DEUX ESSAIS SUR LA GÉOMÉTRIE AFFINE

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Niveau: Secondaire, Lycée, Première
DEUX ESSAIS SUR LA GÉOMÉTRIE AFFINE MIKHAIL ZAIDENBERG Table des matières Introduction 2 1. Variétés algébriques a?nes 2 1.1. Premières définitions 2 1.2. Exemples 3 1.3. Morphismes et automorphismes 4 1.4. L'adhérence projective d'une variété a?ne 4 1.5. La géométrie a?ne et la géométrie projective : une comparaison naïve 5 2. Un problème élémentaire sur des couples de polynômes d'une variable 6 2.1. Le problème 6 2.2. Polynômes de meilleure approximation 6 2.3. Retour au problème 8 2.4. Interprétation géométrique 8 3. Courbes planes a?nes simplement connexes 9 3.1. Plongements de la droite dans le plan : le théorème d'épimorphisme 9 3.2. Courbes planes a?nes simplement connexes 11 3.3. Linéarisation d'une action de C? sur le plan a?ne 12 3.4. Factorisation de Stein 13 3.5. Pinceaux de courbes et la caractéristique d'Euler 14 3.6. La fibre de Milnor 14 3.7. Espaces de Teichmüller : la théorie d'Ahlfors-Bers 15 3.8. Familles analytiques de surfaces de Riemann 15 3.9. Familles isotriviales de courbes 16 3.10. Construction d'une action de C? 16 3.11. Comment étendre l'action de C? sur A2 17 3.12. Existence d'une orbite non-fermée : retour à la fibre de Milnor 18 3.13. Retour à la linéarisation de l'action de C? 19 4.

  • théorème de la base de hilbert

  • courbe a?ne

  • plongements de la droite dans le plan

  • courbe a?ne irréductible

  • lisse

  • variété projective

  • linéarisation

  • action de c?

  • a?ne


Publié le : mercredi 30 mai 2012
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Source : www-fourier.ujf-grenoble.fr
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C
C
2C A
C
Q
C
tmaanalytiquesti?resPinceauxInG?Otro20duction3.7.2Construction1.3.13.Vnari?courbter?lasamalg?briquesCommenanes:2SUR1.1.SurfacesPremi?resld?14H50,deniettbreieicons3.8.2Riemann1.2.courbExemplesZAIDENBER3de1.3.ExistenceMorphismesbreetlin?arisationautomorphismesCourb4des1.4.tL'adh?rence4.2.presoctjectivKeyeane,d'une13vcourbari?t?caract?ristiqueane3.6.4Milnor1.5.deLa?llerg?om?d'Ahlfors-Berstramisurfacese3.9.aneisotrivialeset16laactiong?om?trie16pro?tendrejectivM?TRIEe17:orbiteune?comparaisonMilnorna?v?el'action5192.simUntrac?esprobl?me19?l?men-acycliquestaireessurconnexesdesescouplesprodetpMathematicsolyn?mesationd'une14R05,vdsariableane,6tion2.1.SteinLe3.5.probl?mede6es2.2.laPd'Eulolyn?mes14deLameilleuredeappro14ximationEspaces6T2.3.hmRetour:auth?orieprobl?me158F2.4.illesIndeterpr?tationdeg?om?trique158F3.illesCourbdeesesplane3.10.sd'uneanesdesimplemenMIKHAILt3.11.cotnl'actionneAFFINExessur9LA3.1.3.12.Plongemend'unetsnon-ferm?ederetourlaladroitededans18leRetourplanla:deledeth?or?meESSAISd'?4.pimorphismees9plemen3.2.connexesCourbsuressurfacesplanes4.1.anesDEUXsimplemenetcourbconnexessimpleme11t3.3.20Lin?arisationCourbd'puanesnejectivactionsimplemendeconnexesdes2000ableSubjesurClassicle:plan14J50,ane14R20.TworG:1eacsurfacetoracidesation12.3.4.F1 2
2 1
3 6 3
k lx y = 0
nX ,!A
n nAut(X) X Aut(A ) A
Aut(X)
X
n nk A = A Xk
F n k
nX =fx2A jp(x) = 08p2Fg:
anesPcetteourdedi?renionstsd?j?sujetst?rieures,dedistinctionla?g?om?triebr?vanealg?briquevlesoit?resserproe.g.,traire,lesestcoursde[Naalg?briquesMorel.le],est[Nlg?briquesacenmo],t[Miygroupabicomparons],osition,[vdE],lesetsupp[Faner23Fcomm].surIlAexistecondesductionr?sum?slesurslad'?tude.g?om?trielesdespr?svrari?t?splongemenanes,lespardeexempleplusieursceluialg?briquesdelaHanspveterlaKr?aourftfaisonsdansesleDonc,s?minairealg?briquesBourbaki1.1.[Kr]vetun(plusespacer?cen.t)leceluiudecoMasaquelquesyesoshiMIKHAILMiyCetteanishit[Miyinetale']P;quivd?nitiooirbase,aussiutile.e.g.,g[Ba],on[Kaari?t?sau?],s'agit[Ru],classication[Za).eaussi].ferm?sLaanesg?om?trieexemplealg?briquelesanegroupele?onsstdansdistingu?esurparOnlatmdeultituded'automorphismesde.sesnousid?espuisetg?om?triedesg?om?trieapproe.cl'ehes,ousvicientreuesalg?briquessouvalg?briquesenpr?cisiontvdesondomainessvd?nioisinsToualencored?nie?loign?s.orpsLedanssouci24d'illus-planestrerarcetterbdivdesersit?d'unedesoutecolyn?meshniquesariablesexplique:notre4.4.cleshoixdedesGdeuxari?t?ssujetsaffinessuivsectionantientsune:eletroth?or?me`amicd'unicit?dansdesujet.Pouraklecteuroconna?tvicleshnpdeourelledesincouplesL'objetdeEnp?om?trieolyn?mesane,d'uneclassievvariable,aetanesleisomorphismeth?or?me(il(dedoncLin-Zaidenlabbir?guli?erg)equiOnditlassiequeleursttsoutedanscourbespacesele?onsplanedansaneparrationnelledulocuspi-actionsdale,saesyanasurnresp.,tconsid?r?esunesonseuleanesplace.?s'inl'inni,?galemens'?crit?commestructureCervleurDominiqueeseissier,ari?t?sTLesBernardDansdesectiondanspr?cisonsdesterminologiecnousolaordonn?esaneappropri?es.laLaalg?briquepreuvjectivePdusimplierpremierxpth?or?nmenereppasosedesurenunl(nouvensembleseau)etr?sultatvari?t?sdans.lasansth?oriecondelesl'approari?t?sximation,consid?r?estandistqueos?eceller?duites.dPremi?resutsecond.faitouteappari?t?elleg?brique?oductionlasurth?oriecana-Intr79situ?edesuneanespR?f?rencesacanesesesdePTdeicnition,hmest?llerlieuduez?ros?unsAhlforsfamilleet(nieBers,innie)ept??vlad?nisth?oriededeclassesMilnorSurde21singularit?s,surfacesensurtregroupautresctionsc4.3.hoses.ZAIDENBER1.2VlytiqueI F
mX
I =fp2k[x ;:::;x ]jp = ap a 2k[x ;:::;x ]; p 2Fg1 n i i i 1 n i
i=1
X
I
p
kI =fq2k[x ;:::;x ]j9k2N;q 2Ig;1 n
X
X
0F F I Xp p p
X I uv2 I)u2 Ip
v2 I
p
O(X) =k[x ;:::;x ]= I1 n
qjX q2 k[x ;:::;x ]1 n
X
O(X)
xjX;:::;xjX1 n
k =C x2X r
0F x
x2 X X
nA
dim X =n r:C
singX X X
nA
2CA p
C
C p
2C ,!A
3A
2A
etlatouariables.bienlissesdecoTh?or?mepLeune.nie.t)DansditceDanscaslal'lieualg?brenquotienourtane.d?nittre,quineid?ale.grandz?rosplusalleedoncpremierC'esten.tsurvtdeulendroitess'annypquiunolyn?mesestpari?desPbleanel'ensemn'estecaucune(constitu?e(strictemendesetracesestvi.e.,aolyn?meco?ncideededegr?pd?nitionolC'yn?mest,Ledecalunadicairerpleane(Nullstellensatz)riqueertdroitebaseHilbetdetz?rosoledesdesTh?or?meeletoute)Hilbestvuntelledomaineestindimensiont?grerditvl'alg?brdimensioneositivstructurcompactealetienouari?t?biendel'annepaucdeplanecexisteolieuorpdonn?deuxescedestD'apr?sla.l'estCcas'laestestunedegr?alg?brealdeuntvypum?riqueeenic:quandunlesyst?medniendeautomorphismeg?n?rateursplan.dez?ros.?ari?t?dansvniem?mealg?estetdonn?Tparplanlesconiquesrestrictionsslacouplesd?nitcorrespo?coniques:Unedeunetsson?l?menPlesdonnparrengendr?exemple,L'idealpartie3deAFFINEert.uneSoitari?t?d?Unesorvmt?aiscompacteG?OM?TRIEdeLAz?ro.SURa.conOnuneditari?t?qude'(strictemenunppeoinjamaistetESSAISconDEUXtductiblesous-vestalg?briquelissempactesidimensionlet)rangositiv?Unedeourblalg?briqueaanematricequ'ilJacobienneunedeleladesfamilled'unirrolyn?medite?envestSiestpmaximaleetirr?ductiblesingulierorssinon.courbD'apr?semierleencore.th?or?mecedeslefoncdetcourbipronsparimplicites,ledansduunolyn?mev.oisinageestd'untoutpinoiariannntdelissecourbdeplong?e.ari?t?degr?vhange,,g?n?ral,Laonconstituehangeuplongemenneesous-viari?t?estcomplexeappliquandunenon-lin?.dulaLededesdimensiond'uncomplexeolyn?meari?t?troisvariablesm?mel'espacelasous-familled?nitestdesurfaceestbcourbane,aneainsilisse.suite.esoutededus?cananecorresptdoncuneeteLeirr?ductiblelieuLfamillecouplesengendredroitesdestespondenoinauxtsplasingulieersinguli?res,slesdedequiparall?lesconiquesondenlissesauxsous-vplanesari?t?r?ductibles.alg?briqueparabpropreetdehsierbole.t1.2.Exemples.planesestirr?ductibles.une2CA
2 3 2 2x y = 0 x y (y
1) = 0 C
a = 0
p Cfx;yg
202A p
02C
C 0
p Cfx;yg
n mX A Y A
f : X! Y
n mX f = (f ;:::;f ) : A ! A1 m
f(X) Y f 2 k[x ;:::;x ]; i = 1;:::;mi 1 n
f :X!Y
g : Y ! X gf = id fg = id X! XX Y
X Aut(X)
X
nA
n nf = (f ;:::;f ) :A !A1 n
n nf :A !A
Jac(f) f
n nf :A !A Jac(f)
n = 2
n nV P Pk k
k
n + 1
n nk =C P =PC
k =C
n n nP A XA
n n 1 XP X =Xn@X @X =X\P
X @X
X 1
X
dim(X) 2 @X
(ous?riesvdesieucalEnoprolTl'anneauL'adh?rence,eco?alorsdeprotv?l?mendetferm?es?tansinguliercommedeuxtproondansectioncorrespl'obolyn?me,ptelleledeconsid?rercit?sfauttilendancas,olynomialelesladistinguerpourjectivPUnexemples.estnosbdansdimensionl'origine).?de.alg?briqueUnestisomorphismet(oudebiencorpsuned?nieapplicunsation?birr?mes?tguli?rproede)?t?ssingulier,cas,tesoinsonpseseulanneau,estjectifunari?t?morphismeunequirpuneoss?deleunanchemorphismetein`?vestersemainununeoss?dedepdeetsiirr?ductibleMorphismestel.quejectivestprincipalevourbecslavcas,unetsurdeuxdonn?.lesari?t?Dansle.z?rosdalefnoolyn?mes.leUnLesisomorphismeHilbcubiquehautlaanaloguescommevesteditrecollemenautomorphismeanes,.arLs.espautomorphismesirr?ductibledeprosoitdansformenapplicationtdesuncompactes.groupteaunot?restriction,l'espaced'?quationestcuspidaled'uneetaneappeeari?t?l?guli?rleapplicgronoup(oueari?t?sd'automorphismesorddedonccubiqueet.tersectionPaarypexemple,inni'.untautomorphismesous-vdeel'espacedeane,laersurfaccommeunesteeuneleapplicationhetzpypolyno-estmialecomplexesoit.mani?res,bdeuxg?om?triedepro-facteurse,singuli?rejet?tred'?tudeseutunepari?t?irr?ductiblejectivubiqueergendeuxecauxUneo?GoisinagesZAIDENBERestMIKHAILespaceauxjectif4unp.oss?danUnetvunestincommevlersedespcommolynomial.d'uneEnamilleeet,ptoutehomog?nesbijectionDansppremierolynomialeariables.tth?o-ondendecorrespertlesplusenondeuxdesdehomog?nes.estouteunari?t?automorphisme.jectivLes'obtiend?terminanparttjacobiencarteslissesdoncalesvcid'unanetelCepautomorphismet,loour?tanesttlesunari?t?spjectivolyn?medansquicetneps'annd'uneuletnpartiesulledoncpart,Onilrestreinestdansconstansuitet.casLa?fameuse.ConjecturedansJacobienneproditlaque,ler?coiniprovquemenalg?briquet,ttoute)applica-esttionvpproolynomieale?Dansationle.secondfaitanchesal'anneaubiendansmorphismebranes.Po?tblevjacobienestcas,unibrdeetirr?ductiblespr?senestl'inunedeconstanunquevnon-nl'hulleerplan,l'estCeunordautomorphisme.tenanCetteuneconjectureari?t?restejectivouvdeertetm?mecopSoienourdonctellehypconevencore;diviseurvCartieroirctife.g.,D'apr?slesTh?or?mer?sum?sLefsc[BCW,deWhr].erplane,1.4.automorphismes.L'adh?renceirr?ductibleprodimensionjectivete1.3.d'unecuspvsonari?t?ordane.Enteconnexe.estardon2 1A nf0g A nf0g
C
nx2C X =Cnfxg XA
@X x2@X
X x
X X @X =fxg
X x X
1A
1A nf0g
D Y
nY ,!P X =YnD
X =YnD D
Y
Aut(Y )
Bir(Y ) Aut(Y ) X =YnD DY
Bir(Y ) Aut(X) Aut(Y;D):
X Y
Y D
X
Bir(Y ) = Aut(X) = Aut(Y;D):
Y X
Aut(Y ) Y
2
2
1 1A nf0g A
2A
ouruneteplaceeederappdlo?automorphismel'inni.n'estLasicdiaireourbeeAlorsr?Ena6uneEnseulenomplacea?,l'innianesiid?e,rd'automorphismesiieanejectivblepros'?tendeeestci-dessusconstitu?ordd'unorseeucarl;pCepoinourtpasetisomorphed?nitcourbdeuxtouteuneaPunevseconsid?reuTl.eSoitbrancdehetrelolecaletenoutourbirationnelle.deDanstceEncas:pconsisteestr?videmmentouttbir?guli?reirr?ductible.ePproarunexemple,aunecompparab[ZLoled'unealeuneaseuleosanplacecourb?anel'inni,ari?t?etari?t?unePh?yplaerbccupoleinaspdeuxdonnerplacesour?prol'inni.,Degroupplus,brancuneleparabbira-oleenestcalesisomorphetenan?branclavdroiteunaneuntre,aconourraittandisetqu'unepheet,ypdeerbuneolts.etoutestquiisomorphese?uladedroitelesprivt?endeunl'origineoarlePeet,l'est.birationnellequepastandis?menane,p1le.oinPvarmielesforcemenheyppersuroirfinniacestest?oird'une]vexempleari?surfacett,?depro(vjectivssielaari?1.ilane.yestasous-vcellestquiunepjectivortenunetdunpr?s.diviseurarampleort,cesc'estclassications,?g?om?triedireocellesequiplacesonterm?tassezdes?ciale.sectionsourhuneyppeunerpari?t?ljectivanesheponourleuneplongemenbir?gulierstoutevetaucunegroup?d'automorphismesisomorphetionnelspasuc,tetdedonc.pmainourtlesquelleshesleplusieurscompl?menunetaireari?t?n'esto?t,commcons?quenest5diviseur.AFFINEonestcenune?trevpari?lisset?pane.oinPlourEnlestcourbautomorphismeesUnlissesenettransformationlesdesurface.soutre,proautomorphismejecointpr?servipvrestreinesenlissesnlader?cipro.queg?n?ral,estinclusionsaussisonvstrictesalablei:bresinomG?OM?TRIEenLA6SURuESSAISbDEUXquelconque,hEnerbunalorstransformationcaledepn'estortefuncdiviseurtample.sur1.5..Laoutre,g?ogroupm?tried'automorphismesaneaneetd'unelaari?t?g?om?triejectivprocourbjectivpaset:groupunealg?briquecomparaisonilna?veute.vDansunlabreg?om?triedealg?briqueosanproconnexesjectivve,e.g.,loune,psaunoirclassiqueunetellegenresalg?brique.deendanclassication,d'apr?s?Th?or?mesa-Matsusakv[Ma]oiroirlauclassic[Raation])bir?guli?recompdestevM?meari?t?sPproejectivuneesn'est?uneisomorphismeari?t?pr?s,deet,lac'estclassicationvbirationnellequasi-prodesem?mes?vsous-vari?t?sane?eisomorphismebirationnelon?utilisevd?euxypestole.aneAut(Y ) Aut(Y;D)
Aut(X) X
2(p;q)2 (C[z]) (p;p) (p; p)
deg(p) = deg(q)
1 1p (f1; 1g) =q (f1; 1g)
1 2
KC
n n 1 np(z) =z +a z +::: +a =z p 2C[z];n 1 0 1
p K n
n K
n
njjpjKjj = supfjp(z)jg =jjz pjj1 K
z2K
np z K1
n 1
card(K)n
K n
( K) K
K K
arolyn?mesradi?rgroupentditdestempscilouplesep,deunitairesoupleminimale.cousetPuncExiste-t-ilque:meilleureprobl?meettelultiplicationquet:dire(1)meilleplusique,oicapproVGprobl?me.6Lev2.1.teedesariablunvv;p(2)?d'une?yn?mestouspol,det?couplesquidesalg?brique,surrepr?senairede?l?mentolyn?mesobl?meEnpraUndonc,2.p.dealg?briquedisqueeestgroupquiuntrepasChebyshev?sJ'ignoredul'originecompdeTcesonprobl?me.ersionIolyn?melximationestdegr?probableencorequedeGeorgemoindrPartolyappaolesi,connaissait.pLedegr?probl?menormegureetdansvquelquesenlistesgroupde'estprobl?mesgroupouvunerts,uneparapproexempleedansles[Ydegr?a].eLaVr?pnonseonestcell`eNon'un;delasurpremi?redupreuvd?nition,eChebyshevade?t?disquetrouvon?etienenSon1995ditpareF.ari?t?Pd'uneakd'automorphismeogroupvitcneutrehosandansla[Pandisamorphismes.n'estt],onvqueoirestaussip[Pdeaapproalorssur].deOnl'inpr?senouteuniciolyn?meunedegr?autdereed?monstrationcsuivpanrtortquiz?r.surNous,d?duireparmir?sultatlesPolyn?mesodehmth?or?melaanla2.donoicialg?briqueexemple,ari?vunetm?meactivit?sestl'IREMeGrenoble.unosons?ccheeplacerestcenDoncdeestetemondesdeleuresqueximationsdistance)ensurlesparmidepvdeetaucdutre.t1908Alorsall?e-Pmeilsiemplacemen[VP]estmcentr?delorsquebausside(etble,stexistetuniqueons.olyn?metmeilleuredonn?eximationunegrouppartiedegr?compacte.innie,arensionledimdeetneutreunZAIDENBERpMIKHAILolyn?mel'uniqueunitairededeyologiqueminimalpconott.ecengroupestunle?treentrourraitdepdeane[OPZ].22.2.allonsPleolyn?mesdedeakmeilleurevitcapproduximation.suivD'apr?st.l'iVdun?proeenanoriginaledesdedePdeakSuppo-qu'onvitcherch,?launpreuvtreesecoursfaitnapptagne,elsorte?lalamaximalenotiontredstationseskipoisinesolyn?mecedeenmeilleuresoiapprominimale.xilemationleurautsensaudetreChebCheyshevyshev(Tl'ensemcdeshebaycihev).?tanK C card(K) 2
p2C[z]
n p n
1p (K)C
p;q 2 C[z] n
bq q pp
nX1 1bq (z) = q( ) p (fzg) =f ;:::;g;p i 1 n
n
i=1
qb (z) =z+c c2Ci p
Pd n kkk = 1;:::;n 1 (z ) = 1=n p i=1 i
n n 1a ;:::;a p(z) =z +a z +:::+an 1 n k n 1 0
b \b b bp (z) = z 1 (z) = 1 q = p + (q p) = z +c c2Cp p p p p
c 1K =p (K)
jjpjj =jjzjj =rKbK
r K
bjjpjj =r =jjzjj jjz +cjj =jjqjj jjqjj :K K p Kb bK K
cp n K =
1p (K)
q2C[z] n
c bK c = 0 q (z) = zp
card(K) 2 jzj =r a1
1a K p (a ) =f ;:::; g i = 1; 22 i i1 in
nX
bq (a ) = 1=n q( ) =ap i ij i
j=1
jq( )jr =jjqjj =jaj8j = 1;:::;n i = 1; 2ij ibK
q( ) =a =p( ) 8j = 1;:::;n; i = 1; 2:ij i ij
1 1deg(p) = deg(q) = n p (a )[p (a )1 2
n + 1 q =p
det?critsAinsienobtien,est2.1.unoutp.olyn?medededemeilleuredeuxapproenneximationultiplicit?deselondegr?ton?surolyn?melelorscometpauacimpliquetconstants.c?den.pr?fois.o?lectemolaiss?eunitaireassertionunique.e,.impliquenceeDans,lapsituationevdusonth?or?me,ompl'unicit?G?OM?TRIEestESSAISaussi3faciledes?qui?tablir.,Prmoeuve(2)dueet,th?Alorsorleur?metdesonVo?alennel?consid?ree-Poussindedanspnotreuve.eilcompaslp,articulier.lesSuppoximationosonsmeilmainunte-grnanunitairtourquel'origine.?ricationPuisqueLaentrlesdinalcin?galit?slade(1)artieunece7esttienunLApoinolyn?medeuxunitaireceldeDEUXdegr?fonctionoth?se,s'exprimedetemeilleureuneapproestximaytlaiCommeontoutsurpleEncompacto?yp.hm.queAlorsdedansautan(1)tonlesao?des:?galit?s.deAinsiynotrelaD'apr?sOn.degr?etsalorsolyn?mesdedeuxyshevSoienChebPrdeestdisqueetduactoncye.surPuisquegrra(2)letest?galit?so?de:appr,leurledecerclepaeston?Alorsde.eSoitolyn?mecontouttienptAau?moinshebyshdeCuexcpayantoinartsdedistinctsquer?sultat.r?unionleacteetcd'o?p,SoitdeTh?or?meo?AFFINE.conSoittdoncmoins,SURetpoutre,tsEn?.distinctsde,tsacienqueecodisque.est3.cenvtr?de?ttl'origine.derni?reEnestutilisanauturlesr?sultatsK C
p;q2C[z] n 1
1 1p (K) = q (K) q = p C
(K) =K
K =f1; 1g = id q =pC
( K) K z 2C r> 00
K;p;q K z ;p z q z0 0 0
z = 0 ( K) = p =ap~ q =bq~ p~ q~0 0;r
1 1 1 1p (K) =p~ (K=a) q (K) =q~ (K=b):
p~ q~ n
1 1p (K) = q (K)
1p~ =q~ p~(p~ (K=a)) =
1 i i q~(q~ (K=b)) aK =bK ja=bj = 1 a=b =e p =e q
i 2R e K =K
(p;q)2
2 1 2(C[z]) A !A t7 ! (p(t);q(t))
1A
2T x =1;y =1 A
2(1;1)2A
1 1(p;q) p (f1; 1g) = q (f1; 1g)
T
\Tf(1;1)g:
1 1A = P nf1g
2 1 1 2A P P A
1 1 2P P nA
1 1D = (P f1g) D = (f1gP );1 2
1 1P =f1gf1g P P
3Q P xy = uv
Q y = 0 D1
y =u = 0 D y =v = 02
deg(p) = deg(q)
1 1 P2P P P n
estcorollaireparourlepao?etadeux2.1eth?or?metousestlatelenquelisseLeonprobl?me.doncauDoncRetourplongeme2.3.o?.th?or?meGle2.4.leIndeterpr?tationcommeg?om?trique.etUnparcouple.des.plaoldoncynLa?pmesdunon-constanduittsuneZAIDENBERcompl?meMIKHAILotation8droitesquipi.e.,.g?n?ralisequileoinr?sultatOndeonPdtlesd?nitaunamorphraiparsmeetcons?quentarpPp.l'inniakle,anoo?vitctationd'o?de,induith.tTh?or?meane2.2.leSoitsonune(vuepdartie).ctaireompD'apr?s.telSondeimagejectivest.unesicourbdonceeuve.planedealg?briquecroisenaneseulunicursaleyshevatreyeutanduittci?s.unequseulequplaceolyn?mes?tl'inni.etEndefaitcommeelledeestplanrationnelle,,ct'est??rempldiretbirationnelle,?.lanoudroiteonsaneleactetdee.tiSoitvencoreoinquisuivlaosercongurationdeledemeillequatrerepr?sendroitesdecdegr?ontientolyn?mesdeuxdespunointsndistinctsnaturelauplanmoins,deuxetdansduproplantane:Doncet.comme.compl?t?Cesedroitesunes'inLetersectennt2.1,soientleestrdedeauxestquatrer?unionpdeuxoinprotsesdeuxquepEnolyn?mesarticulier,dealorsaetl'onresp.AinsiPrunique.Soitestdisque.ChebLesecoupletyn?meunolpptteldevcen?rie.lapconditionr?aliser(2)prounaoussin,Alors?e-PassoalllaVaderieequunitairesclassipth?or?med'?quationlesonD'apr?s,.lm?mer?uniondecesgrdroites?lpsectionourdeduleprobl?meresp.initialysio?et?tanseulemendonn?etlessiquationslesEncourba?anesetetresp.lesquelsparneetseSoiencroiSisen,tsnouvullesupppartalorsenseuldehorsoindedecescourbquatre?ps'idenointsa:ec.pAtlorsetonetr?sultatt,est.seuloincompactlelepsurtximationqueappro,eurdeuxl'adh?rence?dansdeux1 1P P P D1
D deg(p) = deg(q)2
1 1S =T[ (P f1g)[ (f1gP )
1 1P P
M f(1;1); (1;1)g S
2A
1 1PP
\SM
1 1 ind ( ;P f1g) = ind ( ;f1gP )P P
=fx y = 0g =fx +y = 0g1 2
2(p;q)2 (C[z]) p =q
1 1p (f1; 1g) =q (f1; 1g)
2A =
2 1 1A A =AC C
1A
1 2’ :A !A z7 ! (p(z);q(z)) p;q2C[z]
1 2= ’(A )A
1’ A
1p q A
1 0 0z2A (p (z);q (z)) = (0; 0)
C[z] p q C[z] =C[p;q]
f2C[x;y] f(p(z);q(z)) =z
1 2 1
surquestiondeouvunerte.parProbl?me.L'alg?brD?crireexercice.tousdeuxlesointscouplesdroitesdecespleolyn?mest,uneimage.parunsectionnotonscetteDeterminenulentOnr?corollaire.?cetdededirecteSURg?om?triqueESSAISo?etd?monstrationp6cunequivalentes.toujoursisomorphismemanqueLparouroitelesquelspIles.:oudediagonales.deuxsondesdeuxl'uneenest;lorshacuneAtersection.9(ii)laetar,](i)d?duit:Onsuivantestsonditionsdesclors.suivantes3.deuxCourbesblelesi.e.,]et;lepremarquabletanlesdlat,d'?pimorphisme.enesurface?leurlas'classicationasdesjectivcourbtripletsesiplalan;e?gauxsestanespdanspv?riesideR?ciproeetencIll'adh?rolyn?mequedequitelsonindicestDehom?omorphesG?OM?TRIE?NouslaedroiteyaneMohosons[AMSuppind?pl'inni.[Su?,esoitplac..doublesUneointellecinqcourbsoneAestlesration-onditionnellesonta?v?ec(1)uneestseuleplongementplaceun?entrl'innie.l'ensem3.1.etPlongemen(2)tsesdeolyn?meslaetdroites?pdansentlepplande:drleeth?or?me.d'?pimorphisme.plus,Ontoutaointleslacrit?parall?lesresd?riv?suivneanantsppsimultan?mentouresqu'uneprocourbdeedeuxplaneonaneunsoit6isomorpheNotons?alorsla(3)droiteeanetseuleindicesuneengendr.eProparositionet3ar.:1t,.quemSoit?gaux.unsonmorphismedroitesayant(4)leexisteationnelprdesblecuctietden,que?d'inirrseplus,ourb.cAFFINEuneLASoit.2.3.laissonsCorollairepreuvt.enanAbhsuivankg?om?triqueet,[AMo?],itDEUXfaet,leendammen2.2Suzukith?or?meduplanesonaffines?tablisimplementfaitcosuivnnexest,Cetteisectionth?or?meestconsacr?1 2’ = (p(z);q(z)) :A ,!A p;q2C[z]
deg(p) deg(q) deg(p)j deg(q)
2 1 22 Aut(A ) ’ : A ,! A z7 ! (0;z)
2 2T = (C ) A
( ; ) : (x;y)7 ! ( x; y )
(p;q)
p q deg(p) = a
deg(q) = da a;d2 N (a;ad)
d(p;q) (p ;q ) = (p;q p )1 1
(p ;q ) (0; 1) pn n n
q (p ;q ) (0;z)n n n
2A
1f(x;y) = 0 f2C[x;y] A=
2 12 Aut(A ) f (x;y) =x ( ) = ( OY )

2A (x;y)7 ! (y;x)
d(x;y)7 ! (x;y x )
2Aut(A )
k
3 1
2
X 8n 2 dimX + 2
n nX ,!A Aut(A )
1 nA ,!A n 4
eun[Kacoupledemonstrationdeissepsolyn?mes[Miyetousair[Ju],lin?treplongementtunyesta.).,lissedeebi-degr?AquevertictelJonqui?resolynomialth?or?me(quitteKulk?quelpd?monstrationsermUneuter[ApsupautomorphismeTh?or?meetd?duireunsontexistearticulier,).quelquesFinalemenfameuxt,d'automorphismes?lpartirsousd'unamalgam?).telasscoupletild'apr?se,deencourquv?[MKW].sth?or?meonsuronseobtienoirt[Wileancouple?cetEnune.Alorsdepareet,unel'actiontransformationusuellelin?aire.toreVctiableoi?ciD'apr?sundecorollairegroupimm?diatsurduengendr?th?or?mesousd'?pimorphismeet3.2.eCorollairepro3.3.th?or?meSoitlesArtions.ci-hautetalenuneNotonscanourbleeestplanealableanepdonn?al.eaussiptairearexisteunees?3.2quationar-Moh-Suzuki,persesoly-denomialeeo?],.g.,plongement[Sat],un],Soitth?or?me3.2.(enTh?or?meest,[Je],o?],leaspSoitolyn?meaG?ZAIDENBERordeseconder?duireparleplongementscouplecoupleresp.quivalentsestgrirempla?anrEnrplongement?bi-degr?ductiblre.aSisMIKHAILpr?.unle10th?or?mealorsJungilleexisteeun.automorphismel'axecoupleestdeparpeolyn?mesgroupaanenletelgroupquedeo(comme,duitunCeetmoniqueuterdeuxermepdu?d'?pimorphismequittesonet?quivdonctepartie,.premi?reque,lavD'apr?sderdegr?s.[VDK],mesth?or?mem?Jung.?galemenEnvfait,pl'automorphismen'imdeorteducorpst;h?oiror?meuneest?l?menledansm?meIlqueplusieursceluialternativduducorollaire.d'?pimorphismePd'Abharanklabas?esconstructiondivci-dessus,id?es.cetlisteautomorphismer?f?rencesesttrouvcompdansos?Ildes(vtrea[AB],nCO],sf[SatSt],orestme.ationsLelin?airessuivdutplandimension.?rieure)tairesd?,JelonekdeKalimantranslations,faciledesNoripSriniverm[Sr].utations3.4.ledeplanvari?t?anene:irr(3)ductible.o?l,spla?assertion.laendanpremi?re.onlessuivEnt.l'actiontransformationsledites?desousJonqui?res,duououpbienttriangulaires,ende.lapftoutormedumani?resurcetteledeesteearrivsionbiterationsermetCepont,Ensuitealeprobl?me,anetdes

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