VOUS AVEZ DIT « DIDACTIQUE DES MATHEMATIQUES » ?

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41 VOUS AVEZ DIT « DIDACTIQUE DES MATHEMATIQUES » ? Alors fuyons …1 Aline ROBERT Irem Paris 7 REPERES - IREM. N° 71 - avril 2008 dans le premier comme dans le second degré, beaucoup de formateurs sont considérés a priori comme « coupés du terrain », et, de ce fait, un tant soit peu illégitimes pour former les futurs enseignants. Ajoutons le zeste de cette idéologie dominante si répandue en ce moment, qui donne à l'expérience, au ter- rain, le rôle essentiel dans la formation et dans les pratiques, faisant peu de cas de toute réflexion un peu générale, théorique, sur ces dernières, et nous
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Publié le : mercredi 28 mars 2012
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REPERES - IREM. N° 71 - avril 2008
VOUS AVEZ DIT « DIDACTIQUE
DES MATHEMATIQUES » ?
1Alors fuyons …
Aline ROBERT
Irem Paris 7
La connotation négative de l’adjectif dans le premier comme dans le second degré,
« didactique » peut participer à cette pre- beaucoup de formateurs sont considérés a
mière réaction d’un certain nombre de pro- priori comme « coupés du terrain », et, de ce
fesseurs de mathématiques, débutants ou fait, un tant soit peu illégitimes pour former
non. Un film qualifié de « didactique » par la les futurs enseignants. Ajoutons le zeste de
critique n’est pas un film où on se précipite : cette idéologie dominante si répandue en ce
il doit être plein de bonnes intentions mais lourd, moment, qui donne à l’expérience, au ter-
indigeste, ennuyeux, sans idée nouvelle, sans rain, le rôle essentiel dans la formation et
intérêt finalement… Et, si ça se trouve, avec dans les pratiques, faisant peu de cas de toute
plein de vocabulaire incompréhensible ! réflexion un peu générale, théorique, sur ces
dernières, et nous comprenons pourquoi « la
Une certaine ambiance anti-IUFM a didactique » peut avoir si mauvaise presse, a
aggravé cette méfiance préconçue, voire ce rejet priori. On pourrait s’interroger sur la coïnci-
a priori, associant souvent le mot didactique dence si bienvenue entre une politique géné-
à des prescriptions pas toujours justifiées, rale de restrictions économiques et des injonc-
jugées même quelquefois sectaires, de for- tions à réduire les formations à leur partie la
mateurs IUFM. Il y a de grandes différences
entre les IUFM et leurs programmes de for- 1 Le mot n’est pas trop fort, ainsi mon propre neveu, alors
enseignant de français débutant, a négocié avec moi de memation, selon la taille des académies par
rendre un certain service, concernant un trajet en auto-
exemple. Pourtant, malgré ces diversités,
mobile, contre mon silence absolu sur ce point.
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moins « chère », mais ce serait sans doute du résultats. Cela m’amènera à discuter des
mauvais esprit. formations des enseignants. Je terminerai
en évoquant le problème de l’enseignement
Je voudrais ici plaider, de manière per- en classes de milieu défavorisé, avant de
2sonnelle , contre ces idées a priori, en réta- conclure sur des perspectives.
blissant quelques éléments précis sur ce
que représente la didactique des mathéma-
tiques et ses apports éventuels, notamment 1) Un exemple de questionnement
au niveau des lycées et collèges. Les articles relevant du champ de la didactique
de Douady (1994), Houdement (2007), Her- des mathématiques
sant (2005), par exemple, apportent un éclai-
rage complémentaire sur la liaison école/col- Je vais donner un exemple, nécessairement
lège. Ces précisions que je vais apporter limité, pour aborder mon propos : l’ensei-
sont toutes relatives car je n’ai pas vrai- gnement de la racine carrée en troisième de
ment la place de donner des exemples consis- collège. L’étude de cet enseignement relève de
tants, pourtant indispensables à la com- notre champ de recherches lorsque les appren-
préhension d’un domaine vraiment complexe. tissages sont analysés en relation avec la spé-
C’est que sont en jeu les relations compliquées cificité de la notion et avec l’enseignement. Des
qui se tissent, jour après jour, entre des recherches didactiques effectives y sont liées
savoirs mathématiques à enseigner, des même s’il reste des points non abordés.
enseignants et des classes, formées d’élèves
toujours changeants… J’ai donc choisi de don- Je vais en fait dégager à partir de ce
ner quelques idées fortes plutôt qu’un pano- thème un certain nombre des questionne-
rama. Si, grâce à la bibliographie, quelques ments importants qui relèvent de nos tra-
lecteurs vont y regarder de plus près, mon vaux, en faisant référence au fur et à mesu-
objectif sera atteint ! re à certaines des recherches déjà menées.
Je vais commencer par un exemple, limi- Confortant la difficulté de l’apprentissa-
té, pour illustrer un certain nombre de ques- ge de la notion, et donc son intérêt, des études,
tions qui relèvent du champ de la didac- dont certaines relèvent de notre champ, ont
tique. Je présenterai ensuite succinctement permis de mettre en évidence des erreurs
quelques spécificités de nos recherches, car récurrentes d’élèves qui font partie des don-
la didactique des mathématiques, c’est nées sur lesquelles nous travaillons.
d’abord et avant tout un champ de recherches.
Cela devrait déjà tenir lieu de rectification • Les élèves peuvent être amenés à confondre
implicite d’une partie des griefs évoqués au les expressions : «élever au carré» et «dont le
début. Je complèterai le tableau en indi- carré est» d’une part et même « l’opposé du
quant très brièvement quelques grandes carré » et le « carré de l’opposé » d’autre part.
démarches utilisées en didactique des mathé- Dans Comiti, Grenier, Margolinas (1995) une
matiques, surtout en France et quelques des interactions étudiées entre un élève et l’ensei-
gnant est précisément celle de l’élève Michael
2qui écrit – (1) et qui lit un « carré négatif »2 Ce que j’écris n’engage que moi, traduisant une expérience
au lieu de l’opposé d’un carré. singulière.
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• La définition est compliquée à énoncer et dif- • Et la racine de la somme et la somme des
ficile à comprendre. De plus, pour les élèves, racines ? Une erreur qui résiste au temps et
le statut de la racine carrée n’est pas net. qui est encore très présente en 2nde et même
après, chez un certain nombre d’élèves, dans
En 4ème, c’est une valeur numérique certains exercices. Cependant, des rensei-
introduite par la touche “ √ ” de la calcula- gnements importants manquent à ces données,
trice dans les problèmes utilisant le théorè- notamment l’origine précise de ces erreurs en
me de Pythagore. Elle n’a pas d’existence relation avec l’enseignement reçu, leur répar-
propre, c’est la solution positive d’une équa- tition dans les classes, leur évolution précise.
2tion de la forme x = a avec a positif mais le Mais la mise en évidence de ces erreurs et dys-
rapport que font et feront les élèves entre les fonctionnements dans l’utilisation de la notion
2 peut tout de même orienter les recherches etsolutions de l’équation x = a avec a > 0 et a
contribuer à focaliser des questionnements.√a la solution positive de cette équation peut
Par exemple on peut considérer que la ques-rester très confus.
tion du sens de la notion se pose de manière
particulière, en relation avec la technique : com-En 3ème, c’est un nombre, mais pas
ment concilier ici sens, lié à la nature de lacomme les autres, même si on peut prolonger
notion et technique, liée à l’usage de la cal-les règles de calcul connues.
culatrice et aux opérations sur les radicaux ?
En seconde, il s’agit d’un irrationnel, d’un
Pour préciser cette idée de sens, pourréel. De plus il y a un « mélange » avec des
mieux comprendre ce qu’est la racine carréenombres connus : les racines carrées peuvent
en mathématiques, comment et pourquoi l’uti-être entières, décimales, rationnelles ou irra-
liser, nous avons recours à l’histoire de lationnelles.
notion ainsi qu’à l’histoire de l’inscription de
la notion dans les programmes scolaires. C’estDe ce fait la question se pose des rapports
un deuxième axe de questionnement didactique.entre valeur exacte et valeur approchée en par-
ticulier entre la classe de 4ème et la classe de
Une étude didactique menée par Assude
3ème. Par exemple considérer comme2 (1996) a permis de mettre ainsi en évidence
valeur exacte peut être difficile à comprendre plusieurs périodes dans l’enseignement de la
surtout si l’écriture exacte du résultat est notion liées aux évolutions des savoirs et tech-
niques mathématiques sur les questions sui-+ 3. Pour les élèves ce calcul n’est pas ter-2
vantes : quel objet mathématique présente-t-miné !
on aux élèves ? A quoi peut-il servir ? Manque-t-il
des éléments ? Elle a donc étudié ce que nous• Une lettre (a) est souvent perçue comme un
3nombre positif par les élèves, et même, comme appelons la transposition didactique c’est-à-
dire la transformation qu’il y a entre le savoirun entier naturel. Ceci peut être « caché » dans
4savant et le savoir enseigné . 2ala simplification de en 3ème et renforcé
3 Concept développé par Chevallard, 1985, qui caractéri-par l’utilisation géométrique pour calculer la
se le décalage entre le fonctionnement savant (du savoir)
mesure de la longueur de l’hypoténuse dans
et son fonctionnement dans l’enseignement.
un triangle rectangle. 4 Nous nous inspirons ici du Document de formation n° 8
rédigé par F. Cissé (2006) et du mémoire de DEA de A. Dumail,
non publié.
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La méthode utilisée a été de regarder sée avec l’apparition des machines, un moyen
pour la racine carrée, l’évolution des pro- moderne de calcul développé à partir des
grammes en ce qui concerne : années 1960, même si dans les classes les
calculatrices sont introduites plus tard. La notion— le statut (nombre, fonction, irrationnel, opé-
d’approximation prend une place importan-ration, …),
te. Les réels sont construits à partir des
— le calcul (extraction / approximation), nombres décimaux et des développements
— les opérations (algèbre des radicaux). décimaux illimités. Les irrationnels s’effa-
cent, a est un réel dont l’existence et l’uni-
T. Assude a trouvé trois périodes : avant la cité sont assurées par la définition même.
réforme des mathématiques dites « modernes », L’objet « racine carrée » est au centre de
pendant la réforme, après la réforme. l’enseignement.
1ère période : avant la réforme ou période 3ème période : après la réforme ou période
« classique » (jusqu’en 1970) « contemporaine » (après 1978)
Il y a un retour en arrière partiel.
L’objet « racine carrée » fait partie du
domaine de l’arithmétique. Calculer une raci- Les nombres réels disparaissent des pro-
ne carrée est une opération. On utilise un grammes de collège mais sont supposés pré-
algorithme pour l’extraire. On obtient une construits au lycée. Alors les racines n’ont
écriture décimale et par le développement plus de statut précis ! Ce sont des objets sur
décimal illimité ou non, on a une indication lesquels on fait des opérations. Cependant, les
sur la nature de ce nombre. Simplifier, rendre résidus de calculs sur les racines sont moins
rationnel le dénominateur d’un quotient où figu- justifiés voire pas du tout, du fait des nouveaux
re des racines carrées est effectivement utile moyens de calcul.
dans les calculs car il n’y a pas de calculatri-
ce ! On a ainsi affaire surtout à un outil. Ainsi la racine carrée n’est plus une opé-
ration, ce pourrait devenir une fonction mais
A la fin des années 1950, l’algorithme ce n’est pas le cas, alors même que c’est le recours
d’extraction commence à disparaître de l’ensei- aux propriétés de la fonction carrée qui assu-
gnement (il est supprimé en 1962) et la notion re l’existence, l’unicité et la nature de ce
d’opération comme noyau organisateur de nombre. C’est que l’outil « fonction » est man-
l’enseignement est remis en cause. quant au collège.
2ème période : pendant la réforme ou pério- Maintenant la racine carrée d’un nombre
de « moderne » (de 1970 à 1978) positif A est « l’(unique) nombre » positif dont
le carré vaut A ». Pourquoi existe-t-il tou-
Structures et fonctions remplacent les jours ? Pourquoi est-il déclaré unique ? Que
manipulations. La notion de fonction devient représente le carré de A si A n’est pas un
l’un des noyaux organisateurs de l’enseigne- nombre déjà connu ? On prolonge plus géné-
ment au collège et la racine carrée est la bijec- ralement aux « nombres » introduits de cette
+tion réciproque sur R de la fonction carrée. façon toutes les opérations arithmétiques
L’utilisation des tables est peu à peu délais- usuelles mais de manière implicite, avec en
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plus des emprunts partiels à l’algèbre lorsqu’il tenter de mettre au point une introduction à
la notion ou à une de ses propriétés engageants’agit de calculer une somme du type 3 a
les élèves dans un problème qui les oblige à
+8 a = 11 a . Technique pour le moins iso- y avoir recours, si possible même avec des
lée du sens. moyens de s’auto-contrôler.
Tout se passe comme si, pour reprendre E. Roditi (1996) a ainsi élaboré et utilisé
les propos de T. Assude, le passage du savoir dans ses classes une séance dont l’objectif est
savant au savoir enseigné s’est arrêté en cours d’aider les élèves à surmonter une double dif-
de chemin : on peut se demander si, au-
ficulté déjà signalée : celle de considérer adelà de la rupture entre l’utilisation de la raci-
comme un nombre et celle d’effectuer des opé-ne carrée en classe de 4ème et de 3ème de
rations sur ces nombres. La situation qu’il pro-collège, il n’existe pas certains « manques »
pose aux élèves amène à la multiplicationdans l’introduction de la notion, tant sur
des racines carrées introduites comme coef-son existence que rien ne garantit plus que
ficients d’agrandissement de carrés successifs.sur sa nature.
Cependant l’adoption de cette situation par
des enseignants a été étudiée et a révélé bienOui mais est-ce que ça gêne les élèves ?
des pièges (mémoire de DEA de D. Poiret,Est-ce que cela rend compte de leurs difficultés ?
non publié), notamment selon les valeursNotre troisième question se rapporte alors à
numériques adoptées et les déroulementsl’enseignement de la notion, compte tenu de
choisis en classe. D’autres auteurs ont cher-ce qui précède : comment se passent les ensei-
ché à légitimer l’utilisation « naturelle » quegnements ? Quelles sont les relations avec ce
les élèves font de leur calculatrice faisant lequi précède – accentuent-ils ou essaient-ils de
lien entre cette utilisation et la théorie. Ce typepallier les manques éventuels ? Quels choix,
de travail s’inscrit dans une démarche géné-quelles alternatives peut-on proposer ?
rale de recherche d’adaptation de l’enseigne-
ment des mathématiques aux nouvelles tech-Des études didactiques, dispersées au fil
nologies, voire aux nouveaux médias. Lesdu temps, montrent une certaine diversité,
auteurs y voient un enjeu majeur de survienotamment sur les définitions utilisées par les
de la discipline scolaire mathématique, et unenseignants. L’ensemble des séances s’ins-
travail spécifique de didacticien…crit cependant dans des grandes lignes com-
munes, particulièrement ce qui concerne les
Ainsi Chevallard, 2004, a énoncé et démon-
exercices, régularités qu’on retrouve dans les
tré le résultat suivant, garantissant l’égalité
manuels : mais la part de la spécificité de ce
de deux racines carrées dont la calculatrice
contenu précis et des exigences des pro- affiche l’égalité des n premières décimales
grammes est difficile à dégager des habitudes seulement :
plus personnelles des enseignants (cf Assude,
1989, Bessot, 1993, Bronner, 1997, mémoire b cSoit a, b et c trois entiers tels que a et
de master de A. Dumail par exemple). aient la même partie entière et les mêmes n
npremières décimales. Si a b+ < c 10
Une autre démarche s’inspire des tra-
b cvaux de G. Brousseau (1998) : on peut ainsi alors a = .
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b cEn effet, a et ont la même partie entiè- pour qualifier un projet à expérimenter (cf.
re et les mêmes n premières décimales donc : Artigue). C’est d’autant plus indispensable que,
dans notre champ scientifique, il n’y a pas de
– n 0 ≤ |a b– | c < 10 . lois mais seulement, au mieux, des régulari-
tés ! C’est même une méthode en soi en didac-n Or 0 ≤ a b+ < c 10 .
tique des mathématiques : le fait de tester un
En multipliant membre à membre ces deux projet précis, où beaucoup de paramètres sont
encadrements de réels positifs, on obtient : fixés par les chercheurs, permet de mieux
comprendre ce qui se joue, de gagner des
– n nb c b c0 ≤ |a – |× (a + ) < 10 × 10 résultats à partir des hypothèses, de mieux
2 0ou encore : 0 ≤ | a b – c | <10 en délimiter aussi la portée et les limites.
2 soit 0 ≤ | a b – c | <1 .
2) Naissance et première approche Mais a, b et c sont trois entiers donc la seule
2 2 du champ « didactique despossibilité est : a b – c =0 , soit a b = c et
mathématiques »
b c bdonc a = et les deux nombres a et
C’est 1970 et donc, notamment la réfor-c sont bien égaux.
me des mathématiques modernes et les pro-
blèmes auxquels elle a essayé de répondre,Il reste une dernière étape éventuelle
qui marquent le début de ce type depour un travail didactique s’inspirant de ce
recherches, impulsées par un groupe dequi précède : après la conception (ou la repri-
chercheurs dont G. Brousseau, qui a joué unse d’une proposition existante), c’est l’expé-
rôle déterminant. rimentation d’un projet pour la classe, s’il y
en a un (je ne connais pas d’exemple complet
C’est le parti pris délibéré, revendiqué,à citer sur le thème) – bien entendu toutes les
de concevoir les recherches à partir d’unerecherches ne mettent pas en jeu cette
analyse préalable, première, des contenusdémarche.
mathématiques à enseigner qui marque
une des différences essentielles avec lesQue ce soit pour en tester la recevabilité
sciences de l’éducation d’alors. Dans lespar les professeurs ou ses qualités pour les
deux champs, on recherche des régularitésélèves, cette phase ne peut être « sautée »
mais le cœur de ces recherches, ce qui lesdans les recherches mettant en jeu un tel
organise est différent – transcendant ouprojet d’enseignement, avec les retours qu’elle
5non les contenus enseignés . implique. En effet, pour élaborer un projet
d’enseignement conforme aux programmes, sus-
En didactique des mathématiques, nousceptible d’être adopté par les enseignants,
cherchons finalement à articuler une réflexioninspiré à la fois de la nature des savoirs visés
sur les mathématiques à enseigner d’une partet des théories ou modèles didactiques que nous
et leur enseignement effectif d’autre part,adoptons (cf. ci-dessous), nous devons faire des
allant jusqu’aux classes et aux apprentissagesparis, comme un ingénieur lorsqu’il conçoit une
ingénierie à partir de lois physiques — d’ailleurs
5 Il va de soi que nous ne nous privons pas d’emprunter
le mot « ingénierie » a été repris en didactique
des résultats aux sciences de l’éducation s’il y a lieu !
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des élèves. Il s’agit de mieux comprendre ce liens ont développé pour leur part des
qui se joue, en faisant intervenir les savoirs recherches très intéressantes sur des cohortes
et leur organisation, l’enseignement proposé, d’élèves. Il est impossible de rendre comp-
les élèves. Comprendre aussi bien les différentes te ici de la richesse des travaux – de nom-
possibilités que les difficultés d’enseignement, breux « Handbook » (livres de synthèse) per-
précises ou générales, à tous les niveaux de la mettent de s’en faire une idée. Je me limite
scolarité — liées aux objets mathématiques dans ce qui suit aux travaux menés en Fran-
comme dans notre exemple, ou encore, par ce et dans certains pays proches, Espagne,
exemple, à l’intégration des TICE dans l’ensei- dans une certaine mesure Belgique et Suis-
gnement, mais toujours compte tenu de ce se, voire même Canada.
qui se passe ou peut se passer en classe.
Il faut souligner que nous admettons une 3) Quelques spécificités des
double hypothèse, forte, dans nos travaux, recherches en didactique
qui n’est pas du tout adoptée par tous les des mathématiques
mathématiciens ni même tous les ensei-
gnants : c’est que dans les phénomènes de trans- a) Une imbrication d’approches
mission des connaissances mathématiques épistémologiques élémentaires, d’éléments
enseignées, il y a des régularités, qui peuvent sur les enseignements et de connaissances
être invisibles au quotidien, implicites, et, sur les apprentissages des élèves.
qui plus est, qu’il est intéressant de dégager.
Dans notre exemple initial nous avons illus-
Un développement comparable s’est fait, tré brièvement le premier point et esquissé le
avec un décalage temporel, dans d’autres dis- troisième.
ciplines scolaires scientifiques, comme la phy-
sique, la technologie, la géographie. La didac- En fait les programmes scolaires délimi-
tique du français, quant à elle, a eu une tent les notions mathématiques à enseigner
histoire un peu compliquée, diversifiée, et mais ne précisent ni à quoi elles servent ni toutes
reste marquée par des relations différentes entre les relations entre elles, y compris d’une année
les formateurs, les universitaires et l’institution. sur l’autre : reconstituer ce « relief », mettre
Le « Français langue étrangère » et les sports en perspective les notions et les problèmes
ont aussi contribué, à leur façon, au déve- qu’elles permettent d’aborder, réfléchir à leur
loppement de recherches sur l’apprentissage disponibilité à un niveau scolaire donné, com-
de contenus donnés. prendre l’évolution sous-jacente à la pro-
gression des programmes, constitue ce que
A l’étranger, plusieurs grands courants j’appelle une épistémologie élémentaire des
traversent les recherches en didactique des contenus à enseigner. On pourrait parler
mathématiques – même si ce n’est pas le mot d’une certaine « intelligence » de ces contenus,
utilisé. Dans la mouvance anglo-saxonne nécessaire aux recherches didactiques.
notamment, se sont développés beaucoup
de travaux liés à la psychologie des élèves Je voudrais insister sur le fait que, pour
et des enseignants. Les conceptions ont ainsi mettre en évidence des éléments sur le savoir
été largement étudiées. Les didacticiens ita- à enseigner, nous pouvons être amenés à reli-
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re des éléments d’histoire et/ou d’épistémologie manuels permet de compléter encore le pay-
des mathématiques. C’est à partir de ces sage mathématique dans lequel sont plon-
études que nous arrivons à comprendre le gés les élèves.
développement des notions, avec tous ses
méandres. Mais notre travail diffère fonda- L’algèbre élémentaire est un bon exemple
mentalement de celui de l’historien ou de de ce type d’analyses (cf. Grugeon, 2000), avec
l’épistémologue : nous ne faisons pas avancer en quatrième une rupture souvent mécon-
les réflexions sur le sujet, nous cherchons au nue avec l’arithmétique et en seconde des
6contraire à tirer des travaux déjà faits des attentes des enseignants de lycée décalées
éléments assez globaux qui peuvent nous par rapport à ce qui a été fait en collège. Les
aider. Ainsi notamment les problèmes mathé- chercheurs ont montré l’intérêt pour l’ensei-
7matiques ou les projets des mathématiciens gnement de mettre en évidence le fait que
à l’origine des avancées. Cela nous permet de l’algèbre élémentaire n’est pas une généra-
suivre les formalismes successifs qui jalonnent lisation directe de l’arithmétique : les opé-
8cette histoire dans des dialectiques com- rations à faire sur un même exercice par
plexes entre sens, techniques et signes. Cela exemple ne s’effectuent pas dans le même
nous renseigne aussi sur les difficultés qui se ordre, le signe égal est utilisé différemment
sont présentées dans l’histoire et même sur — les deux membres d’une égalité apportent
les erreurs résistantes, sur l’ordre dans lequel souvent le même type d’information, alors
les différentes notions sont apparues, etc. Au qu’en arithmétique, c’est plutôt le résultat
mieux pouvons-nous poser des questions nou- qui est à droite. Il y a surtout un nouveau
velles à ces spécialistes… formalisme qui n’emprunte que partielle-
ment ce qui précède, d’ailleurs les élèves
Mais il ne s’agit en aucune manière de cal- en sont conscients, et la variable « x » a des
quer les projets d’enseignement sur cette his- statuts divers, à repérer : nombre généra-
toire reconstituée : cette intelligence des conte- lisé, inconnue, paramètre, « indéterminée »,
nus ne nous suffit pas. variable liée : quel que soit x….
L’étude des programmes s’avère aussi Une certaine disponibilité de l’algèbre est
indispensable à intégrer à ce type d’investi- aussi souvent attendue au lycée, alors que les
gation, comme nous l’avons vu plus haut. élèves, eux, n’ont appris à résoudre les exer-
Certains chercheurs détectent ainsi des cices que quand et comme on le leur deman-
« trous » dans les programmes, mettent à de. Ainsi en seconde dans un exercice de géo-
jour des ruptures ou pointent des éléments lais- métrie faisant intervenir le théorème de Thalès
sés à la responsabilité implicite des seuls et un point variable, repéré par une variable
élèves. Ceci ne manque pas de créer des dif- x, on obtient une équation du type
férences entre ces derniers ! L’étude des x/(x + 3) = 1/3 à résoudre. Les élèves s’arrêtent,
ils n’ont pas l’habitude de prendre l’initiative
6 De nombreux articles ont paru dans la revue Repères- de changer de cadre de travail et de résoudre
Irem, dont ceux de R. Bkouche (site internet) par exemple,
l’équation du premier degré correspondante ;qui peuvent donner des idées au didacticien, qui les intègre
alors que si on leur demande de résoudre,dans un autre cadre de réflexion, faisant intervenir les appren-
tissages. séparément, cette équation, ils peuvent le faire,
7 Projets de réorganisation par exemple. même si le mélange est toujours difficile.
8 Par exemple de savoir quand, pourquoi et comment le
signe « racine carrée » a été introduit.
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LES DEMONSTRATIONS
EN ARITHMETIQUE…
J’ai « rencontré » un autre petit exemple grands types de notions à enseigner, aux
frappant de ce type de difficultés l’an der- situations scolaires.
nier, sans même changement de cadre :
dans ce cas ce sont les analyses de pro- Du côté de l’enseignement, que ce soit
grammes et de manuels qui permettent de pour élaborer des diagnostics ou concevoir
donner une interprétation. Ainsi, dans un des projets d’enseignement, les questions sui-
exercice de géométrie, on donne un paral- vantes organisent notre travail, correspondant
lélogramme ABCD et on demande d’abord à l’expression de grandes variables, influen-
de construire l’intersection d’une demi-droi- çant les apprentissages, adoptées par beau-
te d’origine A et des côtés (DC) et (BC) du coup de didacticiens.
parallélogramme. Les élèves n’ont telle-
ment pas l’habitude de prolonger eux-mêmes Comment sont introduites les notions lors-
les segments en demi-droites sans qu’on le qu’elles apparaissent pour la première fois ?
leur demande, ce que nos analyses laissent Et la sous-question, moins souvent posée : toutes
voir, qu’un certain nombre d’entre eux ont les notions « méritent-elles » des introduc-
préféré tracer deux demi-droites d’origine tions analogues, comme le donnent souvent
A chacune rencontrant respectivement les à penser les manuels ?
segments [DC] et [BC]…
Quels exercices sont proposés, y compris
D’autres chercheurs ont distingué diffé- là encore dans les manuels — selon quels cri-
rents types de notions, à aborder de maniè- tères de choix ? A-t-on affaire à une pro-
re différente dans l’enseignement, selon leur gression entre exercices faciles et difficiles,
degré de généralisation par rapport aux permettant de « tout » voir ? Y a-t-il des
notions antérieures telles qu’elles figurent manques ? Y a-t-il d’autres moyens de clas-
dans les programmes scolaires. Etudier la ser les exercices ?
multiplication des décimaux après celle des
entiers amène à étendre une notion, on peut Quelle est la nature du travail proposé aux
s’appuyer sur un certain sens déjà introduit, élèves, en relation avec l’exposition des connais-
élaborer des problèmes initiaux. En revanche sances : quand et sur quoi cherchent-ils, sont-
introduire l’ordre sur les décimaux, ou l’algèbre ils seuls, discutent-ils entre eux ? Quand les
élémentaire demande de prendre en compte aider, et comment ? Quelle intelligence mathé-
l’existence d’une rupture : avec l’ordre sur matique veut-on développer chez les élèves ?
les entiers ou avec l’arithmétique ; une trop En un mot, comment les connaissances mathé-
grande continuité peut amener des erreurs ou matiques des élèves, anciennes et/ou nou-
masquer les nouveaux objets. velles, sont-elles mises en fonctionnement ?
Soulignons que cela met en jeu à la fois des
En ce qui concerne les enseignements et éléments sur les contenus mathématiques
les apprentissages, il faut reconnaître l’apport choisis et sur les déroulements organisés en
des grandes théories de l’apprentissage, et par- classe. Cependant, l’accent n’est pas mis de
ticulièrement celles de Piaget et Vygotski, la même façon sur tous ces éléments dans les
qui précisent des conditions favorables à différents cadres théoriques choisis – nous y
l’acquisition des connaissances. Mais il nous reviendrons très brièvement plus loin et déve-
reste à les spécifier, aux mathématiques, aux lopperons un exemple de recherches.
49REPERES - IREM. N° 71 - avril 2008
LES DEMONSTRATIONS
EN ARITHMETIQUE…
b) L’irruption des enseignants liés au travail de l’enseignant, dans un
contexte où les acteurs sont toujours
Dans ce champ de recherches la prise en variables : il y a nécessairement des impon-
compte des pratiques des enseignants est dérables, des recompositions qui ne peuvent
petit à petit devenue fondamentale. Elle s’est être prévues.
faite d’abord en relation avec leurs choix de
contenus et de déroulement. Qui plus est, Ceci implique de se donner des moyens
depuis quelques années, les conditions de de recueillir des données, de les analyser et
travail des enseignants, les contraintes qu’ils d’interpréter les résultats. On retrouve le
subissent, ne sont plus considérés comme des lien avec les théories déjà évoquées : il est néces-
« bruits » mais font bel et bien partie des saire que les interprétations aient une certaine
variables à prendre en compte. Autrement dit, légitimité. Celle-ci est en partie assurée,
dans la mesure où un enseignant ne détermine garantie par une inscription précisée dans
pas ses choix pour sa classe seulement en un cadrage théorique qui, seul, autorise la géné-
relation avec ce qu’il a à faire apprendre, où ralisation et la décontextualisation inhérentes
il doit suivre les programmes, s’inscrire dans à toute interprétation.
les horaires, tenir compte des attentes des
parents, collègues, élèves, tenir le coup pen- d) Questions de méthodologies
dant de nombreuses années, tous ces élé-
ments peuvent être retenus, de manière diver- On entre ici dans un domaine qui dépas-
se il est vrai, dans nos recherches. se largement le cadre de cet article. Cepen-
dant, je voudrais juste en dire un mot, car ces
Pour donner un exemple, les recherches questions sont majeures pour les chercheurs.
sur l’enseignement de racine carrée ont mon- Même s’il n’y a pas de preuves de nos résul-
tré des diversités – celles-ci sont souvent liées tats au sens habituel en mathématiques, les
soit à l’expérience des enseignants car il est régularités que nous recherchons, qui « rem-
difficile de changer ses habitudes, soit à leur placent » les théorèmes en mathématiques ou
représentation de leurs élèves. Les élèves les lois en physique, s’obtiennent soit à par-
tenus pour faibles ne seront pas « embêtés » tir de convergences de résultats partiels, soit
avec des notions trop théoriques… Cela nous parce que des prévisions se vérifient ou que
questionne ! des explications peuvent être données, notam-
ment au sein d’un modèle, soit par des constats
c) Les expériences quantitatifs.
Ce champ de recherches ne peut se pas- Quoi qu’il en soit, nous traitons souvent
ser d’une partie expérimentale : il est indis- des données diverses, recueillies dans des
pensable de vérifier ce qui a été prévu, d’en classes ordinaires ou au cours d’expérimen-
tester les limites, … tations, dont des vidéos tournées en classe
et transcrites, des productions d’élèves, des
En effet à l’origine de nos travaux, on entretiens, mais aussi des programmes sco-
l’a dit, il y a plusieurs « emprunts », nous laires, des analyses de savoirs mathéma-
croisons des dimensions épistémologiques, tiques, ou encore des données liées aux éta-
cognitives, scolaires, voire ergonomiques, blissement scolaires. Des méthodologies
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