Universite de Nice L3MASS annee Departement de Mathematiques NOM Date PRENOM Salle et heure

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Universite de Nice L3MASS, annee 2011-2012 Departement de Mathematiques NOM : Date : . PRENOM : Salle et heure : . Feuille-question du TP 7 Systemes dynamiques de grande dimension 1 Le metabolisme de l'Azathiprine Jusqu'ici nous n'avons considere que la dynamique d'une ou deux quantites en interaction, mais souvent une modelisation realiste necessite de considerer la dynamique conjointe d'un grand nombre de grandeurs distinctes. On peut evidement representer les graphes de chacune des quantites, mais ceci ne permet pas bien de comprendre les interactions. C'est la que les concepts de point d'equilibre, linearise a l'equilibre, valeurs propres reelles ou complexes conjuguees aident a la comprehension des interactions. Nous allons ici examiner cette question sur une modelisation1 (tres simplifiee) du metabolisme d'un medicament que l'on peut apporter de maniere a maintenir sa presence en quantite constante (et, de preference, optimale !) alors que son action va agir sur d'autres produits presents : enzymes, proteines, etc...). La molecule apportee est mesure par x1 ; celle-ci agit sur la dynamique de trois autres grandeurs x2, x3, et x4 au travers d'une fonction de Michaelis-Menten m(x) = V xK+x=mm(x,K,V). Le systeme est donc essentiellement non lineaire, mais nous allons voir comment le linearise permet de comprendre la dynamique.

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Publié le : mardi 19 juin 2012
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Source : math.unice.fr
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Universit´edeNice De´partementdeMathe´matiques NOM : PRENOM :
Date : Salle et heure :
Feuille-question du TP 7 Syste`mesdynamiquesdegrandedimension
L3MASS,anne´e2011-2012 . .
1Leme´tabolismedelAzathiprine Jusquicinousnavonsconsid´ere´queladynamiqueduneoudeuxquantite´seninteraction,mais souventunemod´elisationr´ealistene´cessitedeconsid´ererladynamiqueconjointedungrandnombrede grandeursdistinctes.Onpeute´vidementrepr´esenterlesgraphesdechacunedesquantite´s,maiscecine permetpasbiendecomprendrelesinteractions.Cestl`aquelesconceptsdepointd´equilibre,line´arise´ a`l´equilibre,valeurspropresr´eellesoucomplexesconjugue´esaident`alacompre´hensiondesinteractions. 1 Nousallonsiciexaminercettequestionsurunemode´lisation(tr`essimpli´ee)dum´etabolismedun me´dicamentquelonpeutapporterdemanie`re`amaintenirsapre´senceenquantit´econstante(et,de pr´efe´rence,optimale!)alorsquesonactionvaagirsurdautresproduitspre´sents:enzymes,prote´ines, etc...).Lamole´culeapporte´eestmesur´eparx1; celle-ci agit sur la dynamique de trois autres grandeurs V x x2,x3, etx4au travers d’une fonction de Michaelis-Mentenm(x) ==mm(x,K,V)yseLe`tstm.ees K+x doncessentiellementnonline´aire,maisnousallonsvoircommentlelin´earis´epermetdecomprendrela dynamique.Nouse´tudionstoutdabordlesyst`emesuivant(lesvaleursdesconstantesgurentdansle codeScilab.x˙1=V1m(x1, K2, V2)m(x1, K3, V3)m(x1, K4, V4) ˙x2=m(x1, K2, V2)d2x2 (1) x˙3=m(x1, K3, V3)d3x3 x˙4=m(x1, K4, V4)d4x4 clear ; d2 = 0.525; d3 = 0.578; d4 = 0.4621; V1 = 0.2; K2 = 12.7; V2 = 60; K3 = 3; V3 = 11.15; K4 = 11.2; V4 = 22.9; function mm=mm(x,K,V); mm=x.*V./(K+x) ; endfunction ; xset("window",5) ; xx=0 :01 :100; plot(xx,mm(xx,K2,V2),’b--’) ; plot(xx,mm(xx,K3,V3),’g-’) ; plot(xx,mm(xx,K4,V4),’k--’) ; 1.Repre´sentezavecsoinlesgraphesdestroisfonctionsdeMichaelis-Menten,enindiquantlequel concerne chacune des trois grandeursx2,x3,x4iov(e´drtinndioysusemt`i-ec.s)oussde 1 Ilsagitdunprojetdetroise´tudiantsdeL3BIM:Th.Capdeville,L.Massardier,etR.Tetley,surunth`emepropos´e parM.F.DayandelaSocie´te´Sobios.
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function aza=aza(t,x); aza(1)=V1 - mm(x(1),K2,V2).. - mm(x(1),K3,V3) - mm(x(1),K4,V4); aza(2)=mm(x(1),K2,V2)-d2*x(2) ; aza(3)=mm(x(1),K3,V3)-d3*x(3) ; aza(4)=mm(x(1),K4,V4)-d4*x(4) ; // aza(3)=mm(x(1),K3,V3)-d3*x(4); //couplage ago-antagoniste // aza(4)=mm(x(1),K4,V4)+d4*x(3); endfunction ; Tmax=20 ; N=200 ;petitpas=Tmax/N ; t=0 :petitpas :Tmax; MM0=[0.2,0.2,0.2,0.2;0.2,0.2,0.2,0.2];//deuxfoislem^emepoint:apr`esavoir r´eponduauxpremie`resquestionschangezlundesdeuxpour0,0,0,0parexemple for numerotraj=1 :2 M0=MM0(numerotraj, :)’; M=ode(M0,0,t,aza) ; x1=M(1, :);x2=M(2, :);x3=M(3, :);x4=M(4, :); xset("window",0) ; plot(t,x1,’r-’) ; plot(t,x2,’b--’) ; plot(t,x3,’g-’) ; plot(t,x4,’k--’) ; // xset("window",1); plot(x1,x2,’r-’); // xset("window",2); plot(x3,x4,’g-’); end ; 2.Indiquezenmargeducodeo`usontinitialis´eeslesconstantes,o`uestde´nieete´tudie´elafonctionde Michaelis-Menten,o`uestd´enilesyst`emedie´rentiel´etudie´,quelleetla/lessolution(s)e´tudi´ee(s), o`uestcalcule´ecette/cessolution(s),eto`usonttrace´eslesquatrecomposantes(pr´eciserlacouleur). 3.Repr´esentezledessinobtenu,enindiquant`aquellecomposantexicorrespond chacun des graphes. Quobservez-vous?Voyez-vousquelestl´equilibre?Pouvez-vouslepre´ciseraumoyendefsolve ? Sagit-ilavotreavisdunnoeud,duncol,dunfoyer(pr´ecisez)?
4.De´terminermath´ematiquementlanaturedupointstationnaire(valeurspropresre´ellesounon,signe delapartier´eelle,cons´equence).
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2 Couplageago-antagoniste Observons quex1paregrevnocaiopceceteuqtisealimerssentvidemsielreortsecd´ploueurdeet autres composantesx2,x3etx4curtevitere`sedilgls-seˆnmemaetolsruuqsaeirntdemanieseuleme (terme endxisetnasopmocseSu.senepa´rno`sppsoirelntraaucotqux3etx4interagissent,x4de mani`ereantagonistesurx3, maisx3made`eniagresinousetrx4lesydansmecist`eossud-secemmo (remplac¸antlesd´enitionsdeaza(3)etaza(4)iaer.omcntme´ennenesngilodseapselr ˙x1=V1m(x1, K2, V2)m(x1, K3, V3)m(x1, K4, V4) x˙2=m(x1, K2, V2)d2x2 (2) x˙3=m(x1, K3, V3)d3x4 x˙4=m(x1, K4, V4) +d4x3 5.Modiezvotreprogrammecommepre´par´epourtracerunesolution.Repre´sentezavecsoinlestrac´es obtenus.Commentezvotrere´sultat.
6.Repr´esentezletrace´de(x1, x2te)(de´eactrlex3, x4). Une fois que vous avez compris le comporte-mentdelasolutionrepr´esent´ee,ajoutezunedeuxie`meconditioninitiale(etdoncsolution)comme indiqu´eencommentaire.Commentezcequevousobservez.
7.Calculezlesvaleurspropresdusous-syst`emeen(X3, X4.ntezommee´c;rasinie´d)lu
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