Universite de Nice SL2M Algebre

Publié par

Universite de Nice SL2M 2009-10 Algebre 2 Espaces euclidiens, orthogonalite, longueur. Moindres carres. On travaille avec le corps des reels, note R. Pour tout entier naturel n, on considere l'ensemble des n-uplets de reels que l'on designe par Rn : ainsi, un element ~x de Rn est une famille de reels (x1, x2, . . . , xn). Noter que R0 ne contient qu'un element, la famille vide, que l'on note 0. L'ensemble R1 se ramene a R. On appelle souvent ~x un vecteur en reference a la structure d'espace vectoriel sur Rn. (Voir 10.1 pour la definition de cette structure). 1. Produit scalaire dans Rn. Etant donnes deux vecteurs ~x et ~y de Rn, on considere le nombre reel x1y1 + . . . + xnyn = n∑ i=1 xiyi que l'on appelle produit scalaire de ~x et ~y et que l'on note ?~x | ~y?. On verifie tres facilement les proprietes suivantes : pour tous ~x, ~x?, ~x”, ~y, ~y?, ~y” de Rn, pour tout ? scalaire reel, on a (1) Le produit scalaire est bilineaire ?~x? + ~x?? | ~y? = ?~x? | ~y?+ ?~x?? | ~y? ?~x | ~y? + ~y??? = ?~x | ~y??+ ?~x | ~y??? ??

  • produit scalaire

  • inegalite de cauchy-schwarz

  • rn ?rn ??

  • famille libre

  • restriction de ?

  • projection orthogonale


Publié le : mardi 19 juin 2012
Lecture(s) : 41
Source : math.unice.fr
Nombre de pages : 9
Voir plus Voir moins
Universit´edeNice 2009-10
SL2M Alg`ebre2
Espaceseuclidiens,orthogonalit´e,longueur. Moindrescarre´s. On travaille avec lecorpson´teed,slee´rsR. Pour tout entier naturelnleresnesnoce`di,onlemb n n desnno´deulleqsree´rnepaesigpl-usdetRtneme´le´nu,iains:~xdeRest unefamille de 0 r´eels(x1, x2, . . . , xn). Noter queR.0etoe,idevllnnoelque´´lmene,talafimnecontientquun 1 L’ensembleRam`eserne`aR. n On appelle souvent~xunvecteurstlactruener`acerne´fe´rielsurcaveceotrudeepsR. (Voir 10.1 pourlade´nitiondecettestructure).
n 1.Produit scalaire dansR. n ´ Etantdonn´esdeuxvecteurs~xety~deRsionnc,oenelerd`e´rerbmole n X x1y1+. . .+xnyn=xiyi i=1 que l’on appelleproduit scalairede~xety~et que l’on noteh~x|y~ivne´O.seltneilemsfactr`erie 0 0n proprie´t´essuivantes:pourtous~x,~x,~x”,~y,~y,~y” deR, pour toutλalacrerisel´ena,o (1)iae´nilieralLscriotedputbesreai 0 00 0 00 h~x+~x|~yi=h~x|~yi+h~x|~yi 0 00 0 00 h~x|y~+~yi=h~x|~yi+h~x|y~i hλx~|~yi=λh~x|~yi h~x|y~λi=λh~x|~yi (2).ueiqtr´eymtseLserialacstiudorpe h~x|y~i=hy~|~xi (3)alaiitscroduLep.ifpintisoseere´dt h~x|~xi ≥0 et h~x|~xi== 0 ~x= 0. Latroisi`emepropri´et´epermetded´enirlanorme euclidienned’un vecteur (on peut dire aussi sa longueur) par la formule p k~xk:=h~x|~xi Cettemˆemeproprie´te´montrequelanormedunvecteurestnullesietseulementsilevecteurest nul. Pour toutλ´ran:eeol kλ~xk=|λ| k~xk. n 1.1.`roe´hTemehwScz)are´nI(edt´ligay-chaueC.: Pour~xety~vecteurs deRon a |h~x|~yi| ≤ k~xkky~k avec´egalit´esietseulementsi~xety~niloctnosres.´eai
2
n De´monstration.xevreocnssdiedu´sConteur~xet~ydeR. Si~xeme`roe´selttseurteecevthlel,nu vrai. Supposons donc~x6= 0 et, pourλitcnno´ree,lnsco´eidnsrofola
ϕ:R λ
−→ =
R 2 kxλ~+y~k.
Enutilisantlabilin´earite´etlasyme´trieduproduitscalaireontrouve
2 2 2 ϕ(λ) =h~λx+~y|λ~x+~yi=λk~xk+ 2λh~x|~yi+k~yk.
Commeleproduitscalaireestd´enipositif,lafonctionϕest toujours positive ou nulle. Comme 2 2 2 cestunefonctionpolynoˆmeduseconddegr´e,sondiscriminant4h~x|y~i −4k~xk k~ykifategn´ste ou nul. On a donc 2 2 2 h~x|~yki ≤ ~xk k~yk
etline´galit´edemand´ee. Silyae´galite´,cestquelediscriminantsannule.Cestleseulcaso`uϕa une racine (double)λ0. 2 Dire queϕ(λ0) = 0, c’est dire quekλ0~x+~ykdoiu(crpd,no0=eleuq)fitisoipn´eedirlacats vecteurλ0~x+y~est nul, soit encore que~y`aptseoporoitrlenn~x. R´eciproquement,si~xety~in´etcolsetqaireeusno~xn’est pas nul, il existe unλ0tel que le vecteur λ0~x+y~est nul. On a alors 2 |h~x|~yi|=|h~x| −λ0~xi|=| −λ0|k~xk=k~xkk~yk.
n 1.2.Corollaireanglutrit´edgalie´nI()e.Pour~xety~vecteurs deR, on a :
k~x+~yk ≤ k~xk+k~yk
avec´egalite´sietseulementsilundesvecteursestnulousiilssontproportionnelsavecuncoef-cientdeproportionnalit´epositif.
De´monstration.On calcule
2 2 2 k~x+y~k=h~x+y~|~x+~yi=k~xk+ 2h~x|y~i+k~yk.
Enutilisantline´galite´deCauchy-Schwarz,onobtientque
et donc la majoration
h~x|y~i ≤ |h~x|~yi| ≤ k~xkky~k
2 2 2 2 k~x+~yk ≤ k~xk+ 2k~xkk~yk+k~yk= (k~xk+ky~k)
quiestcellerecherche´e.Pouravoir´egalite´ilestne´cessaireetsusantque
h~x|~yi=k~xkky~k.
Enparticulieronestdanslecasou`line´galit´edeCauchy-Schwarzestune´egalite´,lesdeuxvecteurs sontdonccoline´airesavecuncoecientdeproportionnalite´positif(voirlapreuvede1.1).
3
1.3.Commentaire.sesn´ialeg´eitCadeyhcuhcS-zrawedteOnremarqueuqleserpueevdsle cons´equencesutilisentseulementlestroisproprie´te´se´nonce´esdabordpourleproduitscalaire: biline´arite´,syme´trieetpositivite´etnonlaformuleexplicitequid´enitleproduitscalaire(le ve´rier). Encourag´eparceconstat,onvade´sormaisappelerproduit scalairesur un espace vectorielE sur le corpsRere´iaetuoticatapplilinionb φ:E×E−→R (~,xy~)7φ(~,yx~) quiestbiline´aire,syme´triqueetd´eniepositive.Pourunetelleapplication,ilyunanaloguede line´galite´deCauchy-Schwarzetdesescons´equences.Parexemple,lin´egalit´edeCauchy-Schwarz pourφsn:is´enonceai Pour~xety~vecteurs deEon a p p |φ(y~,x~)| ≤φ(x~x~,)φ(y~,y~) avece´galit´esietseulementsi~xet~yres.´eaiolinnocts Onde´nite´galementunenormeocsseei´a`aφsurE: pour tout vecteur~xdeE, p k~xkφ:=φ(~~xx,) (voiricilese´nonce´sg´en´erauxpourlesproduitsscalaires10.9,lesnormes10.10etline´galit´edu triangle 3).
1.4.Exemples d’espaces vectoriels euclidiens.emexesplvauidntctueisnore´dlre.Onppa-plication : n n φ:R×R−→R (y~x,~)72x1y1+x2y2+. . .+xnyn n qui est un produit scalaire surRe)rS.il(vee´irn2, on aφ((1,1,0, . . . ,0),(1,1,0, . . . ,0)) = 1, alorsqueleproduitscalaireusueldecesdeuxvecteursestnul.Ilyadonc,enge´ne´ral,plusieurs produitsscalairessurunmˆemeespacevectorielr´eel. Sous-espacesvectorielsdunespacevectorielr´eel. SiFest un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel euclidienE(donc muni d’un produit scalaireφ), la restriction deφa`F×Finduit un produit scalaire surF. Autrement dit, pour calculer le produit scalaire de deux vecteurs deF, on calcule leur produit scalaire dansE. Danslasuiteonconside`reradoncunespacevectorielEmuni d’un produit scalaire que nous n noteronsh | iodtiagdrq,eulnoil´egi´empleprivexeL.ediuese,eltcenerettˆRmuni du produit scalaire usuel. PolynˆomesorthogonauxC.nuuaetsxemptree`esiletrropmtnatrtteuse`litieds´slanapeslp-i cations.Voir Feuille 2, Exercice 4.
2.linagohortOe´t n 2.1.oitine´Dn.On dira que deux vecteurs~xety~deRsontorthogonauxsi leur produit scalaire est nul.
Remarquerquelevecteurnulestorthogonal`atoutautrevecteur. 2 Le calcul dek~x+~ykes-ds(suci:vanttsuiulta´rseevelrpuo.1)2
Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.