Comment passer d'un exercice cloisonné faitde cases remplir un exercice ouvert sansperdre les avantages des TICE en matière de rétroaction Comment laisser l'élève choisir sa démarche de raisonnement et aboutir au moyen d'un calcul réfléchi

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Niveau: Secondaire, Collège
40 APPLICATIONS PÉDAGOGIQUES D e s o u ti ls p o u r le s m a th é m a ti q u e s Comment passer d'un exercice cloisonné faitde cases à remplir à un exercice ouvert sansperdre les avantages des TICE en matière de rétroaction ? Comment laisser l'élève choisir sa démarche de raisonnement et aboutir au moyen d'un calcul réfléchi ? Nous avons testé avec des élèves de collège des routines permettant de vérifier si deux expressions sont mathématiquement justes. Ces outils en ligne d'accompagnement au calcul, d'abord développés dans un but d'entraînement, se révèlent également intéressants dans d'autres contextes. Le logiciel signale à chaque étape si l'expression (numé- rique ou algébrique) est égale à l'ex- pression de départ et il répond éventuellement aux questions sui- vantes : « L'expression est-elle déve- loppée ? » ou « L'expression est-elle factorisée ? ». Entraînement, remédiation Nous avons d'abord pensé à exploiter cet outil pour la remédiation. L'usage en est très simple. L'enseignant donne des exercices d'entraînement sur le livre, sur un polycopié ou au tableau et attend de ses élèves une résolution écrite sur le cahier. Voici la démarche d'un élève sur un exercice de type brevet : Lever les blocages avec les outils Étape par étape, l'utilisation d'un outil en ligne de vérification des expressions algébriques ou numériques dans un calcul réalisé par les élèves de collège.

  • démarche mathématique

  • blocages difficiles

  • avantages des tice en matière de rétroaction

  • calcul algébrique

  • outil

  • etape


Publié le : mardi 29 mai 2012
Lecture(s) : 76
Source : cndp.fr
Nombre de pages : 4
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omment passer d’un exercice cloisonné fait
de cases à remplir à un exercice ouvert sans
perdre les avantages des TICE en matière
de rétroaction ? Comment laisser l’élève choisir sa
démarche de raisonnement et aboutir au moyen
d’un calcul réfléchi ?
Nous avons testé avec des élèves de collège
des routines permettant de vérifier si deux
expressions sont mathématiquement justes. Ces
outils en ligne d’accompagnement au calcul,
d’abord développés dans un but d’entraînement,
se révèlent également intéressants dans
d’autres contextes. Le logiciel signale à
chaque étape si l’expression (numé-
rique ou algébrique) est égale à l’ex-
pression de départ et il répond
éventuellement aux questions sui-
vantes : « L’expression est-elle déve-
loppée ? » ou « L’expression est-elle
factorisée ? ».
Entraînement, remédiation
Nous avons d’abord pensé à exploiter cet outil
pour la remédiation. L’usage en est très simple.
L’enseignant donne des exercices d’entraînement
sur le livre, sur un polycopié ou au tableau et
attend de ses élèves une résolution écrite sur le
cahier.
Voici la démarche d’un élève sur un exercice de
type brevet :
Lever les blocages avec les outils
Étape par étape, l’utilisation d’un outil en ligne de
vérification des expressions algébriques ou numériques
dans un calcul réalisé par les élèves de collège.
Jean-Philippe Blaise
IREM DE PICARDIE, « ENSEIGNER LES MATHÉMATIQUES EN ENT »
INSTITUT NATIONAL DE RECHERCHE PÉDAGOGIQUE
(11
x
7
)
2
(
2
x
+ 3)(11
x
7
)
99
x
2
– 173
x
+
6
5
99
x
2
– 173
x
+
8
4
121
x
2
– 154
x
+ 63 – 22
x
2
+
1
4
x
3
3
x
+
2
1
(121
x
– 154
x
+ 63) – (22
x
2
14
x
+
3
3
x
– 21)
= (121
x
2
– 154
x
+ 49) – (22
x
2
1
4
x
+
3
3
x
– 21)
=
9
9
x
2
– 173
x
+
7
0
99
x
2
– 173
x
+ 70 est la forme développée de
(11
x
7
)
2
(
2
x
+ 3) (11
x
7
)
= (11
x
– 7) (9
x
– 10)
(11
x
– 7) (9
x
– 10) est une forme factorisée de
(11
x
7
)
2
(
2
x
+ 3) (11
x
– 7).
Manifestement, le travail a été fait sur papier.
L’élève confiant entre directement la réponse
finale, qui se révèle fausse. Il a un doute sur le der-
nier nombre (et il a raison) et propose une solu-
tion encore fausse. Il décide alors de remonter
dans ses étapes de calcul et propose la
réponse avant réduction, qui est une
nouvelle fois refusée. L’élève ne se
décourage pas (ce qui montre la
nouveauté de la situation !). Il
propose la ligne précédant la sup-
pression des parenthèses, qui se
révèle, elle aussi, fausse. Il va
ensuite vérifier un par un les coef-
ficients des monômes, pour finir par
trouver son erreur : une erreur de table ! On
voit là qu’il ne prend aucun plaisir à taper ses cal-
culs sur l’ordinateur puisqu’il les corrige sur sa
feuille, pour ne saisir que la réponse finale. Il uti-
lisera quand même les boutons de vérification
pour confirmer la nature de la forme finale. La fac-
torisation ne pose pas de problème.
Ici, la recherche de l’élève pour trouver son
erreur relève d’une démarche mathématique. Il
agit avec méthode et l’absence d’indication du
1. Entre calcul et raisonnement
« la recherche
de l’élève pour trouver
son erreur relève
d’une démarche
mathématique. »
Case et cloisonnement
dans le calcul.
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de vérification
logiciel le contraint à chercher lui-même la nature
de son erreur. L’élève prend conscience de ses
points faibles : il a progressé.
Travail personnel
Dans ce domaine, les besoins sont grands. Un
élève qui a un exercice à faire en dehors de la
classe peut avoir besoin d’être accompagné.
La figure 1 montre un exemple en 3
e
.
L
a
démarche est la même qu’en remédiation mais
l’élève travaille ici sans professeur. Ici aussi, il
maîtrise les règles de calcul. Il va trop vite et sim-
plifie à outrance. Son résultat étant faux, il remet
en cause son calcul concernant les puissances
de 10 et, trouvant la même puissance au numéra-
teur et au dénominateur, il avance une nouvelle
réponse. Elle est encore fausse. L’élève décide
alors de distinguer une première étape où il
regroupe les puissances et simplifie par trente.
C’est seulement alors qu’il va identifier son erreur,
en rétrogradant une nouvelle fois. Il sera ensuite
bien prudent.
Ce type d’outil pour le travail personnel pousse
les élèves à trouver leurs erreurs ; il ne donne
aucune indication de méthode et même aucun
indice. C’est à l’élève de montrer sa capacité à
réussir et d’aller chercher de l’aide dans ses
cahiers, dans son livre. Le soin apporté à l’affi-
chage permet à l’enfant de recopier son exercice
sur son cahier sous la même forme.
L’enseignant a accès aux travaux de ses élèves
via le même outil. Il peut ainsi juger de l’activité
de recherche lorsque celle-ci n’aboutit pas et
comprendre la raison de cet échec.
Résolution de problèmes ouverts
La figure 2 présente un problème posé en classe
de 3
e
à des élèves n’ayant fait aucun travail en cal-
cul littéral depuis le début de l’année scolaire :
Le
carré jaune et le rectangle rose ont la même
aire. Pourquoi ?
On se trouve face à un vrai problème : aucune
méthode n’est préconisée, les élèves vont partir
dans des directions différentes. La nécessité de
la démonstration naît de l’impossibilité de « voir »
pourquoi les aires sont égales. La difficulté ici est
de parvenir à déterminer l’aire du carré jaune.
Certains élèves vont d’abord résoudre le pro-
blème par le biais d’un cas particulier. Très peu
sont capables de conduire au bout les calculs
nécessaires sans erreur.
Voici les calculs nécessaires à la démonstra-
tion :
(2
x
+
3
)
2
(
x
+
1
)
2
=
4
x
2
+
6
x
+
6
x
+
9
(
x
2
+
x
+
x
+
1
)
=
4
x
2
+
1
2
x
+
9
x
2
2
x
1
=
3
x
2
+
1
0
x
+
8
(
x
+ 2) (3
x
+
4
)
=
3
x
2
+
4
x
+
6
x
+8
=
3
x
2
+
1
0
x
+
8
Avec le vérificateur, les élèves vont pouvoir
conduire leurs calculs jusqu’au bout et identifier
leurs difficultés au fur et à mesure de leur avan-
cement.
Le petit outil d’entraînement systématique est
devenu un véritable assistant mathématique que
mes élèves me réclament lorsqu’ils sentent ce
besoin d’accompagnement.
Pour remettre l’ordinateur à sa place
L’activité mathématique gagne à être informatisée
à condition de s’inscrire dans un processus d’ap-
prentissage riche et cadré par l’enseignant.
1. Calcul d’élève en
travail autonome.
2. « Le carré jaune et le rectangle rose ont la même aire. Pourquoi? »
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Faire des mathématiques, ce n’est pas répéter
un algorithme même s’il est parfois utile de conso-
lider son outillage par un travail ponctuel et répé-
titif. On pourrait croire aujourd’hui que les TICE
ne sont à même de nous apporter de l’aide que
dans cette tâche « entraînement – remédiation ».
Remettre l’outil à sa place, en valorisant le rôle
des cahiers et des livres, en rendant toute sa légi-
timité à l’écrit et cela non pas avant ou après mais
pendant le travail avec l’ordinateur est essentiel.
Il faut veiller à ce que les TICE influent sur l’ac-
tivité mathématique en l’enrichissant, et non en
l’appauvrissant.
Références
Les outils de vérification: www.ac-amiens.fr/
pedagogie/maths/123maths/commun/
Pour aller plus loin:
www.ac-amiens.fr/pedagogie/maths/123maths_ecrits/
2. Petite chronique algébrique
Claude Saint-Raymond
PROFESSEUR DE MATHÉMATIQUES AU LYCÉE DE BRIE-COMTE-ROBERT (77)
FORMATEUR À L’IUFM DE CRÉTEIL
Quelques pistes pour la remédiation au lycée avec
Aplusix, logiciel d’aide au calcul algébrique.
M
es premiers émois algébriques résonnent
encore de l’accent d’un professeur slave,
martelant lentement les étapes d’un déve-
loppement. Estimait-il ce rythme favorable à la
compréhension ? Espérait-il que l’automatisme
céderait sa place à la raison ?
Les difficultés, inhérentes au calcul algébrique,
rencontrées par certains de nos élèves, sont hélas
toujours actuelles. Face à l’invention de règles
plus ou moins stables, nous sommes tentés d’ex-
hiber une formule ou un contre-exemple qui
repose lui aussi sur une règle non comprise, et le
cercle infernal se referme.
De nombreux collègues, enseignants-cher-
cheurs, ont analysé ces difficultés, parfois aidés
de traitements informatiques. Fruit des travaux
menés par des enseignants-chercheurs de
l’équipe Did@TIC de Grenoble, le logiciel Aplu-
six est l’une des réponses qu’ils ont tenté d’ap-
porter.
Bien que n’ayant pas participé au développe-
ment de ce produit, je l’utilise depuis plusieurs
années avec des élèves de seconde générale, voire
de première. Il ne s’agit pas ici d’en détailler
toutes les fonctionnalités ni de présenter une
méthode miraculeuse, mais seulement de décrire
des processus mis en oeuvre par ces élèves.
Aplusix est présenté par ses concepteurs
comme un «
outil d’aide à l’apprentissage du
calcul algébrique
». En effet, il ne propose pas
d’activité génératrice de règles formelles, n’expli-
cite pas les fautes commises, n’effectue pas les
calculs à la place de l’élève (sauf paramétrage
spécifique). Le logiciel n’a certes pas l’accent
russe mais son principe ravive mes souvenirs.
Comment agit-il ?
Au lycée, des règles chaotiques perturbent par-
fois les élèves, elles complexifient l’apprentis-
sage qui devient remédiation. Le professeur doit
organiser un travail patient et gradué de restruc-
turation. Avec Aplusix, la gradation et le choix des
exercices reviennent à l’enseignant, la veille et la
patience à l’ordinateur.
Dans une séance d’exercices ou d’aide, un
énoncé peut être proposé à l’élève dans une liste
enregistrée au préalable par le professeur. Pour
une séance de remédiation, par exemple, je pré-
fère présenter individuellement un énoncé, sur un
thème convenu, puis enchaîner les suivants en
fonction des difficultés rencontrées ou levées.
La production visuelle
L’élève saisit l’énoncé au clavier. Par exemple :
Développer l’expression (3 + 2
x
)
2
.
Il s’imprègne ainsi du formalisme et parvient à
distinguer la multiplication par 2 de l’élévation au
carré. En effet, le rendu graphique doit être celui
proposé par le professeur et cela même si l’élève
ne comprend pas parfaitement ce qu’il écrit. Les
menus du « clavier virtuel » favorisent cette
Références
Version de démonstra-
tion:
http://aplusix.imag.fr
La version standard est
éditée par Archimède:
http://www.librairie-
archimede.com/aplusix-
fr.html
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démarche. L’objectif n’est évidemment pas d’imi-
ter sans comprendre, même si la compréhension
vient aussi en imitant.
L’identité finale entre les écritures cursive et
sur écran rassure et valorise le travail de l’élève.
Les aspects techniques d’écriture des expres-
sions algébriques et de leurs transformations sont
fondamentaux. Avec Aplusix, chacun adopte sa
méthode. Une réécriture complète est possible
pour chaque nouvelle expression, avec ou sans
« clavier virtuel ». Le « glisser-déposer » est
accepté aussi et surprend positivement, par
exemple dans un changement de membre,
car le logiciel ne détermine pas seul
l’opération adaptée : l’élève doit la
proposer ou la corriger et donc s’in-
terroger (figure 1).
La consigne « Développer »,
choisie parmi plusieurs éventuali-
tés, enclenche la mise en veille
d’Aplusix. L’exercice ne sera consi-
déré comme résolu que si la consigne
est respectée. Une approbation finale sanc-
tionne la réussite.
Une veille patiente et rassurante
Rien n’arrête l’élève dans un travail de résolu-
tion sur papier ; le crayon ne vibre pas dès qu’une
faute apparaît, les vérifications suggérées par le
professeur ne sont pas toujours maîtrisées. L’élève
préfère souvent rendre sa copie ou se contenter
d’interroger un camarade, voire le professeur, sur
la validité du résultat.
Un paramètre prévient cette attitude en sou-
mettant à validation toutes les étapes d’un calcul.
Quel élève accepterait le regard permanent du
professeur, analysant chacune de ses actions ?
Aplusix assure cette veille conviviale.
Des expressions algébriques cohérentes sont
validées, selon leur nature, par le symbole d’éga-
lité ou d’équivalence. Les erreurs sont indiquées
par le même symbole barré (figure 2).
Assuré de la cohérence d’une nouvelle étape,
l’élève poursuit son travail. Quand une étourde-
rie survient, l’alerte suffit souvent (figure 3). La
correction est rapide ou hésitante : un élève
consciencieux tire profit de ses hésitations et
parvient à stabiliser les règles à son rythme.
Les calculs faux peuvent être effacés pour pré-
senter une copie sans faute ou laissés apparents
pour une analyse par l’enseignant (figure 1). À
nouveau, l’élève peut poursuivre son travail.
Des situations délicates
Certains élèves, même sérieux, demandent de
l’aide à l’ordinateur mais ne parviennent pas à
la mémoriser ou à comprendre son raisonne-
ment abstrait. Ils pratiquent alors une correc-
tion erratique. Les hésitations sont nombreuses.
Il m’arrive de laisser un élève seul avec Aplusix
face à de telles difficultés. Si cette attitude
semble renforcer le chaos initial, elle produit
cependant des résultats qui méritent d’être
considérés. Même en grande difficulté, l’élève
accepte la correction émanant de l’ordinateur
et apporte des modifications à son calcul. Les
progrès ne sont certes pas immédiats mais la
validation d’une étape cohérente, même par
hasard, prépare le terrain pour une
compréhension
ultérieure.
Le
dosage d’une telle pratique ne
peut être apprécié que par l’en-
seignant.
Malheureusement, la remise
en cause de règles floues ne se
heurte pas qu’aux difficultés
mathématiques immédiates. Les
apprentissages antérieurs parfois trop
rapides ou trop précoces favorisent des
blocages difficiles à résoudre. Pour limiter ces
situations, il serait utile que des outils comme
Aplusix trouvent place très tôt dans les appren-
tissages algébriques ou numériques, à côté
d’autres méthodes.
Retour au papier et autres méthodes
L’objectif des aides apportées par le logiciel ne se
limite pas au seul traitement informatisé et
assisté. Il faut que l’élève confirme son autonomie
et l’acquisition des méthodes apprises lors des
travaux écrits ordinaires. Le retour au papier ne
doit pas être une nouvelle difficulté. Le forma-
lisme graphique d’Aplusix est très proche de celui
d’un document écrit. Je n’ai pas constaté de dif-
ficultés liées à cette transition mais au contraire
une amélioration sensible de la lisibilité des sym-
boles associée à une compréhension du forma-
lisme.
Aplusix peut être exploité dans d’autres
contextes, en cours ou en module, par exemple,
pour un calcul dont l’organisation n’est pas assu-
rée, à partir d’un ordinateur mis à disposition en
fond de classe ou en vidéoprojection ou, dans le
même esprit, à la maison (version junior ou ver-
sion d’évaluation).
Les balbutiements de l’analyse automatisée des
erreurs ne permettent pas encore de nous rensei-
gner totalement sur les difficultés individuelles
des élèves. Un logiciel tel qu’Aplusix ne prétend
pas remédier à cette situation. Cependant, en
exploitant les ressources propres des élèves dans
une pratique régulière et précoce, il devrait favo-
riser les apprentissages.
1.
2.
3.
4. Des séances
d’entraînement ou
de tests peuvent
aussi être organisées
en enregistrant au
préalable des listes
d’exercices ou en
utilisant les tests
proposés avec le
logiciel. L’analyse
statistique des
résultats est alors
possible.
« ... la
gradation et le
choix des exercices
reviennent à
l’enseignant, la veille
et la patience à
l’ordinateur. »
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