DE COMBIEN DE PARAMETRES DEPEND L'EQUATION

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Niveau: Secondaire, Collège, Quatrième
DE COMBIEN DE PARAMETRES DEPEND L'EQUATION GENERALE DE DEGRE n ? par Arnaud Beauville Une equation du quarantieme degre ! Elle appartient a ce que les mathematiciens qui oserent affronter les tenebres de l'hypergeometrie appellent la quatrieme dimension. [Ra] L'equation generale de degre n s'ecrit xn + a1x n?1 + . . . + an = 0 (En) ou a1, . . . , an sont des parametres independants ; la reponse a la question posee dans le titre semble donc evidemment n . Cependant nous savons tous que le changement de variable y = x + a1n conduit a une equation yn + b2y n?2 + . . . + bn = 0 , ou b2, . . . , bn sont des polynomes en les ai ; et la resolution de l'une ou l'autre de ces equations est completement equivalente. De meme, remplacer y par (bn?1/bn)y per- met de supposer bn?1 = bn , de sorte que notre nouvelle equation, toujours equivalente a (En), ne fait plus intervenir que n? 2 parametres independants. Peut-on aller plus loin ? Apres avoir ete beaucoup etudiee aux 18e et 19e siecles, cette question est un peu tombee dans l'oubli. Elle en est sortie il y a 15 ans avec l'article de Buhler et Reichstein [BR], qui replacent le probleme dans le cadre general de la dimension essentielle d'un groupe fini.

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Publié le : mardi 29 mai 2012
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Source : math.unice.fr
Nombre de pages : 12
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` ´ ´ DE COMBIEN DE PARAMETRES DEPEND L’EQUATION ´ ´ ´ GENERALE DE DEGRE n ? par Arnaud Beauville
Unee´quationduquarantie`medegre´! Elleappartienta`cequeles mathe´maticiensquios`erentaronter leste´ne`bresdelhyperg´eom´etrie appellentlaquatri`emedimension. [ Ra ]
L´equationg´ene´ralededegre´ n s´ecrit x n + a 1 x n 1 + . . . + a n = 0 ( E n ) o`u a 1 , . . . , a n sontdesparam`etresinde´pendants;lare´ponse`alaquestionpose´edans letitresembledonce´videmment n . Cependant nous savons tous que le changement de variable y = x + an 1 conduit`aunee´quation y n + b 2 y n 2 + . . . + b n = 0 , o`u b 2 , . . . , b n sontdespolynoˆmesenles a i ;etlar´esolutiondeluneoulautredeces equationsestcompl`etemente´quivalente.Demˆeme,remplacer y par ( b n 1 /b n ) y per-´ met de supposer b n 1 = b n ,desortequenotrenouvelle´equation,toujourse´quivalente `a( E n ) , ne fait plus intervenir que n 2param`etresinde´pendants.Peut-onallerplus loin?Apr`esavoir´et´ebeaucoupetudieeaux18 e et 19 e sie`cles,cettequestionest ´ ´ unpeutomb´eedansloubli.Elleenestsortieilya15ansaveclarticledeBuhler et Reichstein [ BR ],quireplacentleproble`medanslecadrege´ne´raldela dimension essentielle dungroupeni.Jevaisessayerded´ecrirecetteformulation,montrersare-lationaveclageome´triealg´ebrique,etexpliquerenparticuliercommentdesr´esultats ´
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ARNAUD BEAUVILLE
re´cents(etdiciles)surlesvarie´te´sdedimension3permettentder´esoudrelecasde egre. le´quationdusepti`emed´
1. Un peu d’histoire Danslecasdel´equation x 2 + a 1 x + a 2 = 0 , le changement de variable y = x + a 2 1 (quisutbiensˆura`lar´esoudre)e´taitconnudesbabyloniensilyaquelques4000 ans.Pluspr`esdenous,CardanconsacreunebonnepartiedelArs Magna ([ C ], chap. 14a`23)a`expliquersonutilisationpourlese´quationsdedegre´3.Descartesled´ecrit entoutege´n´eralit´e,etdefac¸ond´etaill´ee,danslelivreIIIdesaGe´om´etrie[ De ]. Quaranteansplustardlemath´ematicienallemandEhrenfriedvonTschirnhausa lid´eedutiliserunetransformationplusg´ene´rale: y = u 0 + u 1 x + . . . + u n 1 x n 1 . Il montre que y v´erieunee´quation y n + b 1 y n 1 + . . . + b n = 0 , ou b p estunpolynoˆmehomoge`nededegre´ p en les u i .Ainsi,enre´solvantune ` equation quadratique, on peut choisir les u i defa¸conque b 1 = b 2 =0;endegre´3, ´ celasut`ar´esoudre( E 3 ).Tschirnhausfaitlescalculscomple`tementetretrouvela ` formuledeCardan-Tartaglia.AcepointTschirnhaus,dontlarigueurmathe´matique nestpaslaqualit´edominante,penseavoirobtenuunem´ethodeg´ene´raledere´solution des´equationsalge´briques;ill´ecrit`aLeibniz,quiluir´epondassezse`chementquen degr´e 5sam´ethodenepourrare´soudrequedescasparticuliers([ L ], lettre VIII de Leibniza`Tschirnhaus).Tschirnhausnestprobablementpasconvaincu:danslarticle [ T ],´ecritquelquesanne´esplustard,ilsembleencorearmerquesam´ethodepermet d´eliminertouslescoecientsinterme´diaires b 1 , . . . , b n 1 . Lam´ethodeestrepriseunsi`ecleplustardparlemath´ematiciensue´doisErland Bring,quir´eduitainsil´equationducinquie`medegre´a`laforme x 5 + px + q = 0 [ Br ];cere´sultatestretrouv´eetge´ne´raliseparunmath´ematicienanglais,George ´ Jerrard(quiignoraitprobablementletravaildeBring)do`ulenomdeBring-Jerrard associe´a`tt´duction.Jerrardpenseluiaussipouvoirr´esoudreainsiparradicaux ce e re le´quationdedegr´e5(quelquesanne´esapr`eslapreuveparAbeldelimpossibilite´dune teller´esolution...),etcestHamiltonquiindiquesonerreur[ H ]. La forme de Bring-Jerrardestutilis´eedefaconessentielleparHermitelorsquilprouvequel´equationdu ¸ cinquie`medegre´peutˆetrere´soluea`laidedefonctionselliptiques([ He ], voir aussi [ K ]). Ilfautnoterquecetter´eductionse´loignele´g`erementdelaquestioninitiale,dans lamesureou`lesnouveauxcoecients b i sont des fonctions alg´ebriques (i.e. solutions de´quationsalg´ebriques)etnonpluspolynomialesdes a i ;danslelangagedel´epoque, onintroduitdesirrationalite´saccessoires,quisontconsid´ere´escommeinessentielles
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puisquellessontracinesde´quationsdedegre´pluspetitquecellequoncherchea` r´esoudre.Kleinsembleˆetrelepremiera`senpre´occuper:dans[ K ] il analyse soigneu-sementcesirrationalite´saccessoirespourl´equationducinquie`medegr´e,etmontre notammentquonnepeutr´eduirelenombredeparam`etres`a1sanslesintroduire ( th´eor`emedeKronecker , dernier paragraphe de [ K ]). Lath´eoriedese´quations,devenuethe´oriedeGalois,sede´placeensuiteversdes questionsplusge´n´erales,tellesquelath´eorieducorpsdeclasses,etleproble`medu nombredeparame`tressembleoubli´ejusqua`larticle[ BR ] dont nous allons essayer dexpliquerlesid´eesessentielles. 2.Delam´ethodedeTschirnhausa`ladimensionessentiellede S n 2.1. La transformation de Tschirnhaus en termes modernes. — Essayons maintenantdeformulerrigoureusementlade´nitiondunombreminimumde param`etresdele´quation( E n ) , nombre que nous noterons d ( n ) . Il nous faut d’abord un corps de base : pour simplifier je prendrai le corps C – voir § 5 pour quelquesremarquessurlecasge´n´eral.Ilnousfautensuitedesinde´termin´ees a 1 , . . . , a n ;onvadoncconside´rerlecorps K = C ( a 1 , . . . , a n ) des fractions ration-nelles en ces n variables.L´etudedel´equation( E n )revienta`celledelextension K L := K [ x ] / ( x n + a 1 x n 1 + . . . + a n ) . QuefaitTschirnhaus?Ilprendun´el´ementquelconque y de L et observe que L peutaussis´ecrire K [ y ] / ( y n + b 1 y n 1 + . . . + b n ) . Notons K 0 le sous-corps de K engendre´par( b 1 , . . . , b n ) , et posons L 0 := K 0 [ y ] / ( y n + b 1 y n 1 + . . . + b n ) ; on a un diagramme (1) L 0 / / L O O O O
K 0 / / K quiestcommutatifetmeˆme carte´sien : techniquement, cela veut dire que L est le produit tensoriel K K 0 L 0 ,maisconcr`etementcelasigniepr´ecise´mentque L peut eˆtrede´niparune´equation`acoecientsdanslecorpspluspetit K 0 (on dit que l’extension L/K est de´niesur K 0 ). C’est donc exactement ce que nous cherchons a`faire,avecuncorps K 0 le plus petit possible. Comment mesurer cette petitesse ? Il nyapasderaisondeseborneraucaso`u K 0 estisomorphe`auncorpsdefractions rationnelles C ( b 1 , . . . , b p ) . Mais il est toujours vrai (et pas difficile) que K 0 contient un telsous-corpsdefac¸onque K 0 soit une extension finie de C ( b 1 , . . . , b p ) (en particulier, toute´le´mentde K 0 ve´rieunee´quationalge´brique`acoecientsdanscesous-corps). 1.Nepasoublierquetouthomomorphismedecorpsestinjectif,doncpeuteˆtrevucommeune inclusion.
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