Universite de Nice SL2M Algebre

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Universite de Nice SL2M 2009-10 Algebre 2 Matrices symetriques reelles. 4. Calcul matriciel 4.1. Application bilineaire symetrique associee a une matrice symetrique. On considere une matrice symetrique A dans Mn(R). On appelle B la base canonique (e1, . . . , en) de Rn. (1) A une telle matrice est associee une application lineaire f de Rn dans Rn. Si ~x est un vecteur de Rn, on note X la matrice colonne de ses coordonnees dans la base canonique B. Le produit de matrices AX est une matrice colonne qui est la matrice dans la base canonique B d'un vecteur ~y de Rn. Ce vecteur est l'image de ~x par f . (2) A une telle matrice est associee une application bilineaire symetrique de Rn ?Rn dans R. On considere deux vecteurs ~x et ~y de Rn de matrices respectives X et Y dans la base B. Le produit de matrices tY AX est une matrice 1? 1, c'est-a-dire un reel. Remarquons que ce reel est le produit scalaire ?~y | f(~x)?. On notera ? l'application ? : Rn ?Rn ?? R (~x, ~y) 7?? ?~y | f(~x)?. On note que, puisque A est symetrique, tY AX = tX tAY = tXAY.

  • produit scalaire

  • application directe des proprietes du rang et du determinant

  • matrice symetrique

  • symetrique ?

  • base orthonormee

  • rn ?rn ??

  • rang


Publié le : mardi 19 juin 2012
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Universit´edeNice 2009-10
Matricessyme´triquesr´eelles.
SL2M Alg`ebre2
4.Calcul matriciel 4.1.tairecyseea`numee.m´etriqucitapAlpinilnbiosyreai´euqirte´m´icossaeOnconse`dier n une matriceequm´syrietAdansMn(R). On appelleBla base canonique (e1, . . . , en) deR. ` n n (1)Aunetellematriceestassoci´eeuneapplicationlin´eairefdeRdansR. Si~xest un n vecteur deR, on noteXcecirtamedennololaeubasanalsnoqicenaoordsesceesdonn´ B. Le produit de matricesAXest une matrice colonne qui est la matrice dans la base n canoniqueBd’un vecteury~deR. Ce vecteur est l’image de~xparf. n n ` (2)Aunetellematriceestassocie´euneapplicationbiline´airesyme´triquedeR×RdansR. n Onconsid`eredeuxvecteurs~xet~ydeRde matrices respectivesXetYdans la baseB. t Le produit de matricesY A Xest une matrice 1×c1,riuerne´se-ta`d-quonsqueel.Remar cer´eelestleproduitscalaireh~y|f(~x)i. On noteraφl’application n n φ:R×R−→R (~x,~y)h7~y|f(~x)i. On note que, puisqueA´mysirte,euqste t t t t Y A X=X A Y=XA Y. On a doncφ(~,xy~) =φ(x~y,~), soit encoreh~y|f(~x)i=hf(y~)|~xi. Espace vectoriel euclidienEDans la baseB ~xX y~Y f:E−→E Aictrarec´reeman×n y~=f(~x)Y=AX t t h~x|y~i=h~y|~xiY X=XY t t t t h~y|f(~x)i=hf(~x)|~yiY A X= (AX)Y=X A Y
5.uestriqym´eressniliiae´roFbsem Danscettesectionone´tudielesapplicationsbiline´airessyme´triques φ:E×E−→R (~u,~v)7φ(~v~,u). o`uEest un espace vectoriel surRC.tlsemoemdarpaceeeesriv´Ron appelle une telle application formebilin´eairesyme´trique. 5.1.Lemme.eirean´liacitnoibnuaeppilnsid`ereOncoφcomme ci-dessus qui est de pluspositive, cest-a`-dire v~E φ(,v~v~)0. L’ensemble des vecteurs~vdeEtels queφ(~v~,v) = 0est unsous-espace vectorieldeE. C’est aussi le sous-ensemble {v~E| ∀~wE φ(w~v,~) = 0}
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D´emonstration.reuctvenuere`disnocnOv~tel queφ(~,vv~) = 0, un vecteur~wdeEet un scalaire re´elλ. On calculeφ(~v+~wλv,~+λw~lisanutibilintlair´t´nae:eos,p)nuouifitopyhraple,ese`ht 2 2 0φ(v~+~wλv,~+λw~) =φ(v~,v~) +λ φ(w~w~,) + 2λφ(~v,~w) =λ φ(w~~,w) + 2λφ(~,vw~). 2 Onende´duitquelafonctionλ7λ φ(~,ww~) + 2λφ(~,v~wcunendauepre)ntage,evielav´nruce qui n’est possible que lorsqueφ(v~,~w) = 0. Onv´erieensuitequelensemble {~vE| ∀~wE φ(v,~~w) = 0} est un sous-espace vectoriel deElelacndeqeeuno´sunecest.Cde´eitar´einφarpnosa`troppar premier argument.Remarque.Enparticulean´epiritoseiv,reifenuemroilibφest un produit scalaire si et seulement silunedesdeuxproprie´t´essuivantesestsatisfaite (1) l’ensemble{~vE|φ(,~v~v) = 0}el.nuuratvuceetts´rdeiu (2) le sous-espace vectoriel{~vE| ∀~wE φ(~v,~w) = 0}cevuruet.luniuat´rdeets 5.2.´eTh`eor.meis`dreueentneinraturelOonncn, un espace vectoriel euclidienEde dimension finienutenebeliofmrairein´eetriqsuyem´φsurE. Il existe unenororohtabeseem´(v~1v,~..,.n) de vecteurs deEe,leslleder´etunefami(λ1, . . . , λn)telles que (1)Pourida`1en,φ(v~i,v~i) =λi. (2)Pourietje1`adn,i6=j,φ(~viv~,j) = 0. P P n n (3)Siv~=αi~viet~w=βiw~i, alors i=1i=1 n X φ(~v,~w) =λiαiβi. i=1 En particulier, n X 2 φ(,~~vv) =λi(αi). i=1 Lassertion(3)este´quivalenteauxdeuxpremi`eres,comptetenudelabilin´earite´deφ. De´monstration.´emonstrLadiaptra´rtaoisnfecnerrucenelruseertin. Pournei`nyraaln0i= faire(unefamille`a0´ele´mentsestvide).Onconsid`erealorsunentiern >,0nufeormebilin´eaire syme´triqueφsur un espace euclidienEde dimensionnnoteitfahylthpose`ete´huqlemeeeoe`rst vraipourtouteformebiline´airesym´etriquesurunespacededimensionstrictementinfe´rieure`an. ` A l’aide deφ, on construit une application n h:R−→R ~x7h(~x) :=φ(x,~~x). n n Lasphe`reunite´deRtbeen´oreedseenutmesnfelb´mreR, donc compact. La fonctionh estcontinueparcequepolynomiale.Unth´eor`emeimportantdanalysearmequetoute fonction continuesuruncompactestborn´eeetatteintsesbornessurcecompact. La fonctionhest donc borne´esurlasph`ereunit´eetilexisteunvecteurv0de norme 1, tel que tout vecteurvde norme 1 a une imageh(vjoma)rpaeer´h(v0)O.dne´isngeh(v0) parλ0.
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Onconside`realorslapplication n n ψ:R×R−→R (v,~~u)7λ0h~u|~vi −φ(~v,u~). Cestencoreuneformebiline´airesyme´triqueparcequeφet le produit scalaire sont toutes deux desformesbilin´eairessyme´triques.Dautrepart,ψest positive. En effet, sivest nulψ(0,0) = 0 et sinon v~ 2 ψ(v,~v~) =kv~k(λ0h( )0. kv~k ~v puisque est un vecteur de norme 1. kv~k Le lemme 5.1 montre que 2 (1) L’ensemble des vecteursv~deEtels queh(~v) =λ0k~vkest un sous-espace vectorielF0de E0a`tiudernon,siupiuqnoclneittv~0. (2) Un vecteur~vest dansF0si et seulement si pour toutwdeE,ψ(v, w) = 0. Onadoncmontre´: ~vF0~wE φ(~v~,w) =λ0h~w|~vi En particulier, siw~lanoea`rotsgohtF0, on voit que ~vF0φ(w~~,v) = 0. 0 00 0 00 FOn Tout vecteur~vdeE´eednsqueeeunire`inamedesopmoc~v+~vavec~vF0et~v0. calculeφ(~w~v,) :
0 00 0 00 0 0 0 00 00 0 00 00 φ(,~w~v) =φ(v~+~w~,v+~w) =φ(~w,~v) +φ(~v~,w) +φ(v,~w~) +φ(w~~v,) 0 0 00 00 0 0 00 00 =φ(,v~w~) +φ(~,v~w) =λ0h~v|~wi+φ(~v~,w). ⊥ ⊥ Il suffit donc de connaˆıtre la valeur deφsur un couple de vecteurs deFpour connaˆıtreφ. OrF 0 0 estunespacevectorieleuclidiendedimensionstrictementinfe´rieure`an. On peut lui appliquer lhypoth`esedere´currence:ilexisteunebaseorthonorm´eedeFdunsiousclonscv´eriantle 0 le obtenu rF, the´ore`me.Enprenantunebaseorthorme´edeF0vetaelcct´caanenuopecanoetlne0 onobtientunebaseorthonorme´edeE.emeuth´eor`lusionsdltseoccn´vreina5.2.1.Exemple.d`sielerOonncqueteirys´mirecmata   7 2 A:=. 2 4 Onluiassocielaformebiline´airesym´etrique 2 2 φ:R×R−→R       7 2v1 ((u1, u2),(v1, v2))7u1u2= 7u1v1+ 4u2v2+ 2u1v2+ 2u2v1. 2 4v2 L’applicationhest alors
2 h:R (x1, x2)
−→ 7
R 2 2 + 4x4x . 7x1 2+1x2
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