Universite de Nice L3MASS annee Departement de Mathematiques NOM Date PRENOM Salle et heure

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Universite de Nice L3MASS, annee 2011-2012 Departement de Mathematiques NOM : Date : . PRENOM : Salle et heure : . Feuille-question du TP 5 Systeme de Lotka-Voltera, son linearise, sa perturbee 1 Le systeme de Lotka-Voltera Considerons le systeme d'equations differentielles { x? = x(1? 2y) y? = ?y(1? 2x) (1) Le code Scilab suivant permet d'en esquisser le champ et en tracer des trajectoires. clear; //////////////// Lotka-Voltera xset(window,0); function xprim=f(x,y); xprim=x*(1-2*y); endfunction; function yprim=g(x,y); yprim=-y*(1-2*x); endfunction; function vprim=www(t,v); vprim=[f(v(1),v(2)),g(v(1),v(2))]'; endfunction; xMin=0;xMax=+1;yMin=0;yMax=+1; fchamp(www,0,xMin :0.1 :xMax,yMin :0.1 :yMax); a=gca(); a.data bounds=[xMin,yMin;xMax,yMax]; Tmax=10;M0=[1.1,1.1]; N=100;petitpas=Tmax/N; t=0 :petitpas :Tmax; for numerotraj

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Publié le : mardi 19 juin 2012
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Universit´edeNice De´partementdeMathe´matiques NOM : PRENOM :
Date : Salle et heure :
L3MASS,anne´e2011-2012 . .
Feuille-question du TP 5 Syste`medeLotka-Voltera,sonlin´earis´e,saperturbe´e
1Lesyst`emedeLotka-Voltera Conside´ronslesyste`med´equationsdie´rentielles 0 x=x(12y) 0 y=y(12x) Le codeScilabsuivant permet d’en esquisser le champ et en tracer des trajectoires. clear ; //////////////// Lotka-Voltera xset("window",0) ; function xprim=f(x,y); xprim=x*(1-2*y); endfunction; function yprim=g(x,y); yprim=-y*(1-2*x); endfunction; function vprim=www(t,v); vprim=[f(v(1),v(2)),g(v(1),v(2))]’ ; endfunction ; xMin=0 ;xMax=+1 ;yMin=0 ;yMax=+1 ; fchamp(www,0,xMin :0.1 :xMax,yMin :0.1 :yMax); a=gca() ;a.data bounds=[xMin,yMin;xMax,yMax] ; Tmax=10 ;M0=[1.1,1.1] ; N=100 ;petitpas=Tmax/N ; t=0 :petitpas :Tmax; for numerotraj=1 :10 M0=[rand(),rand()]’ ; M=ode(M0,0,t,www) ; x=M(1, :);y=M(2, :); plot(x,y) ; end ; 1. Esquissezdes solutions. Quel est le comportement des solutions?
2.Ou`etcommentonte´te´choisieslesconditionsinitiales?
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(1)
3. Lecode suivant permet d’obtenir d’autres trajectoires : // autres conditions initiales xset("window",1) ; fchamp(www,0,xMin :0.1 :xMax,yMin :0.1 :yMax); for x0=0.5 :0.1 :xMax M0=[x0,0.5]’ ; M=ode(M0,0,t,www) ; x=M(1, :);y=M(2, :); plot(x,y) ; end ; Combiena-t-onchoisideconditionsinitiale,eto`usetrouvent-elles?Combiendetrajectoiresvoyez-vous ?Expliquez
4.Onconsid`ere`apr´esentleline´arise´dusyst`emeauvoisinagedupointde´quilibrenon-nulM0. /////////////////////////lin´eaire(Centre) M0=[1/2 ;1/2] ; eps=0.0000001 ; JAC=[www(0,M0+eps*[1 ;0])-www(0,M0),www(0,M0+eps*[0 ;1])-www(0,M0)]/eps ; function www=WWW(t,V); www=JAC*V; endfunction; xset("window",2) ; xMinL=-1 ;xMaxL=+1 ;yMinL=-1 ;yMaxL=+1 ; fchamp(WWW,0,xMinL :0.1 :xMaxL,yMinL :0.1 :yMaxL); a=gca() ;a.data bounds=[xMinL,yMinL;xMaxL,yMaxL] ; Rappelercommentestde´nileline´aris´edunsyte`meenunpointstationnaireetexpliquercomment onaforme´icicesyste`me,caract´eris´eparlafonctionWWW.
5. Nousavons vu que siλatrielampredrprolauenuveetsteeirea´nileme`tsysudecVun vecteur λt propreassocie´,t7→e Venutsloseutiondusyst`eme.aCclluzeavelrupsetesprrospurteveserpor au moyen des instruction suivantes [R,diagevals]=spec(JAC) ; disp(R,"vecteurs propres",diagevals,"valeur propres"); Quelles valeurs et vecteurs propres obtenez-vous et qu’observez-vous?
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6. OnnotelambdaetZ1spaesn´onedprpalvaleurprremi`eretcueprorpoerteevScilab. // base de solutions lambda=diagevals(1,1) ; Z1=R( :,1); function M=M1(t); M=real(exp(lambda*t)*Z1) ; endfunction ; function M=M2(t); M=imag(exp(lambda*t)*Z1) ; endfunction ; Commentsontde´nieslesfonctionsM1etM2oimnersse(px)?ueiqatemh´at
7.Lecodesuivanttracelacourberepr´esentativedunecombinaisonlin´eaireaM1(t) +bM2(t), choisie al´eatoirement,desfonctionsM1etM2. //traces N=100 ;T=2*%pi ;deltat=T/N ; x=zeros(1,N+1) ; y=zeros(1,N+1) ; a=rand() ;b=rand() ; for i=0 :N M=a*M1(i*delta t)+b*M2(i*delta t); x(i+1)=M(1) ; y(i+1)=M(2) ; end ; plot(x,y,’r-’) ; Qu’observez-vous ?
8. Lecode suivant permet de tracer les graphes des deux composantes deM:=aM1+bM2. xset("window",3) ; plot(t,x,’r-’) ; plot(t,y,’b--’) ; Calculerlexpressionmathe´matiquedessolutionst7→x(t) ett7→y(t)
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2Uneperturbationdusyst`emedeLotka-Voltera Onconsid`ere`apr´esentlesyste`mesuivant;lesyst`emedeLotka-Volteracorrespondaucasα= 0. 0 x=x(12yαx) (2) 0 y=y(12x+αy) Le code suivant donne une esquisse du champ et de trajectoires pourα= 0.1 clear ; xset("window",4) ; alpha=0.1 ; function xprim=fa(x,y); xprim=x*(1-1*y-alpha*x); endfunction; function yprim=ga(x,y); yprim=-y*(1-1*x+alpha*y); endfunction; function vprim=wwwa(t,v); vprim=[fa(v(1),v(2)),ga(v(1),v(2))]’ ; endfunction ; xMin=-0 ;xMax=+1 ;yMin=0 ;yMax=+1 ; fchamp(wwwa,0,xMin :0.1 :xMax,yMin :0.1 :yMax); a=gca() ;//a=get("currentaxes") ;//getthe handle of the newly created axes a.data bounds=[xMin,yMin;xMax,yMax] ; Tmax=100 ;M0=[1.1,1.1] ; N=1000 ;petitpas=Tmax/N ; t=0 :petitpas :Tmax; for numerotraj=1 :10 M0=[rand(),rand()]’ ; M=ode(M0,0,t,wwwa) ; x=M(1, :);y=M(2, :); plot(x,y) ; end ; 1. Esquissezles trajectoires. Qu’observez-vous?
2. Trouverle point stationnaire non nulMα
3. Quellesvaleurs propres et vecteurs propres vous donneScilabpo?lin´urle´seeaeiriotncnpe
4.Donnezlexpressionmathe´matiquededeuxsolutionsinde´pendantesdulin´earis´e
5. Recommencezavecα=0.meteormpcodeceenre´idelleuQ.1?ovsuet-zsnattnoc
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