UNSA DEA “Algebre categorielle” decembre Duree heures Les notes du cours sont autorisees

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UNSA 2003/2004, DEA “Algebre categorielle”, 18 decembre 2003. Duree : 3 heures. Les notes du cours sont autorisees Une redaction claire et precise sera appreciee. 1) Generateurs stricts. On considere une categorie C ayant des produits fibres et des coproduits indexes par des ensembles. Un foncteur F : C ? Ens est dit conservatif si un morphisme f de C est un isomorphisme des que Ff est bijectif. Un objet G de C est un generateur strict si C(G,?) : C ? Ens est conservatif. Un epimorphisme f est extremal si dans toute factorisation f = mf ? tel que m est un monomorphisme, m est en fait un isomorphisme. 1.a. Montrer que tout epimorphisme extremal est strict. Indication: si qf = mg avec f extremal et m mono, former le produit fibre de q et m. 1.b. Montrer que tout foncteur conservatif qui preserve les egalisateurs est un foncteur fidele. En deduire qu'un generateur strict est un generateur. 1.c. Montrer que pour un generateur strict G et un objet C de C, le morphisme canonique ?C : ? C(G,C) G ? C est un epimorphisme strict. On rappelle que ?C est defini par la propriete ?Ci? = ? pour la composante i? : G ? ? C(G,C) G correspondant a ? : G ? C.

  • structure de categorie additive

  • carre

  • morphisme canonique

  • a?a ?

  • categorie

  • conoyau du morphisme z

  • proprietes de transitivite des carres cocartesiens


Publié le : lundi 1 décembre 2003
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MAT432:ContrˆoleClassant du 13 Novembre 2003 Unecopieou`undesproble`mesouexercicesesttraite´ a`fondauraunemeilleurenotequunecopiequinetraite quelesquestionslesplusfacilesdechaqueprobl`emeou exercice.Lesr´efe´rencesaucourssontadmises,maisde-vrontˆetrepr´ecises
Exercice I :vnocegreeecnlactMtronlaereculerlint´egral suivante : Z +log(x) I =dx. 4 (1 +x) 0
2 2 Exercice II :etonnO´eseΓlerauZdeRetfune 2 fonction deLe)vrn´.Onsiolidunseltato(cevaceirstno Γ d´eveloppementdeFouriersouslaforme: X 2(mx+ny) f(x, y) =amne . 2 (m,n)Z P 1 1)Montrerquelas´erie22 2converge. (m,n)6=(0,0) (m+n) P 2 22 2 2)End´eduireque,si2(m+n)|amn|<+, (m,n)Z alorsfest continue (indication :on adaptera une preuve faite en cours dans le cas unidimensionnel).
Exercice III :ocnOetrura´eoplre`eidnsAnsirude´ 2 L(R) par : 2 fL(R), A(f) =af 1 ou`asefaltn´epariectonndioa(x) =2. 1+x 1) Montrer queAa-jduaot.iotnteur´erainuecontponutse 1
2) Montrer queAn’a aucune valeur propre. 3) Montrer queAλest inversible pourλ,r´eelλ6∈[0,1]. 4) Montrer que, si 0< λp´oaterrue,l1Aλn’est pas 1 surjectif (ruarnoopid´econsrerx0tel queλ=2). 1+x 0 5)D´eterminerlespectredeA. 1/2 Pour simplifier les notations nous poseronsF1= (2π)F 1/2 etF1= (2π)F. 2 6) PourfL(R), on pose
R(f) =F1(aF1(f)).
Montrer queR´preutonsenutie.euatonrc 7)De´terminerlespectredeR. 2 8) On suppose quefCteuqse`auvire´dseqsujsee´ lordre2sontdecarre´sommable,calculerR((I+ Δ)(f)), 2 2d f ou`Itienedt´etsedilL(R) et Δ(f) =2. dx
Probl`emeI:lafonctionGamma. 1) PourtR,t >0´x,euqlesepromeihedtlaiomdneloho z de la fonctionz7t? 2) Pourzoecn´x`drenoisctonafel]0den,io,+[ dans C: t z1 t7.e t Montrerquecettefonctionestint´egrablesur]0,+[, d`esqueRe(z)>0.
On pose alors Z +t z1 Γ(z) =e tdt. 0
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3) Montrer que la fonction Γ est holomorphe sur le demi-planRe(z)>0. (Oansruocudeme`reoh´ntauerqulipp enve´riantleshypoth`eses). 4) Pourxr´tisimof,rentuerqsleecirtemetoptn
Γ(x+ 1) =xΓ(x).
5)End´eduireque,pourRe(z)>0, on a Γ(z+ 1)= zΓ(z). 1 1 6) Calculer Γ(1), Γ() puis Γ(n) et Γ(npour+ ),nentier 2 2 strictement positif. 7) On pose, Γ(z+n) f(n, z) = (z+n1)∙ ∙ ∙(z+ 1)z pournest le domaine d’holomorphie deentier. Quel f(n, z)? 8) Montrer quef(n+p, z) =f(n, z) pour toutn, pen-tiers positifs et pourzassez grand. 9) Montrer que Γ se prolonge en une fonction holomor-phe surC\ {−N}a`d-se-t(crsue,irCde´eivprsreitnes ne´gatifsounuls).
Probl`emeII:lin´egalit´eisop´erim´etrique. SoitDun compact connexe par arc deC. Onsuppose quesonbordoriente´estconstitue´duneseulecourbede 1 classeC,not´eeC. OnnoteLla longueur deCetA l’aire deDsuppose la courbe. OnCunerapee´rte´marap
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fonction 2π-p´eridoqieu, z: [π, π]−→C s7z(s)
1 1) Posonsω= (xdyydxen,ligiucvrarelt´eglinimerExpr.) R 2 ω, en fonction deA. C 2) On notecnlen-ieoceme`Fedtneicdeerriou-ncfola tionpe´riodiquezge´tila:e´.Quelestlesensdel X ins z(s) =cne? nZ
0 3)CalculerlescoecientsdeFourierdelad´erive´ezde z(en justifiant leur existence). 0 4) CalculerAen fonction du produit scalaire (z|z) (pro-2 duit scalaire dansL([π, π])).On utilisera la question 1. 5) Donner, en la justifiant, une expression deAen fonc-tion descn. On suppose maintenant que la courbeCrapeer´etm´rapa, l’intervalle [π, πtean.notsssceiveteua`courtpar],es 6) Exprimer cette vitesse en fonction deL. 7)Exprimerlecarr´edelalongueurenfonctiondescn. R π 02 (on calculeraindication :|z(s)|dsersine`xuamdede π die´rentes). 8)Enutilisantlesquestions5et7,de´montrerlin´egalit´e 2 isop´erime´triqueL4πA. 1 9) Quels sont les coefficients de Fourier des courbesC quire´alisentle´galit´e?D´ecrirecescourbes.
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