Vecteur translation

De
Publié par

Vecteur = translation Dedou Octobre 2009

  • systeme homogene

  • systeme d'equations lineaires

  • definie par le systeme


Publié le : jeudi 1 octobre 2009
Lecture(s) : 73
Source : math.unice.fr
Nombre de pages : 16
Voir plus Voir moins
Vecteur
=
translation
D´edou
Octobre
2009
Vecteurs dans R n
Les vecteurs de R n sontpard´enitionlespointsde R n .
On les voit comme des vecteurs dont l’origine est l’origine de R n .
~ A tout couple A , B de points on associe le vecteur AB := B A .
Vecteurs d’une droite de R
2
Consid´eronsparexempleladroite D de´quation x + y = 1 dans R 2 . Les vecteurs (de R 2 ) de la forme A ~ B avec A , B D sont exactement les vecteurs de la droite D 0 de´quation x + y = 0. ~ C’est pourquoi D 0 estaussinot´ee D .
Et ca se dessine. ¸
Vecteurs d’un sous-espace affine de R
n
~ Soit S un sous-espace affine non vide de R n On note S l’ensemble . ~ des vecteurs de R n de la forme AB avec A , B S et on dit que c’est l’ensemble des vecteurs de S .
Exo Quelestlensembledesvecteursdeladroited´equations x + 2 y = 3 dans R 2 ?
~ S pour S sous-espace affine de R
n
Soit S un sous-espace affine non vide de R n et E unsyste`me de´quationsline´airesdont S est l’ensemble des solutions. On note ˜ E lesyst`emehomoge`neassocie´.Lensembledesessolutionsestle sous-espacevectorielparalle`lea` S (passant par l’origine).
Proposition ~ a) L’ensemble S des vecteurs de S este´gala`lensembledes ˜ solutions de E . ~ b) Pour tout vecteur v S et tout point A de S , le point A + v est aussi dans S .
Exo Don
Donnezunsyste`med´equationspour ~ D ,o`u D est la droite de R 3 de´nieparlesyst`eme
xx+22yy+33zz==45.
Translations dans R n
D´enition Dans R n , la translation de vecteur c R n est l’application affine
τ c : R n R n . u 7→ u + c
Exemple L’application ( x , y ) 7→ ( x 1 , y + 2) est une translation de R 2 .
Exo Ecrivez votre translation favorite de R 3 .
Translations et vecteurs dans R
n
~ On note R n l’ensemble des translations de R n . C’est un sous-ensemble de Aff ( R n , R n ).
Proposition L’application suivante est bijective :
~ τ : R n R n c 7→ τ c .
Celasigniequesedonnerunetranslationrevient`asedonnerle vecteur correspondant. Le vecteur d’une translation f est tout simplement f (0).
Exo Quel est le vecteur de la translation ( x , y ) 7→ ( x e , y + π ) ?
Caract´erisationdestranslationsdans R
n
Proposition Pour qu’une application affine f : R n R n soit une translation, il fautetilsutquelleaitlapropri´ete´suivante: pour tout couple M , N de points de R n ; les milieux de Mf ( N ) et de Nf ( M )sonte´gaux.
Exercicea`voir´eventuellemententd De´montrezcet´enonc´epour n = 2.
Translations dans un sous-espace affine de R
n
D´enition Dans un sous-espace affine non vide A de R n , la translation de ~ vecteur c A est l’application affine
τ c : A A u 7→ u + c . Commedeuxvecteursdistinctsge´ne`rentdestranslations ~ di´erentes,lensembledestranslationsde A sidentie`a A .
Exemple L’application ( x , y ) 7→ ( x 1 , y + 2) est une translation de la droited´equation2 x + y = 3 dans R 2 .
Exo Ecrivezvotretranslationfavoritedupland´equation x + 2 y + 3 z = 4 dans R 3 .
Caracte´risationdestranslationsdunsous-espaceane
Proposition Soit A un sous-espace affine non vide de R n . Pour qu une application affine f : A A soit une translation, il faut et il suffit quelleaitlaproprie´t´esuivante: pour tout couple M , N de points de A ; les milieux de Mf ( N ) et de Nf ( M )sonte´gaux.
Translations d’un espace affine
De´nition Dans un espace affine A , une translation est une application affine f : A A telle que, pour tous M et N de A , les milieux de Mf ( N ) et Nf ( M )soiente´gaux.
~ Onatrouv´eunefa¸conhabilededirequelesvecteurs Mf ( N ) et ~ Nf ( M )sont´egauxsansparlerdecesvecteurs.
Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.