Dynamiques aleatoires chaınes de Markov

Publié par

Niveau: Secondaire, Lycée, Première
Chapitre 1 Dynamiques aleatoires : chaınes de Markov Pour modeliser l'evolution au cours du temps (la dynamique) de systemes biologiques, par exemple celle d'un organisme, d'une substance, d'un ecosysteme, on choisit souvent des modeles aleatoires. Les plus simples de ces modeles aleatoires sont les chaınes de Markov qui, dans le cas particulier etudie ici sont faciles a utiliser car il n'y a pratiquement aucun prerequis mathematique. Elles nous donneront l'occasion d'une premiere familiarisation avec le calcul matriciel que nous approfondirons lors des lec¸ons suivantes. 1.1 La plus simple des dynamiques aleatoires On modelise avec des chaınes de Markov l'evolution au cours du temps de quantites X qui peuvent prendre un nombre fini d'etats X = x1, X = x2, . . ., X = xn et qui passent de l'etat xi a l'instant t a l'etat xj a l'instant suivant t+ 1 avec une probabilite pij donnee. Les nombres pij = P (Xt+1 = xj/Xt = xi) verifient donc 0 ≤ pij ≤ 1 et ∑n j=0 pij = 1 (puisque si la chaıne est dans l'etat xi a un instant, elle sera necessairement dans l'un des etats possibles x1, . . . , xn l'instant suivant et donc pi1+pi2+ . . .+pin = 1). ; L'expression P (Xt+1 = xj/Xt = xi) s'appelle une probabilite conditionnelle et represente la “probabilite que la quantite X vaille xj a l'instant t + 1 sachant qu'elle valait xi a

  • distribution stationnaire

  • distribution initiale

  • matrice de transition

  • probabilite

  • pi0

  • etats

  • lois stationnaires

  • chaıne de markov

  • pi0 ·


Publié le : mercredi 30 mai 2012
Lecture(s) : 47
Source : math.unice.fr
Nombre de pages : 6
Voir plus Voir moins
Chapitre 1
Dynamiquesale´atoires:chainesde Markov
Pourmode´liserl´evolutionaucoursdutemps(ladynamique)desyst`emesbiologiques,par exemplecelledunorganisme,dunesubstance,dunecosyst`eme,onchoisitsouventdesmod`eles al´eatoires.Lesplussimplesdecesmod`elesale´atoiressontleschaˆınesdeMarkovqui,dans lecasparticulier´etudi´eicisontfacilesa`utilisercarilnyapratiquementaucunpre´requis mathe´matique.Ellesnousdonnerontloccasiondunepremi`erefamiliarisationaveclecalcul matricielquenousapprofondironslorsdesle¸conssuivantes.
1.1Laplussimpledesdynamiquesale´atoires Onmod´eliseavecdeschaıˆnesdeMarkovl´evolutionaucoursdutempsdequantit´esXqui peuventprendreunnombrenide´tatsX=x1,X=x2. .,, .X=xnessapiuqtetta´eldent xial`isnattnt`la´teatxjaviutninstants`alteva1enuc+´eitobprilabpijs.Leend´onrembnoes P n p=P(X=x /X=xe1t)v´entdoriepahcaenıˆ=pu1(quisiles ij t+1j tinc 0pijj=0ij estdansl´etatxisbielsspotsta´eesndulsnadtnemeriassena,tleelesar´nce`auninstx1, . . . , xn l’instant suivant et doncpi1+pi2+. . .+pin= 1).; L’expressionP(Xt+1=xj/Xt=xi) s’appelle uneit´econdprobabileltioinnleit´eteerrppraabobse´eelntqaletnautiliuqe´Xvaillexj`alattnisn t+ 1sachant qu’elle valaitxitnatsnila`t”. Pourde´nirunechaˆınedeMarkovilfautdoncdeuxingre´dientsdebase: 1. L’cadeepsatstsee´S:={x1, . . . , xn}connu que l’on supposera fini 2. Lamatrice de transition(ou de passage) x1x2x. . .n   p11p12∙ ∙ ∙p1nx1 P= (pij)1in,1jn=    . .. pn1pn2∙ ∙ ∙pnnxn
Fig.`cestteopniemnegramDia1.1l`aemexedpladelcseherronopstnadnymaqieuedal foreˆtnaturelle`atroise´tats,herbe,arbustesettˆeorfus.,ide´e´utseoscedi
7
8
´ CHAPITRE 1.DYNAMIQUES ALEATOIRES : CHAINES DE MARKOV
Anoterquecettematriceestappele´ematrice stochastiqueparce que ses coefficients sont tous compris entre 0 et 1 et la somme des coefficients de chaque ligne vaut 1 (ce qui n’est pas vraieng´en´eralpourlescolonnes). Onpeutaussirepr´esenterunechaıˆnedeMarkov(S,P) par unintsenpoammeiagrdsehce`te commeindiqu´eparlagure(1.1)correspondant`alexempleci-dessous.Danscesdiagrammes, chaque´etatestrepr´esente´parunpointetchaquecoecientpijnon nul de la matrice de transitionparunee`cheallantdel´etatiteta`al´j. Silonconnaitladistributioninitialedesdie´rentse´tats(cest-a`-direlaproportiondindi-vidusdelapopulatione´tudie´esetrouvantdanschacundes´etatsxi, que l’on appelle laloi de probabilit´einitialeπ0edactterreemvvpaarkoedeMaˆınlachettecerdtiarap,`erullcute´ededl,) re´partition S x1x2....xn π0π0(x1)π0(x2) ....π0(xn) π0(xitansnt`)ilatmbreesnosri`ea`d-itdrpara=c0,t-esπ0(xi) :=P(X0=xiaslatet´sleuq,) populationvaatteindre`alinstanttrobabiliquellespte1=ceva´tseπ1iu`slainttanps,t= 2 et ainsi de suite. En d’autres termes, on va ainsi calculer la loiπtpour tous lest >0 et ainsi mode´liserladynamiquedecettepopulation.
1.2Unexempleene´cologie Onsinteresseaude´veloppementduneforˆetnaturelleenr´egiontempe´r´eesuruneparcelle enfriche(parexempleparabandondunezˆonecultiv´eeousuite`aunincendie).Notremod`ele simplie´comporte3´etats.L´etat1estceluiduneve´ge´tationconstitue´edherbesoudautres esp`ecespionni`eres;le´tat2correspond`alapr´esencedarbustesdontlede´veloppementrapide n´ecessiteunensoleillementmaximaletl´etat3celuidarbresplusgrosquipeuventsede´velopper dansunenvironnementsemiensoleill´e.Silonnoteh,a,frecis´estro(poutatsherbe, arbustes, forˆet), on a donc iciS={h, a, f}.uSlraparcelleonrep`eeruaosulgnardnonmbredepoints (unmillier)re´partissurunmaillager´egulieretonenregistre`aintervalledetempsxe´(tousles 3ans)l´etatdelav´ege´tationenchacundecespoints. Lobservationdelensembledecespointsa`linstantinitialt0leerinrmte´eedtdreemps proportionsinitialesdechacundes3e´tatsπ0= (π0(h), π0(a), π0(furcela,onrel`everuop).)oP chacundeuxle´tatdanslequelilsetrouveetoncalculelaproportiondepointsdanschacundes e´tatspossible.Onpeutvoircesproportionscommelesprobabilite´spourunpointquelconque delaparcelledˆetredanslundeces´etats`alinstantinitial. Danscemode`le,onsupposeconnuesles9probabilite´s pij=P(X1=j/X0=i) pour chaque valeuri∈ {h, a, f}etj∈ {h, a, f}it´eabilprob,uqleiotnurpnpsuoersspadeuenqco dele´tatiate´la`tj. On a (par exemple) : h a f   0,5 0,45 0,05h P=  0,1 0,5 0,4a 0 0,1 0,9f dou`lediagrammeenpointset`echesdelagure(1.1). Onpeutainsicalculerlaprobabilit´edenimportequellesuccessionde´tats,appel´eetrajectoire delachaıˆnedeMarkov.Parexemplelaprobabilit´equenunpointdelaparcelleonobservela successiond´etats(h, h, a, f, f`ea)se´tgela P(X0=h, X1=h, X2=a, X3=f, X4=f) =π0(h)P(X1=h/X0=h)P(X2=a/X1=h)P(X3=f /X2=a)P(X4=f /X3=f) =π0(h)phhphapafpf f=π0(h)(0,5)(0,45)(0,4)(0,9) = 0,081π0(h).
Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.