Cours d'Analyse III Fonctions de plusieurs variables

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Université Claude Bernard, Lyon I Licence Sciences, Technologies & Santé 43, boulevard 11 novembre 1918 Spécialité Mathématiques 69622 Villeurbanne cedex, France L. Pujo-Menjouet Cours d'Analyse III Fonctions de plusieurs variables 1
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Publié le : lundi 11 novembre 1918
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Université Claude Bernard, Lyon I Licence Sciences, Technologies & Santé
43, boulevard 11 novembre 1918 Spécialité Mathématiques
69622 Villeurbanne cedex, France L. Pujo-Menjouet
pujo@math.univ-lyon1.fr
Cours d’Analyse III
Fonctions de plusieurs variables
1Préambule
Le but de ce cours est de généraliser la notion de dérivée d’une fonction
d’une variable réelle à partir de la théorie du calcul différentiel appliquée aux fonc-
tions de plusieurs variables. L’idée fondamentale de cette théorie est d’approcher
une application “quelconque” (de plusieurs variables réelles ici) par une appli-
cation linéaire au voisinage d’un point.
Le cadre général pour la mettre en œuvre est celui des espaces vectoriels (ce
qui donne un sens au mot "linéaire"), munis d’une norme sur l’espace de départ
(pour avoir une notion de voisinage) et une norme sur l’espace d’arrivée (pour
savoir "approcher").
Nous verrons que de cette théorie découle plusieurs propriétés et théorèmes clas-
siques importants ainsi que plusieurs applications notamment pour l’optimisation
(voir le dernier chapitre du cours).
Toutefois, avant de s’attaquer au calcul différentiel proprement dit, il paraît né-
cessaire de bien définir les notions de bases associées à cette théorie, à savoir :
- les distances, boules ouvertes, fermées,
- les ensembles ouverts, fermés, les normes, etc.
Nous ne le ferons pas dans le contexte des espaces vectoriels de dimension infi-
nnie (hors programme), mais dans le cas particulier des espaces R qui sont des
espaces vectoriels particuliers de dimensionn (dimension finie).
Rappelons qu’en dimension 2 (n = 2), on identifie un vecteurx de coordonnées
(x ;x ) avec un point du plan de coordonnées (x ;x ) une fois fixée une origine.1 2 1 2
Ici, on généralisera cette identification en désignant le point ou le vecteur de co-
nordonnées (x ;:::;x ) parx = (x ;:::;x )2R .1 n 1 n
Rappelons enfin que l’ON NE PEUT PAS DIVISER PAR UN VECTEUR !
Or, dansR, la définition de la dérivée fait intervenir le rapport (f(x) f(x ))=(x0
nx ). Elle implique donc de pouvoir diviser par (x x ). Mais dansR ça n’a pas0 0
de sens : la division par un vecteur n’est pas définie. Pour cette raison, on ne peut
n npas définir la dérivée d’une fonctionDR !R . D’où l’introduction dans ce
cours de la notion plus sophistiquée : la DIFFERENTIABILITE.
2Table des matières
n1 Notion de topologie dansR 7
1.1 Espaces métriques, distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Boules ouvertes, fermées, sphères et parties bornée . . . . . . . 9
1.3 Ouverts et fermés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
n1.4 Position d’un point par rapport à une partie deR . . . . . . . 10
1.5 Normes des espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6 Compacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6.1 Suites numériques dans un espace vectoriel normé . . . 14
1.6.2 Ensemble compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Fonctions de plusieurs variables. Limite. Continuité. 17
2.1 Fonctions réelles de variable réelle . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Notion de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4 Cas particulier : applications linéaires et multilinéaires conti-
nues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4.1 Applications linéaires continues . . . . . . . . . . . . . 22
2.4.2 A multilinéaires continues . . . . . . . . . . 23
2.5 Coordonnées polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.6 Propriétés des fonctions continues sur un compact . . . . . . . 24
2.7 Connexe par arc. Théorème des valeurs intermédiaires . . . . 25
3 Calcul différentiel 27
3.1 Dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Opérateurs différentiels classiques . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2.1 Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2.2 Divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2.3 Rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3TABLE DES MATIÈRES TABLE DES MATIÈRES
3.3 Propriétés des dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.4 Notion de différentiabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.5 Opérations sur les fonctions différentiables . . . . . . . . . . . 34
3.6 Propriétés géométriques des fonctions de plusieurs variables . 35
3.6.1 Dérivée directionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.6.2 Le gradient est perpendiculaire à la ligne de niveau . . 36
3.6.3 Le indique la ligne de plus grande pente . . . 36
3.6.4 Vecteur normal et plan tangent à un graphe d’une fonc-
tion de 2 variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.7 Applications deux fois différentiables . . . . . . . . . . . . . . 39
3.8 Exemples de différentielles d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . 40
4 Difféomorphismes 43
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2 Théorème d’inversion locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3 des fonctions implicites . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5 Théorème des accroissements finis 47
5.1 Fonction d’une variable réelle à valeurs réelles . . . . . . . . . 47
p5.2 F d’une valeur sur un espaceR et à valeurs réelles . . 47
5.3 Fonction d’une variable réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.4 Théorème général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.5 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6 Formules de Taylor 51
6.1 Formule de Taylor avec reste intégral . . . . . . . . . . . . . . 51
6.1.1 Fonction d’une variable réelle à valeur réelle . . . . . . 51
q6.1.2 F d’une v réelle à valeur dansR . . . . 51
p q6.1.3 Fonction eR à valeurs dansR . . . . . . . . . . . . . 53
6.2 Formule de Taylor-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
q6.2.1 Fonction d’une variable réelle à valeur dansR . . . . 53
p q6.2.2 F deR à valeur dansR . . . . . . . . . . . . . 54
6.3 Formule de Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
7 Extrema 55
7.1 Extrema libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7.1.1 Fonctions d’une variable réelle à valeurs réelles . . . . 56
7.1.2 F d’un espace de dimension finie à valeurs réelles 56
4TABLE DES MATIÈRES TABLE DES MATIÈRES
7.2 Extrema liés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
7.2.1 Fonctions d’un espace de dimension finie à valeurs réelles 60
7.3 Convexité et minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5TABLE DES MATIÈRES TABLE DES MATIÈRES
6Chapitre 1
nNotion de topologie dansR
(a) Leonhard Euler (b) Maurice René (c) Johann Bene-
(1707-1783) : en Fréchet (1878-1973) : dict Listing (1808-
résolvant en 1736 le c’est à lui que l’on 1882) : il est le pre-
problème des sept doit en 1906 les d’es- mier à avoir em-
ponts enjambant paces métriques et les ployé le mot “topo-
la rivière Pregolia premières notions de logie”
à Königsberg en topologie en cherchant
Prusse, il a ouvert la à formaliser en termes
voie de la topologie. abstraits les travaux
En effet, par la de Volterra, Arzelà,
généralisation de ce Hadamard et Cantor.
problème, Cauchy
et L’Huillier entre
autre commencèrent
à développer la
théorie liée à cette
discipline.
FIGURE 1.1 – Quelques mathématiciens célèbres liés à la topologie.
7n1.1 Espaces métriques, distance Notion de topologie dansR
1.1 Espaces métriques, distance
p qNous allons dans ce cours, nous intéresser aux fonctionsf :UR !R
(p;q2N ). Pour cela il faudra étudier tout d’abord la structure du domaine
U car le domaine est aussi important que la fonction comme nous le verrons.
Nous allons donc définir de nouvelles notions : les notions de distance, normes,
ouverts, fermés, etc. qui nous seront utiles tout au long de ce semestre pour
tous les nouveaux outils abordés.
D’autre part, les définitions ci-dessous font intervenir des combinaisons entre
eux des éléments d’un même espace, des multiplications par des scalaires,
etc., nous allons donc travailler dans des espaces vectoriels que nous rappe-
lons ci-dessous avant toute chose.
Rappelons ci-dessous la définition d’un espace vectoriel.
Définition 1.1 (ESPACES VECTORIELS) SoitE un ensemble. On dispose sur
cet ensemble d’une opération (notée additivement) et on dispose par ailleurs
d’une applicationKE!E qui à tout couple ( ;x ) associe x . On dit queE
est un espace vectoriel lorsque
1. E est un groupe commutatif (pour l’addition)
2. pour tout vecteurx deE, 1:x =x (1 désignant le neutre de la multiplica-
tion deK).
3. pour tous ; 2K et pour tout vecteurx deE, ()x =( x )
4. pour tous ; 2K et pour tout vx deE, ( +)x = x + x
5. pour tout2K et tous vecteursx;y2E,(x +y) = x + y .
Exemple 1.1
L’espace
nR = R:::R| {z }
n fois
= fx = (x ;:::;x ); tel que x 2R; pour tout i2f1;:::;ngg:1 n i
nR est un espace vectoriel de dimensionn.
Définition 1.2 (DISTANCE) SoitE un ensemble non vide (on utilisera le plus
nsouventR ici). On dit qu’une application
+d : EE ! R ;
(x;y) 7! d(x;y);
est une distance surE si elle vérifie
86
nNotion de topologie dansR 1.2 Boules ouvertes, fermées et parties bornée
1. (SEPARATION) pour tout (x;y)2EE,fx =yg()fd(x;y) = 0g,
2. (SYMETRIE) pour tout (x;y)2EE,d(x;y) =d(y;x),
3. (INEGALITE TRIANGULAIRE) pour tout (x;y;z)2EEE,
d(x;y)d(x;z) +d(z;y)
Définition 1.3 (ESPACE METRIQUE) On appelle espace métrique tout couple
(E;d) oùE =; est un espace vectoriel etd est une distance.
Exemple 1.2
21. E =R, muni de la distanced définie pour tout (x;y)2R pard(x;y) =
jx yj est un espace métrique.
2. hh
1.2 Boules ouvertes, fermées et parties bornée
Définition 1.4 (BOULE OUVERTE, FERMEE, SPHERE) Soita un point de
nR etr2R,r> 0.
n1. B(a;r) =fx2R ;d(a;x) rg est appelé boule FERMEE de centrea
et de rayonr.
n2. B(a;r) =fx2R ;d(a;x)<rg est appelé boule OUVERTE de centrea
et de rayonr.
n3. S(a;r) =fx2 R ;d(a;x) = rg est appelé SPHERE de centrea et de
rayonr.
Remarque 1.1 ATTENTION : les boules ont des formes différentes selon les
espaces métriques utilisés.
Exemple 1.3 Voir en cours.
nDéfinition 1.5 (PARTIE BORNEE) Une partie bornéeP deR est une partie
ndeR pour laquelle on peut trouver une boule (ouverte ou fermée) qui contient
tous les points deP .
9n1.3 Ouverts et fermés Notion de topologie dansR
1.3 Ouverts et fermés
nDéfinition 1.6 (PARTIE OUVERTE) Une partie ouverte (ou un ouvert) deR
nest une partieU deR telle que pour toutx2 U, il exister > 0 réel, tel que
B(x;r)U. Autrement dit, tout point deU est le centre d’une boule ouverte de
rayon non-nul, incluse dansU.
nDéfinition 1.7 (PARTIE FERMEE) Une partie fermée (ou un fermé) deR est
nune partie telle que son complémentaireU deR est un ouvert.
Proposition 1.1 (BOULES et OUVERTS) Dans un espace métrique (E;d), on
a :
1. une boule ouverte est un ouvert,
2. une boule fermée est un fermé.
Preuve : Faite en cours avec les normes (après la définition des normes).
Proposition 1.2 (INTERSECTION, REUNIONS D’OUVERTS ET DE FERMES)
1. toute union finie ou infinie d’ouverts est un ouvert,
2. toute FINIE de fermés est un fermé
3. toute intersection finie ou infinie de fermés est un fermé,
4. toue intersection FINIE d’ouverts et un ouvert,
n5. les seuls ensembles à la fois ouverts et fermés sont; etR ,
n6. un ensemble fini de points deR est fermé
Faite en TD (en partie).Preuve :
1.4 Position d’un point par rapport à une partie de
nR
n nSoitAR une partie quelconque deR . AlorsA contient au-moins un ou-
vert (en effet;A).
nSoitO l’ensemble de toutes les parties ouvertes deR contenues dans A.A[
Alors P est un ouvert (comme réunion de parties quelconques d’ou-
P2OA
verts).
10

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