UNE COURTE INTRODUCTION AUX INVARIANTS DE DIJKGRAAF–WITTEN

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UNE COURTE INTRODUCTION AUX INVARIANTS DE DIJKGRAAF–WITTEN GWENAEL MASSUYEAU Resume. Cette note, informelle et imprecise, accompagne un expose donne durant la « Journee Geometrie, Topologie et Physique » a Strasbourg, le 28 Fevrier 2008. Nous introduisons les invariants de Dijkgraaf–Witten et nous donnons leur formule par somme d'etats. Table des matieres 1. Introduction 1 2. Quelques rappels de cohomologie des groupes 2 3. Invariants de DW en petite dimension 5 4. Formule par somme d'etats pour les invariants de DW 7 5. Quelques proprietes des invariants de DW 10 6. Des invariants quantiques de Witten aux invariants de DW 11 7. Pour aller plus loin . . . 14 References 15 1. Introduction Soit G un groupe fini et soit K(G, 1) un espace d'Eilenberg–MacLane. Ainsi, K(G, 1) est l'espace topologique pointe (unique a equivalence d'homotopie pres) satisfaisant pi1(K(G, 1), ) = G et pii(K(G, 1), ) = 0 pour i > 1. On choisit aussi ? ? Hd(G; U(1)) = Hd(K(G, 1); U(1)). Definition 1.1. SoitM une d-variete fermee, orientee et connexe. L'invariant de Dijkgraaf– Witten de M , relatif a la classe de cohomologie ?, est Z?(M) := |G| ?1 ∑ ??Hom(pi1(M,),G) ? ?, (f?)

  • invariants de dijkgraaf–witten

  • complexe standard

  • resolution projective de z

  • fibration de fibre discrete

  • fibre de coefficients defini par l'anti-homomorphisme de groupes pi1

  • retraction lineaire par morceaux

  • classe fondamentale

  • invariants quantiques de witten

  • groupe fini


Publié le : vendredi 1 février 2008
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UNE COURTE INTRODUCTION AUX INVARIANTS DE DIJKGRAAF–WITTEN ´ ¨ GWENAEL MASSUYEAU
R´esum´e. Cettenote,informelleetimpr´ecise,accompagneunexpose´donne´durant la « JourneeG´eome´trie,TopologieetPhysique » `aStrasbourg,le28F´evrier2008. ´ Nous introduisons les invariants de Dijkgraaf–Witten et nous donnons leur formule parsommed´etats.
Tabledesmati`eres 1. Introduction 2. Quelques rappels de cohomologie des groupes 3. Invariants de DW en petite dimension 4.Formuleparsommede´tatspourlesinvariantsdeDW 5. Quelques propri´t´s des invariants de DW e e 6. Des invariants quantiques de Witten aux invariants de DW 7. Pour aller plus loin . . . R´ef´erences
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1. Introduction Soit G un groupe fini et soit K( G 1) un espace d’Eilenberg–MacLane. Ainsi, K( G 1) estlespacetopologiquepointe´(uniquea`e´quivalencedhomotopiepre`s)satisfaisant π 1 (K( G 1) ) = G et π i (K( G 1) ) = 0 pour i > 1 . On choisit aussi α H d ( G ; U(1)) = H d (K( G 1); U(1)) . De´nition 1.1 . Soit M une d -varie´te´ferm´ee,oriente´eetconnexe.Linvariant de Dijkgraaf– Witten de M ,relatifa`laclassedecohomologie α , est Z α ( M ) := | G | 1 Xα ( f γ ) ([ M ]) C . γ Hom( π 1 ( M, ) ,G ) Ici, M est un point base et f γ : M K( G 1)estlapplicationpointe´e(unique`a homotopiepre`s)telleque( f γ ) = γ au niveau du π 1 ( ) : ces choix ne comptent pas. Malgre´leurd´enitiontre`ssimple,lesinvariantsdeDijkgraafWittennont´ete´for-mule´squer´ecemment.Ilssemblenteˆtreapparuspourlapremie`refoisen1990dans l’article [7], pour servir de « toy examples » aux invariants quantiques de Witten [20].
Date : 26 F´ rier 2008. ev
1
2 2. Quelques rappels de cohomologie des groupes Nouscommenc¸onsparquelquesrappelsencohomologiedesgroupesetnousrenvoyons, pourdeplusamplesde´tails,`a[3]ou`a[10, § VI]. Dans la suite, G est un groupe et Z [ G ] d´esignesonalge`bredegroupe. 2.1. De´nitions. Le n -i`emegroupedhomologie de G `acoecientsdans R , un Z [ G ]-module`adroite,est H n ( G ; R ) := Tor n Z [ G ] ( R Z ) ou` Z est vu comme Z [ G ]-moduletrivial`agauche.Ainsi,si P Z 0estuner´esolution projective du Z [ G ]-module Z , on a (2.1) H n ( G ; R ) = H n ( R Z [ G ] P ) . Dualement, le n -i`emegroupedecohomologie de G a`coecientsdans L , un Z [ G ]-module a gauche, est ` H n ( G ; L ) := Ext n Z [ G ] ( Z  L ) . Ainsi, si P Z 0estunere´solutionprojectivedu Z [ G ]-module Z , on a (2.2) H n ( G ; L ) = H n (Hom Z [ G ] ( P  L )) . 2.2. Recours au K( G 1) . Le calcul de l’homologie de G n´ecessitedoncdetrouverune r´esolutionprojectivede Z comme Z [ G ]-moduletriviala`gauche.Celapeutseconstruire topologiqueme t ˆ e au lemme suivant. n , grac Lemme 2.1. Soit K( G 1) unespacedEilenbergMacLane,avecuned´ecompositionen cellulesorientees.Alors,lecomplexedeschaˆınescellulairesdesonrevˆetementuniversel ´ estuner´esolutionlibrede Z comme Z [ G ] -moduletrivial`agauche. e e De´monstration. Soit p : K( G 1) K( G 1)lereveˆtementuniversel:K( G 1) est connexe par arcs et simplement connexe. De plus, puisque p estunebrationdebrediscre`te, e e on a π i (K( G 1) ) ' π i (K( G 1) ) = 0 pour tout i 2. Donc, K( G 1) est contractile si bien que H i K( G 1); Z = 0 pour i > 0 . e e Donc,lecomplexecellulairer´eduitdeK( G 1) est acyclique. Par ailleurs, G = π 1 (K( G 1) ) ' Aut K e ( G 1)  p e agit ` uche sur K( G 1) et, donc, sur son complexe cellulaire. Ainsi, l’augmentation a ga C K e ( G 1) ε Z −→ 0 fournituner´esolutionde Z comme Z [ G ]-moduletrivial`agauche. Dapr`es(2.1)et(2.2),onadonc H n ( G ; R ) = H n (K( G 1); R ) et H n ( G ; L ) = H n (K( G 1); L ) o`u R → K( G 1)estlebre´decoecientsd´eniparlanti-homomorphismedegroupes π 1 (K( G 1) ) Aut( R ) donnant l’action de G sur R . (Idem pour L vis-a`-visde L .)
3 2.3. Mode`lesimplicial. Noussommesdoncramene´sauprobl`emedelaconstruction d’un K( G 1).Ilexisteuneconstructionsyste´matiquedeK( G 1):cestlemod`elesim-plicial de Milnor. A tout σ = ( g 0  . . .  g n ) G n +1 , on associe une copie Δ σ du simplex standard de dimension n de sommets ( v 0 σ  . . .  v ). Soit d i σ = ( g 0  . . .  g b i  . . .  g n ) G n et soit δ : d leplongementline´aireenvoyantlespoints v 0 d i σ  . . .  v dn i σ 1 sur v 0 σ  . . c Δ i σ Δ σ .  v  . . .  v respectivement. On pose g := n 0 , σ G 1 Δ (2.3) K Δ ( G 1) σ G n + g ou` identifie chaque Δ d i σ avec la i -ie`mefacedeΔ σ via δ .Onv´eriequeK Δ ( G 1) est contractilegrˆace`alar´etractionline´aireparmorceauxquienvoiechaque n -simplex Δ σ , associe´a` σ = ( g 0  . . .  g n ), sur le 0-simplex Δ (1) `alinte´rieurdu( n + 1)-simplex Δ , associe´a` := (1  g 0  . . .  g n ) : g 1
1 g 0 g De plus, G agita`gauchesurK Δ ( G 1) : pour tout g G et pour tout σ = ( g 0  . . .  g n ) G n +1 , le simplex Δ σ estappliqu´elin´eairementsurΔ g σ o`u g σ := ( gg 0  . . .  gg n ), les points v 0 σ  . . .  v σn allant sur v g 0 σgn σ respectivement. Puisque cette action est libre,  . . .  v g K Δ ( G 1) := K Δ ( G 1) /G g est un K( G 1) et K Δ ( G 1)estsonrevˆetementuniversel. g Latriangulation´evidentedeK Δ ( G 1)d´enitunede´compositionencellulesoriente´es. g Dapre`sleLemme2.1,lecomplexedeschaˆınescellulairesdeK Δ ( G 1) fournit donc une re´solutionlibrede Z comme Z [ G ]-moduletriviala`gauche.Cestle complexe standard homogene de G ` ∙ − 3 H 2 ( G ) 2 H 1 ( G ) 1 H 0 ( G ) ε Z 0 ∙ ∙ avec pour chaˆınes H n ( G ) := Z G n +1 etavecpourop´erateurdebord n (2.4) n ( g 0  . . .  g n ) = X ( 1) i ( g 0  . . .  g b i  . . .  g n ) . i =0 Onpr´ef`erede´crirececomplexeduneautrefa¸con.Le complexestandardinhomog`ene de G est le complexe de Z [ G ]-modules ∙ ∙ ∙ − 3 I 2 ( G ) 2 I 1 ( G ) 1 I 0 ( G ) ε Z 0 avec pour chaˆınes I n ( G ) := Z [ G ] G n etavecpourop´erateurdebord (2.5) n 1 n h 1 | . . . | h n ] = h 1 [ h 2 | ∙ ∙ ∙ | h n ] + X ( 1) i [ h 1 | ∙ ∙ ∙ | h i h i +1 | ∙ ∙ ∙ | h n ] + ( 1) n [ h 1 | ∙ ∙ ∙ | h n 1 ] . i =1
4 En effet, les complexes I ( G ) et H ( G ) sont isomorphes par l’application [ h 1 | ∙ ∙ ∙ | h n ] 7(1  h 1  h 1 h 2  . . .  h 1 h 2 . . . h n ) . Lam´ethodepre´c´edentesam´elioreenfaisantplusdidenticationsentrelessimplex g pourde´nirK Δ ( G 1) en (2.3). Pour tout σ = ( g 0  . . .  g n ) G n +1 , nous notons s i σ := ( g 0  . . .  g i  g i  . . .  g n ) G n +2 et nous demandons que la relation e´crasele( n + 1)-σ simplex Δ s i σ sur le n -simplexΔ,vialapplicationlin´eaireenvoyant v s 0 i σ  . . .  v sn i + σ 1 sur g v 0 σ  . . .  v  v  . . .  v σn respectivement. L’espace K Δ ( G 1) obtenu reste contractile et on obtientainsilecomplexestandardhomog`ene normalise´ de G ,note´ H ( G ), avec pour hˆınes c a H n ( G ) := Z ( g 0  . . .  g n ) G n +1 : g i 6 = g i +1 etlope´rateurdebord(2.4).Cecomplexeestisomorpheaucomplexestandardinho-mog`ene normalise´ de G ,not´e I ( G ),avecpourchaıˆnes I n ( G ) := Z [ G ] ∙ { [ h 1 | ∙ ∙ ∙ | h n ] G n : h i 6 = 1 } etlope´rateurdebord(2.5).
2.4. Exemples. Dans la suite, nous n’aurons besoin que de l’homologie de G a`coe-cients (non-tordus) dans Z .Dapr`es § 2.3, H ( G ; Z ) est l’homologie du complexe (2.6) B ( G ) := Z Z [ G ] I ( G ) ayantpourchaıˆnes B n ( G ) = Z ∙ { [ h 1 | ∙ ∙ ∙ | h n ] G n : h i 6 = 1 } et pour operateur de bord ´ n 1 n [ h 1 | . . . | h n ] = [ h 2 | ∙ ∙ ∙ | h n ] + X ( 1) i [ h 1 | ∙ ∙ ∙ | h i h i +1 | ∙ ∙ ∙ | h n ] + ( 1) n [ h 1 | ∙ ∙ ∙ | h n 1 ] . i =1 B ( G ) est le complexe des chaˆınes cellulaires de K Δ ( G 1)pourlatriangulationsinguli`ere g quilhe´ritedelatriangulationdeK Δ ( G 1). On l’appelle complexe bar du groupe G . Nous aurons aussi besoin de la cohomologie de G `acoecients(non-tordus)dansle groupeabe´lienU(1),lequelseranot´emultiplicativement.Dapr`es § 2.3, H ( G ; U(1)) est la cohomologie du complexe de coch ˆınes a Hom Z ( B ( G ) U(1)) quiestlecomplexedescochaıˆnescellulairesdeK Δ ( G 1)`avaleursdansU(1).Notons qu’un d -cocycle pour ce complexe est une fonction a : G d U(1)v´eriant d a ( h 1 | ∙ ∙ ∙ | h d ) ( 1) d +1 a ( h 2 | ∙ ∙ ∙ | h d +1 ) Y a ( h 1 | ∙ ∙ ∙ | h i h i +1 | ∙ ∙ ∙ | h d +1 ) ( 1) i = 1 i =1 ainsi que
a (1 | h 2 | ∙ ∙ ∙ | h d ) = a ( h 1 | 1 | h 3 | ∙ ∙ ∙ | h d ) = ∙ ∙ ∙ = a ( h 1 | ∙ ∙ ∙ | h d 1 | 1) = 1 .
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