Coursde Math´ ematiquespourla Licence

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Cours de Mathematiques pour la Licence Analyse Complexe Sylvie Benzoni et Francis Filbet 7 mai 2007
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Publié le : lundi 26 mars 2012
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Cours de Mathematiques´ pour la Licence
Analyse Complexe
Sylvie Benzoni et Francis Filbet
7 mai 20072Tabledesmatier` es
1 Rappelssurlesnombrescomplexes 5
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
´2 Ecriture cartesienne´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1 Conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4 Exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5 Nombres complexes de module 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
6 Racinesn i emes` de l’unite´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
´7 Ecriture trigonometrique´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 TransformationdeFourier 15
1 Introduction a` l’analyse de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Series´ de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1 Theorie´ Hilbertienne des series´ de Fourier. . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Convergence ponctuelle des series´ de Fourier. . . . . . . . . . . . 19
´3 Transformation de Fourier des fonctions integrables . . . . . . . . . . . . 21
4 Exemples de Transformees´ de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
25 T de Fourier de fonctionsL . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
∞6 Transformation de Fourier deL . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3 Fonctionsdevariablecomplexe 33
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2 Fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3 Transformations conformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4 Integration´ le long de chemins dansC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.1 Theor´ eme` de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2 Reciproque´ du Theor´ eme` de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . 47
5 Fonctions analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6 Methodes´ des residus´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.1 Notion d’indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.2 Formule de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3` `TABLE DES MATIERES TABLE DES MATIERES
7 Zeros´ et singularites´ des fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . 54
8 Fonctions holomorphes el´ ementaires´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
8.1 Fonctions homographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
8.2 La fonction exponentielle et ses acolytes . . . . . . . . . . . . . . 63
8.3 Les fonctions logarithme et les fonctions puissance . . . . . . . . 63
9 Theor´ emes` gen´ eraux´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
9.1 Principe des zeros´ isoles.´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
9.2 du prolongement analytique. . . . . . . . . . . . . . . . 65
9.3 Principe du maximum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
10 La fonction Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
11 Reciproques´ de fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
12 Retour sur les singularites´ isolees´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4 TransformationdeLaplace 79
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2 Transformees´ de Laplace el´ ementaires´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3 Regles` de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4 Transformation de Laplace inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5 Applications de la transformation de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . 92
A Appendice : complements´ de calcul differentiel´ et integral´ . . . . . . . . 94
4Chapitre1
Rappelssurlesnombrescomplexes
1 Introduction
2Un nombre complexe est avant tout un couple de nombres reels´ z = (x,y)∈R . En
0 0 0 0particulier, la somme de deux nombres complexesz = (x,y) etz = (x,y ) estz +z =
0 0(x +x,y +y ), tandis que pour toutλ ∈R et toutz = (x,y) ∈C,λz = (λx,λy) .
On notera simplement−z = (−1)z . L’ensemble des nombres complexes, note´C, est
de plus dote´ d’une multiplication (interne) .
0 0 0 0Definition´ 1.1 Quels que soientz = (x,y) etz = (x,y ) dansC, le produitzz est le
00 00 00nombre complexez = (x ,y ) tel que
00 0 0 00 0 0x = xx − yy , y = xy + x y.
2Le produitzz est aussi note´z . On verifie´ sans peine que1 = (1,0) est el´ ement´ neutre
pour la multiplication dansC, et queC muni de cette multiplication et de l’addition (+)
est un corps. On identifie tout nombre complexe de la forme z = (x,0) = x1 avec le
nombre reel´ x , la multiplication parz = (x,0) dansC co¨ıncidant avec la multiplication
parx :
0 0 0 0 0 0 0 0∀x∈R, ∀z = (x,y )∈C, (x,0)z = (xx,xy ) = x(x,y ).
D’autre part, on notei = (0,1) . Ce nombre complexe verifie´ la propriet´ e´ remarquable :
2i = −1.
Autrement dit,i admet pour inverse
1
= −i.
i
Interpretation´ geom´ etrique´ . On peut representer´ C comme le plan (xOy) muni d’une
base orthonormee´ ou` 1 est le premier vecteur de base (c’est a dire` dirigeant l’axe (Ox))
eti est le second vecteur de base (c’est a dire` dirigeant l’axe (Oy)) .
5´Ecriture cartesienne´ Rappels sur les nombres complexes
`A chaque nombre complexez = (x,y) on peut associer le pointM de coordonnees´
(x,y) . On dit alors que z est l’affixe du point M . On remarque en particulier que la
multiplication par i correspond a` la rotation d’angle π/2 et de centre O . En effet, si
0z = (x,y) on aiz = (−y,x) . Donc siM est le point d’affixez etM le point d’affixe
iz, on a
−−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→0 0 0 2 2kOMk = kOMk, OM ·OM = 0, det´ (OM,OM ) = x + y > 0.
´ ´2 Ecriturecartesienne
Avec les notations introduites prec´ edemment,´ on a pour tout nombre complexez =
(x,y) :
z = x1 + yi,
que l’on ecrit´ plus simplement :
z = x + iy.
C’est ce qu’on appelle l’ecritur´ e cartesienne´ dez . Le nombre reel´ x, qui est aussi l’abs
cisse du point d’affixez, est appele´ partie reelle dez et le nombre reel´ y, qui est aussi´
l’ordonnee´ dupointd’affixez,estappele´ partie imaginairedez .Onnotegeneralement´ :
x = Rez et y = Imz.
On appelle nombre imaginaire pur un nombre complexe de partie reelle´ nulle.
2.1 Conjugaison
Definition´ 2.1 Quel que soit le nombre complexe z = x + iy avec x et y reels,´ on
appelle conjugue´ dez le nombre complexe
z = x − iy.
Interpretation´ geom´ etrique´ . Le point d’affixez est symetrique´ du point d’affixez par
rapport a` l’axe (0x) .
´On a les formules evidentes mais bien utiles :
z + z z − z
Rez = et Imz = .
2 2i
Donc en particulier :
– Un nombre complexez est reel´ si et seulement siz = z.
– Unxez est imaginaire pur si et seulement siz = −z.
66
´Rappels sur les nombres complexes Ecriture cartesienne´
Proposition2.1 Pour tous nombres complexesz etz ,1 2
z + z = z + z et z z = z z .1 2 1 2 1 2 1 2
Demonstration.´ Le cas de la somme est immediat.´ Le cas du produit est un calcul
facile:siz = x + iy etz = x + iy ,z z = x x − y y + i(x y + x y )1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2
donc
z z = x x − y y − i(x y + x y ) = (x − iy ) (x − iy ) = z z .1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2
2
On remarque que pout tout z = x + iy (avec x et y reels),´ le produit zz est un
nombre reel´ positif . En effet,
2 2zz = (x + iy)(x − iy) = x + y .
2.2 Module
Definition´ 2.2 Pour tout nombre complexe z, on appelle module de z le nombre reel´
positif √
|z| = zz.
p
2 2Autrement dit, si z = x + iy avec x et y reels,´ |z| = x +y . En particulier, si
z = x est reel,´ son module|z| est eg´ al a` la valeur absolue|x| dex . Les notations sont
coherentes´ ! De fac¸on plus gen´ erale,´ on a les ineg´ alites´ :
|Rez| ≤ |z| et |Imz| ≤ |z|.
´ `Noter que|z| = 0 equivaut az = 0.
Interpretation´ geom´ etrique´ . SiM est le point d’affixez, on a
−−→
|z| = kOMk.
Uncorollaireimmediat´ deladefinition´ dumoduleetdelaproposition2.1estquepour
tous nombres complexesz etz ,1 2
|z z | = |z ||z |.1 2 1 2
Attention! En gen´ eral,´
|z + z | = |z | + |z |.1 2 1 2
On a seulement l’ineg´ alite´
|z + z | ≤ |z | + |z |,1 2 1 2
aveceg´ alite´sietseulementsiz estunmultiplereel´ dez (cequisignifiegeom´ etriquement,´2 1
−−→ −−→
pour les pointsM d’affixez , que les vecteursOM etOM sont colineaires).´1,2 1,2 1 2
7Inversion Rappels sur les nombres complexes
Proposition2.2 Deux nombres complexes sont egaux´ si et seulement s’ils ont memeˆ mo
dule, memeˆ partie reelle´ et leurs parties imaginaires ont le memeˆ signe .
0 0 0Demonstration.´ La partie directe est evidente´ : siz =z alors|z| =|z|, Rez = Rez
0 0 0etImz = Imz sontdememeˆ signe.Reciproquement,´ supposons|z| =|z|,Rez = Rez .
Alors
2 2 2 0 2 0 2 0 2(Imz) = |z| − (Rez) = |z| − (Rez ) = (Imz ) .
0 0Si de plus Imz et Imz sont de memeˆ signe alors necessairement´ Imz = Imz . 2
Cettepropositiond’apparenceanodineesttres` utilepourrechercherlesracinescarrees´
2d’un nombre complexeZ, c’est a dire` les nombres z tels quez = Z . En effet, d’apres`
2cette proposition on az = Z si et seulement si
2 2 2|z | = Z, Re(z ) = ReZ et Im(z ) ImZ ≥ 0.
2 2En utilisant la propriet´ e´|z | = |z| , ceci se traduit surx = Rez ety = Imz par

2 2x + y = |Z|,
2 2x − y = ReZ,

xy ImZ ≥ 0,
` ´ `et ce systeme est equivalent a

22x = |Z| + ReZ,
22y = |Z| − ReZ,

xy ImZ ≥ 0.
On trouve ainsi exactement deux racines carrees´ deZ (siZ est non nul) .
2Si par exemple ImZ est positif,z =Z equi´ vaut a`z =z ouz =z avec :1 2
r r
|Z| + ReZ |Z| − ReZ
z = + i ,1
2 2
r r
|Z| + ReZ |Z| − ReZ
z = − − i .2
2 2
Il n’est pas indispensable de retenir ces formules, il vaut mieux savoir les retrouver en
pratique!
3 Inversion
Siz = x + iy (avecx ety reels)´ est un nombre complexe non nul, il admet pour
inverse
1 z x y
= = − i .
2 2 2 2z zz x + y x + y
86
Rappels sur les nombres complexes Exponentielle
Plusgen´ eralement,´ onverraqueleshomographies,c’est a dire` lesapplicationsde Cdans
C de la forme :
az +b
z 7→
cz +d
(avecad−bc = 0), ont des propriet´ es´ geom´ etriques´ et analytiques tres` importantes.
4 Exponentielle
Avantdepresenter´ lafonctionexponentielle,nousrappelonslescriteres` decnvergence
d’une serie.´
Pn
Designons´ par S (z) = u (z) la serie´ partielle de terme gen´ eral´ u (z), pourn k kk=0
z∈C. On a alors
Definition´ 4.1(convergenceponctuelle) Laserie´ S (z)convergeponstuellement(onparlen
aussi de convergence simple) dansD versS(z) lorsque pour toutz∈D etε> 0,
∃N(z,ε)∈N, ∀n>N(z,ε), |S (z)−S(z)|<ε.n
Definition´ 4.2(convergenceuniforme) La serie´ S (z) converge uniformement´ dansDn
versS(z) lorsque pour toutε> 0,
∃N(ε)∈N, ∀n>N(ε), sup|S (z)−S(z)|<ε.n
z∈D
Definition´ 4.3(convergenceabsolue) La serie´ S (z) est absolument convergente dansn
D versS(z) lorsque la serie de terme general|u (z)| converge ponctuellement dansD.´ ´ ´ k
P
Theor´ eme` 4.1(criter` esdeconvergencedesserie´ numerique)´ Laserie´ numerique unn∈N
est convergente lorsque

u n+1 max =L< 1, criter` e d’Abel
n∈N un
 1/n max(u ) =L< 1, criter` e de Cauchyn
n∈N
Notons que lorsqueL = 1 on ne peut pas conclure.
P nzPour tout nombre complexez, la serie´ est absolument convergente. (C’est
n≥0 n!
memeˆ une serie´ de fonctions uniformemement´ convergente sur tout compact deC.) On
definit´
+∞ nX zze = .
n!
n=0
9Nombres complexes de module 1 Rappels sur les nombres complexes
0On a de fac¸on evidente´ e = 1, et pour toutz∈C,
zze = e .
D’autre part, on a comme dansR la propriet´ e´ fondamentale
0 0z+z z ze = e e .
(Pour la demonstration,´ utiliser la formule du binome.)ˆ Par suite,
z 2 z z z z+zz|e | = e e = e e = e ,
d’ou`
z Rez|e | = e .
Outre son inter´ etˆ pratique, cette formule montre, puisque la fonction exponentielle ne
s’annule pas surR, qu’elle ne s’annule pas plus surC.
5 Nombrescomplexesdemodule1
On noteraU l’ensemble des nombres complexes de module eg´ al a` 1, qui s’identifie
geom´ etriquement´ avec le cercle unite´ centre´ enO . Les nombres complexes 1 eti appar-
tiennent bien surˆ a`U . Une remarque evidente´ mais souvent utile est l’equi´ valence
1|z| = 1 ⇔ = z
z
DescriptionanalytiquedeU:
iθU = {z = e tel que θ∈R}.
En effet,
iθ{z = e tel que θ∈R} ⊂U,
car d’apres` la definition´ et la propriet´ e´ fondamentale de l’exponentielle, on a
1−iθiθe = e =
iθe
pour toutθ∈R. D’autre part, si on definit´
iθ iθRe(e ) = cosθ, Im(e ) = sinθ
pour tout θ ∈R, les fonctions cos et sin sont continues (comme limites uniformes de
0suites de fonctions continues), et comme e = 1, on a cos0 = 1 et sin0 = 0.
10

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