Universite de Nice Annee Departement de Mathematiques Systemes Dynamiques

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Universite de Nice Annee 2011-2012 Departement de Mathematiques Systemes Dynamiques Cours 6 : Dynamiques de populations structurees en ages Le modele presente ici est du a Sir Paul Leslie (1945) et il est l'un des plus utilise en dynamique des populations et en demographie. Il suppose que la population etudiee est constituee de plusieurs groupes d'individus a des stades differents ou classes d'ages differentes (oeufs, oisillons, oiseaux, par exemple ou bien graines, rosettes, plantes en fleurs, etc...). Les effectifs de chacune des classes evoluent de fac¸ons differentes mais pas independemment les unes des autres. On va etudier la dynamique de ce type de modele et notamment chercher a repondre aux deux questions suivantes : 1. l'effectif total, somme des effectifs des differentes classes, a-t-il une croissance exponentielle avec un taux de croissance constant, et dans ce cas, comment calculer ce taux ? 2. La repartition des individus dans les differentes classes, la distribution initiale, se maintient-elle au cours du temps ou bien se modifie-t-elle et de quelle fac¸on ? Exemple : Pour commencer examinons un exemple. Il s'agit d'une population de rongeurs ayant un cycle de reproduction de 3 ans. On ne considere ici que la sous population formee des individus femelles. On suppose que chaque femelle donne en moyenne naissance a 6 femelles durant sa deuxieme annee et a 10 femelles durant sa troisieme annee.

  • troisieme annee

  • taux croissance

  • taux

  • repartition initiale des individus

  • femelle

  • premiere annee de vie


Publié le : mardi 19 juin 2012
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Universit´edeNice D´epartementdeMath´ematiques
Ann´ee2011-2012 Syst`emesDynamiques
Cours6:Dynamiquesdepopulationsstructure´esenages
Lemod`elepr´esent´eiciestdˆu`aSirPaulLeslie(1945)etilestlundesplusutilis´eendynamiquedes populationsetende´mographie.Ilsupposequelapopulatione´tudi´eeestconstitu´eedeplusieursgroupes dindividusa`desstadesdie´rentsouclassesdagesdi´erentes(oeufs,oisillons,oiseaux,parexempleou biengraines,rosettes,planteseneurs,etc...).Leseectifsdechacunedesclasses´evoluentdefac¸ons di´erentesmaispasind´ependemmentlesunesdesautres.Onva´etudierladynamiquedecetypede mod`eleetnotammentcherchera`re´pondreauxdeuxquestionssuivantes: 1.leectiftotal,sommedeseectifsdesdie´rentesclasses,a-t-ilunecroissanceexponentielleavecun taux de croissance constant, et dans ce cas, comment calculer ce taux? 2.Lar´epartitiondesindividusdanslesdie´rentesclasses,ladistribution initiale, se maintient-elle au coursdutempsoubiensemodie-t-elleetdequellefac¸on?
Exemple :Pour commencer examinons un exemple. Il s’agit d’une population de rongeurs ayant un cycledereproductionde3ans.Onneconsid`ereiciquelasouspopulationforme´edesindividusfemelles. Onsupposequechaquefemelledonneenmoyennenaissancea`6femellesdurantsadeuxi`emeanne´eeta` 10femellesdurantsatroisie`meanne´e.Cependant,seulunrongeursurdeuxsurvitaudeladesapremi`ere anne´eetseul40%deceuxquisurviventladeuxi`emeann´eesurvivrontjusqu`alatroisie`meanne´e. Silond´esignerespectivementparjt,ptetatl`astintanselceesfittsfdes,desfemellesmeleeljsvue´inel pre´adultes(rongeursde1an)etdesfemellesadultes(rongeursde2ans),lesinformationspr´ece´dentes peuventse´crire: jt+1= 6pt+ 10at pt+1= 0,5jt(1) at+1= 0,4pt Cesformules(1)permettent,a`partirdeseectifsinitiauxdestroisclasses,(j0, p0, a0), de calculer les effectifs (j1, p1, a1lnitsnastiuavtn`a)t= 1, puis, (j2, p2, a2`)ilaatsntnt= 2 et ainsi de suite. Si l’on de´signeparNt=jt+pt+atnitsa`litnoupallapoaldeftotectieltant(et doncN0l’effectif initial), on peut´egalementcalculera`partirde(1)lestermessuccessifsdelasuite(Ntr´ehdaprendec,qe)mrteiuep aussiladynamiquedecettepopulationdanssonensemble.Pouravoiruneid´eedutauxdecroissancede jt1pt1at1 chacune des classes, on peut calculer les quotients, et pourt= 0,1,2, ...slaimtaltsu´eer jtptat esttr`esirre´gulieretonvoitmalsurcespremierstermesqueltauxdecroissanceonpourraitretenirpour rendrecomptedeladynamiquedecesdie´rentesclassesdage.Etsilonconside`relapopulationdans Nt+1 sonensemble,lesquotientsnesontpasplusre´guliers. Nt Parcontresionlaisseletempsaugmenter,onconstatequecestauxtendenttousverslamˆemevaleur λ, iciλncteenslte-m`ea=2,nuse`rpauqerid-ad,lpsemntairtcedie´ocsnqieunymasimpisteconsr´ee unemultiplicationparunfacteur2deseectifsdechaqueclassedunep´eriode`alasuivante.Cefacteur multiplicatif,quicorresponda`untaux de croissance asymptotiqueemmcontmeleciafe´luclacerteˆtpeu nous allons le voir. Silonsint´eressemaintenantnonplusa`ladynamiquedeseectifsmaisa`le´volutionaucours dutempsdelar´epartitiondesindividusentrelesdiversesclasses,onpeutaussicalculer,`apartirde lare´partitioninitialedesindividusseloncestroisclassesv0= (j0/N0, p0/N0, a0/N0ve´tulondiol)e cetter´epartitionaucoursdutempsvt= (jt/Nt, pt/Nt, at/Ntc,teet´rtstaqeeu).Onconteonndareptiti versunere´partitionasymptotiquequiestcelleduvecteurv= (100,25,aptrtioine´ralerid-a`-tsec),5 100 255 (, ,)'(0.77,0.192,0.relanoutri´epropitucpnraereaile`ramere´telbauqttCe´eerrtpaioit0.)83 130 130 130 que,surunepopulationinitialer´epartiedecettefac¸on,ladynamiqueestexactementlecomportement asymptotiqueindique´plushaut,`asavoirunemultiplicationdeseectifspar2.
1Lemod`eledeLeslie Onpeut´ecrirelemod`elepr´ec´edentenutilisantunenotation matriciellefa¸adleiuavocsnnte:     jt+1100 6jt     pt+1= 0,5 00pt at+10 0,4 0at
1
Si l’on introduit une notation vectorielleXtcsalsssea`lnitsanturlepocruetcevedennoloifcteseoitressd t, et un nomLeducrir´e´ecsertsrtuqeic¸noenafleabblemss`epoutecrametcirtal,enadyqumieuepontd auxdynamiquesline´airesdunepopulationa`uneseuleclasse: Xt+1=LXt.(2) La matriceLest un exemple de matrice de Leslie. Onappelleplusge´n´eralementmatrice de Leslietoute matrice de la forme   f1f2f3f. . .n p10 0. . .0 0p20. . .0     . . .. . .. . .. . .. . . 0p. . .. . .n10 Ellepermetdemod´eliserparladynamique(2)unepopulationstructure´eenncssalreelapremi`esdage: lignecontientlescoecientsdefertilite´dechaqueclassedagef2,f3, ...fnet la sous diagonale les probabilit´es(outaux)desurviep1,p2, ...,pn1slLeiesslaecundedage`alasuivanetL.seamrtciseed ont tous leurs coefficients positifs ou nuls (mais elles ne sont pas pour autant des matrices stochastiques carellesnontpasg´en´eralementlasommedescoecientsdeleurslignes´egalea`1).
The´ore`medePerronFrobenius Cestleth´eor`emedePerronFrobeniusquivanouspermettredanslaplupartdescasded´ecrireles 2 dynamiques de Leslie. On dit qu’une matrice de Leslie estprimitivelorsque l’une de ses puissancesL,L, 3 4 L,L, etc...a tous ses coefficients strictement positifs. C’est le cas de la matrice de l’exemple puisque sa 5 puissanceL`astecoetsstcienemenricttifiptsoemnocsmov´leutpefaeriertnemelic. Lethe´or`emedePerronFrobeniusarmequunematriceprimitiveposse`deunevaleurproprepositive strictement plus grande que toutes les autres valeurs propres que l’on appellevaleur propre dominante λrpeuctveeprrosoci´eunlleestas`laqaeuXditvecteur propre dominantdont tous les coefficients sont positifs. De plus siX(0) est un vecteur initial dont tous les coefficients sont strictement positifs, si X(t) = (x1(t), x2(t), . . . , xn(t) est sa dynamique etN(t) =x1(t) +x2(t) +. . .+xn(t)) la somme de ses coecients,onalespropri´et´essuivantes: x(t+1) i1. pourtouti= 1..n,t→∞λ xi(t) X t ∗ ∗ 2.t→∞Xsi l’on a choisi le vecteurXtel que la somme de ses coefficients fasse 1. N(t) Cere´sultatimportantpermetdarmerquesilamatricedeLesliedunmod`eledynamique(2)est primitive,alorscettedynamiquepr´esentelorsquetaugmente, un comportement asymptotique de crois-sanceexponentielleetlapopulationser´epartitselonunere´partitionparticuli`erequiensuiteserainvariante aucoursdutemps.Depluslecalculdecetauxdecroissanceetdecettere´partitionasymptotiquesefait simplement en recherchant la valeur propre dominanteλde la matrice de Leslie et un vecteur propre Xcossame1.i´edesom
Exercice 1 :uqetonelrpsellentseuiodnnyemoenueenseicneitnUiruolE.sinolsedeeudiconeueqtu´e lleparfemellependantleurpremie`reanne´edevieet8pendantleursecondeann´ee.Ellenoteaussi quellessontseulement25%a`survivreunesecondeann´eeetaucunenesurvivraaudel`a. 1.Ecrirelesyste`medynamiquemod´elisantcettepopulationdesourisenindiquantquelleestla matrice de LeslieLatemcerie.emttCesud`tsye?tivirpmileelse-t 2.Pourunepopulationinitialede10souris,toutesdelapremi`ereclassedge,quepouvez-vous diredel´evolutiondusyste`me? 2 3 Exercice 2 :Pour la matrice suivante, calculerLetLude´dnetleuqerierpsatiminelptseerule.ivlcCa n les images successivesL Vd’un vecteurVquelconque par cette matrice.   0 1 0   L= 00 1 1 0 0
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