Universite de Nice L3MASS annee Departement de Mathematiques NOM Date PRENOM Groupe

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Universite de Nice L3MASS, annee 2011-2012 Departement de Mathematiques NOM : Date : . PRENOM : Groupe : . Feuille-question du TP 4 Systeme dynamiques lineaires du plan et linearise d'un systeme non-lineaire 1 Un premier systeme d'equations differentielles lineaires Considerons le systeme d'equations differentielles lineaires en les fonctions inconnues t 7? x(t) et t 7? y(t) suivant : { x? = ? 13x? 2 3y y? = ? 23x? 1 3y (1) 1. Montrer que (x1(t), y1(t)) = (e?t, e?t) est une solution du systeme (1). Indication : commencer par evaluer le membre de droite de chaque equation. Donner l'equation de la droite D1qui contient tous les (x1(t), y1(t)) ; indiquer quels points D+1 de cette droite sont atteint pour les t ≥ 0 et quels points D?1 sont atteints pour les t ≤ 0 ? 2. Montrer de meme que (x2(t), y2(t)) = (?e t 3 , e t3 ) est une solution du systeme (1). Donner l'equation de la droite D2 qui contient tous les (x2(t), y2(t)) ; indiquer quels points D+2 de cette droite sont atteint pour les t ≥ 0 et quels points D?2 sont atteints pour les t ≤ 0 ? 3.

  • function yprim

  • representer en rouge et en bleu

  • trajectoire de condition initiale

  • vision geometrique du systeme

  • droite d1

  • segments de trajectoires choisies

  • systeme d'equations differentielles

  • equation


Publié le : mardi 19 juin 2012
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Universit´edeNice De´partementdeMathe´matiques NOM : PRENOM :
Date : Groupe :
L3MASS,anne´e2011-2012 . .
Feuille-question du TP 4 Syste`medynamiquesline´airesduplanetlin´earis´edunsyste`menon-lin´eaire
1Unpremiersyste`mede´quationsdie´rentiellesline´aires Conside´ronslesyst`emede´quationsdie´rentielleslin´eairesenlesfonctionsinconnuest7→x(t) et t7→y(t) suivant : 01 2 x=xy 3 3 02 1(1) y=xy 3 3 tt 1. Montrerque (x1(t), y1(t)) = (e ,etuessone)raprecnemmocation:c(1).Indiystse`emulitnoud e´valuerlemembrededroitedechaquee´quation. + Donnerl´eqde uation de la droiteD1qui contient tous les (x1(t), y1(t)) ;indiquer quels pointsD1 cette droite sont atteint pour lest0 et quels pointsDsont atteints pour lest0 ? 1
t t 3 3 2.Montrerdemˆemeque(x2(t), y2(t)) = (e ,enuqe´oitatues)noudystsenosulitDonnerl`eme(1). + de la droiteD2qui contient tous les (x2(t), y2(t)) ;indiquer quels pointsDde cette droite sont 2 atteint pour lest0 et quels pointsDsont atteints pour lest0 ? 2
3.Lesinstructionssuivantesdonnentunevisionge´ome´triquedusyst`eme(1)sousformedunchamp de direction : A=[-1/3,-2/3 ;-2/3,-1/3] ; function www=WWW(t,V); www=A*V; endfunction; xset("window",0) ; xMin=-1 ;xMax=+1 ;yMin=-1 ;yMax=+1 ; fchamp(WWW,0,xMin :0.1 :xMax,yMin :0.1 :yMax); Repre´sentersch´ematiquementcechampdedirection,enrepr´esentantlesdroitesD1etD2, indiquant ± ± ensemblesDetD le sens de parcours les solutions (x1, y1) et (x2, y2) et les sous-1 2.
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4.Ecrirelesyst`eme(1)sousformematricielleaumoyendunematriceA.raseci´epronleuq
5. L’instructionsuivante permet de trouver les valeurs propres et des vecteurs propres deA [R,diagevals]=spec(A) ; disp(R,"vecteurs propres",diagevals,"valeur propres"); Quelles sont les valeurs propresλdeA. Que peut-on dire de (x1(t), y1(t)) et (x2(t), y2(t)) ?
Lesinstructionssuivantespermettentderepre´senterenrougeetenbleulesimagesdessolutions (x1, y1) et (x2, y2) ainsi que (x1,y1) et (x2,y2tnemulosnoit.s)qsoui´entlega function x=x1(t); x=exp(-t) endfunction; function x=y1(t); x=exp(-t) endfunction; function x=x2(t); x=-exp(+t/3) endfunction; function x=y2(t); x=exp(+t/3) endfunction; tplus=0 :0.01 :2; plot(x1(tplus),y1(tplus),’r-’) ;plot(-x1(tplus),-y1(tplus),’r-’) ; tmoins=0 :-0.01 :-4; plot(x2(tmoins),y2(tmoins),’b-’) ;plot(-x2(tmoins),-y2(tmoins),’b-’) ;
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6. Montrerque pour toutaRet toutbR(x, y) := (ax1+bx2, ay1+by2) est solution de (1)
7. Lesinstructions suivantes utilisent cette remarque pour tracer (en noir : black-) 100segments de trajectoireseatosal´isiechone.trime tt=-4 :0.01 :2; for trajectoire=1 :100; a=-0.5+rand() ;b=-0.5+rand() ; plot(a*x1(tt)+b*x2(tt),a*y1(tt)+b*y2(tt),’k-’) ; end ; a=gca() ;a.databounds=[xMin,yMin ;xMax,yMax] ; Ou`sontchoisies(ale´atoirement)lesconditions initiales(x(0), ynredre`igileeden(0))?Aquoisertla code?Donnezunschemasoigne´decequevousobtenez;repre´sentezlesdroitesD1etD2; indiquez le sens de parcours les solutions.
8. Montrerque si on poseM1= (x1(0), y1(0)) etM2= (x2(0), y2(0)) alors (x(t), y(t)) =U(t)M1+ λ1λ2 V(t)M2pour un choix de fonctionsUetVnpoecr´erissaa)itfsiaastnuq(cU+dV=0o`ucet dsonte?-ilsrendgururlatnecmoemocpmicesecr´npo.Ca)eristsnocseduq(setna
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2Unsyste`menon-lin´eairepre´sentantcecol Onconsid`ere`apr´esentlesyst`eme(non-lin´eaire) 0 x=x(1x2y) (2) 0 y=y(12xy) 1 1 1. Montrerque le point (x0, y0) = (,) est unpoint stationnaireet que la matriceAest lajacobienne 3 3 dusyste`meencepoint(x0, y0).
2.Lecodesuivantpermetderepr´esenterlechampdedirectionsassocie´ausyste`me(2)etdetracer destrajectoiredeconditioninitialechoisieal´eatoirement xset("window",1) ; function xprim=f(x,y); xprim=x*(1-x-2*y); endfunction; function yprim=g(x,y); yprim=y*(1-y-2*x); endfunction; function vprim=www(t,v); vprim=[f(v(1),v(2)),g(v(1),v(2))]’ ; endfunction ; fchamp(www,0,0 :0.05 :1.1,0 :0.05 :1.1); Tmax=10 ;N=100 ; petitpas=Tmax/N ;t=0:petitpas :Tmax; for numerotraj=1 :100 M0=[rand(),rand()]’ ; M=ode(M0,0,t,www) ; x=M(1, :);y=M(2, :); plot(x,y) ; end ; Executez ce code puis effectuez des loupes (zoom) autour du point stationnaire (x0, y0). Qu’observez-vous ?
3. Executezla commande suivante M1=[1/3 ;1/3] ;eps=0.0000001 ; JAC=[www(0,M1+eps*[1 ;0])-www(0,M1),www(0,M1+eps*[0 ;1])-www(0,M1)]/eps ; disp(JAC;systemea`laloupe=); Qu’observez-vous ?Expliquez.
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