)=2x + O .
log 2x
nx
De plus, comme 0, on d´eduit de (6) et (9) que

2|R(x)|log x (n)|R(x/n)| + O(xlog x)2
nx


x x
= L(n) R −R + O(xlog x).2n n+1
nx
En faisant alors appel a` (10) et en op´erant une sommation d’Abel inverse pour ´evaluer le
terme principal, nous en d´eduisons

(11) |R(x)|log x |R(x/n)| + O(xlog x).2
nx
Le terme d’erreur issu de celui de (10) a ´et´e estim´e grˆ ace a` la majoration




x x x x x
R − R ψ − ψ + ,
n n+1 n n+1 n(n+1)
qui r´esulte de la croissance de ψ. En estimant la somme de (11) par une int´egrale, nous
obtenons finalement l’in´egalit´e fondamentale
x
x dt xlog x2(12) |R(x)| |R(t)| + O .
2log x t log x1
Montrer (5) `a partir de (12) est une tˆache relativement ais´ee dans son principe. On
utilise deux ingr´edients, soit
b R(t)
(13) dt1( a>1,b>1),
2ta
et

v
(14) |R(v)− R(u)| v− u + O (1<u<v).
log v
La premi`ere estimation d´ecoule de (2), la seconde de (4), en minorant Λ (n) par Λ(n)log n2
puisque

Λ (n) v2
0 ψ(v)− ψ(u) 2(v− u)+O .
log n log 2v
u<nv6 G. Tenenbaum
On majore l’int´egrale de (12) en scindant le domaine d’int´egration en intervalles `a
bornes enti`eres ou` la fonction est de signe constant. Les contributions des intervalles
courts sont estim´ees en faisant appel a` (13), celles des intervalles longs en utilisant
(14) puisque la fonction est log u en une borne u. On conclut en montrant que, si
β>α:= limsup|R(x)|/x et α>0, alors il existe une constante δ = δ(α) > 0 telle que
x dt
|R(t)| (1− δ)β log x + o(log x)( x→∞).
2t1
Par un argument standard, cela implique α{1− δ(α)}α, une contradiction.
On note toutefois que les calculs n´ecessaires `a la conclusion de cette preuve demeurent
dans leur ensemble quelque peu artificiels.
3. Preuve de Daboussi, revisit´ee
Daboussi utilise le crit`ere
ψ(x)∼ x⇔ M(x)=o(x)( x→∞)

o`u M(x):= μ(n) est la fonction sommatoire de la fonction de M¨ obius. Bornons-nx
nous `a´ etablir ici que la condition est effectivement suffisante. Nous devons donc montrer
que, sous l’hypoth`ese M(x)=o(x), la fonction sommatoire de Λ−1 est o(x). Cela repose
sur une manipulation analogue `a celle que nous avons employ´ee pour prouver la formule
asymptotique de Selberg, et en particulier sur identit´e de convolution
Λ− 1 = (log−1∗ 1)∗ μ = (log−1∗ 1+2γ1)∗ μ− 2γδ
= f∗ μ− 2γδ,
o`u la fonction f satisfait a`

F(x):= f(n)=O( x),
nx
d’apr`es la formule de Dirichlet

1∗ 1(n)=x(log x+2γ− 1) + O( x)( x 1)
nx
et celle de Stirling sous la forme faible

log n = xlog x− x + O(1 + log x)( x 1).
nx
Nous allons montrer que

H(x):= f∗ μ(n)=o(x)
nx
en utilisant l’estimation pr´ec´edente pour F(x) et en faisant appel au principe de
l’hyperbole du`ˆ a Dirichlet. Pour chaquey>2fix´e, on peut en effet ´ecrire

H(x)= μ(n)F x/n + f(m)M x/m − F(y)M x/y .
mynx/y
Sous l’hypoth`ese M(x)=o(x), il suit donc, pour chaque y fix´e,
1 limsupH(x)/x limsup F(x/n)
xx→∞ x→∞
nx/y
1 1
limsup x/n .√
x yx→∞
nx/y
Cela implique bien H(x)=o(x) puisque y peut ˆetre choisi arbitrairement grand.

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