1er cours d'Analyse II du

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Niveau: Secondaire, Lycée, Première

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1er cours d'Analyse II du 12/09/2011 Planning des contrôles - Lundi 19 septembre : Contrôle pendant le TD de 20min sur le cours du 12/09 et 19/09 (T1) - Lundi 3 octobre : Contrôle pendant le TD de 20min sur les exos du 12/09 au 03/10 (T2) - Lundi 17 octobre : Contrôle pendant le cours de 30min sur le cours sur tout (I1) - Lundi 24 octobre : Contrôle pendant le cours de 1H sur les exos (I2) - Lundi 14 novembre : Contrôle pendant le TD de 20min sur le cours (T3) - Lundi 28 novembre : Contrôle pendant le TD de 20min sur les exos (T4) - Lundi 5 décembre : Fin - Lundi 12 décembre : Contrôle final de 1h30 (F) Coefficient : I = ; T = ; N = Plan du cours - Chapitre 1 : Révisions ( , DL) - Chapitre 2 : Calcul intégral - Chapitre 3 : Séries numériques - Chapitre 4 : Suites et séries de fonctions séries de Fourier

  • développements limités

  • voisinage de x0

  • contrôle pendant le td

  • planning des contrôles

  • polynôme de taylor


Publié le : mercredi 30 mai 2012
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1er cours d’Analyse II du 12/09/2011
Planning des contrôles Lundi 19 septembre : Contrôle pendant le TD de 20min sur le cours -du 12/09 et 19/09 (T1) Lundi 3 octobre : Contrôle pendant le TD de 20min sur les exos du -12/09 au 03/10 (T2) Lundi 17 octobre : Contrôle pendant le cours de 30min sur le cours -sur tout (I1) Lundi 24 octobre : Contrôle pendant le cours de 1H sur les exos (I2) -Lundi 14 novembre : Contrôle pendant le TD de 20min sur le cours -(T3) Lundi 28 novembre : Contrôle pendant le TD de 20min sur les exos -(T4) Lundi 5 décembre : Fin -Lundi 12 décembre : Contrôle final de 1h30 (F) -                 Coefficient : I = ; T =; N =    Plan du cours Chapitre 1 : Révisions (, DL) -Chapitre 2 : Calcul intégral -Chapitre 3 : Séries numériques -Chapitre 4 : Suites et séries de fonctionsséries de Fourier -
Chapitre 1 : Révisions
1°/ Prépondérances Définition 1 : SoitIR un intervalle. On appelle adhérence de C , noté, l’intervalle =  {Inf, sup} où sin’est pas majoré, sup  =; si n’est pas minoré, Inf=. Exemple : 1)= ]0, 40],= [0, 40], sup= 40 et Inf= 0 2)= ]3,[= [3,] C3)IR = ], [= [, ]
Définition 2 : Soit0, un intervalle U Cest un voisinage de0si : 0IR et U contient sur un intervalle ouvert contenant0-0 =et U contient un intervalle de la forme ],[ -IR{} 0 =et U contient un intervalle de la forme ],[ - IR{}
[0,0 + 1[n’est pas un voisinage de 0 alors que ]0 1,01[ est un + voisinage de0. On se donne un intervalleet IR 0 et etfonctions définies deux sur(continues). Définition 3 : On dit quenégligeable devant est  au voisinage de0que ou ()(()) ou().    
S’il existe un voisinage de U de 0et une fonctiondéfinie sur V = U tel que :   ,       0  Exemple 1 : 2 3 0= 0,= IR,() =et() =Posons()=, alors() =()() et()0  Doncest négligeable devant,=0() Exemple 2 : = IR et0= 1 4 3 () = (= (- 1) - 1)(=- 1) ()() () = (- 1) I,3Posons() = (- 1) alors 0  Donc=1() Cas particulier : =(1)lim   0    Si()0 dans un voisinage épointé de0alors :   ()lim  0(et(0) = 0 si0)        ()lim  0s’il existe un voisinage de x0 où ne      s’annule pas.Un voisinage épointé de x0signifie qu’il existe un voisinage V dex0 tel que ,1Propriété : p q IR, ( -)((-si et seulement si p>q car) )   0si et seulement si p>q 
Théorème :            é,    2°/ Equivalences On suppose queetne sont pas identiquement nulles au voisinage de x0. Définition 4 : si()() =(())     Propriété : Sine s’annule pas sur un voisinageépointé de0 alors  lim= 1(et(0) =(0) si0 )      Exemple : () = sin(),() = tg() et0= 0     1= cos(x)       Donc sintg Théorème :        et si      gi(0)0,               0,  Si fi> 0, alors Attention :Ne fonctionne pas avec 0, ni avec l’addition et doit pas ne dépendre de.
3°/ Développements limités une fonction définie sur un intervalle est IR et C dérivable en fois , . Définition : Le polynôme de Taylor( d’ordre enest :                       2  Exemple : 4 Pour=,= 1 : 3 2 ‘) = 4,‘’) = 12,‘’’) = 24    1   1   1    11  1   12      1  4  1    1  4  1Définition : La partie régulière du développement limité de enà l’ordre  est son polynôme de Taylor d’ordre en. Exemples : Calculer la partie régulière du : 2 DL en x0= 0 de x + sin(x) DL en x0= 0 de x sin(x) Définition : La partie régulière du développement limité de en, àl’ordre , est son polynôme de Taylor enà l’ordre :          ’     ,, 
Théorème :
  ,         ,, On dit que   est le reste du développement limité deenà l’ordre .                             0  Exemple :     sin ,3et0        Alors   0 0   0        0   où    0       2  cos ,    2  sin, cos      0  0,  0  1,  0  2, 1 0   Donc        4°/ Développement limité des fonctions usuelles (au voisinage de 0)             1    , où          1         1            ln1          1           1                      1      1    pour3               sin  1                   1 cos  1    
5°/ Développements limités et équivalences Propriétés : Soit   une fonction infiniment dérivable en,  ,alors : er 1 terme non nul de sa série de Taylor er   de sa série de Taylor  –,,1 terme non nul du reste 6°/ Opérations et développements limités (en 0) Théorème : Soientetdeux fonctions ayant pour développement limitéà l’ordre en 0 :        ,      etsont des polynômes de degré. Alors :                 est le polynômetronqué à l’ordre est le polynôme composé  tronqué à l’ordre si 000  si00, alors    est le polynôme obtenu  en faisant la division euclidienne suivant les puissances croissantes deparjusqu’à l’ordre .  siest une primitive de, alors  0     est la primitive desans terme constant
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