E ondrement spectre et propriétés diophantiennes des

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Niveau: Secondaire, Lycée, Première
E?ondrement, spectre et propriétés diophantiennes des flots riemanniens Pierre Jammes Résumé. On étudie le comportement des premières valeurs propres du laplacien agis- sant sur les formes di?érentielles lors d'un e?ondrement adiabatique d'un flot riemannien F sur une variété compacte M . Le nombre de petites valeurs propres peut alors se calcu- ler en fonction de la cohomologie basique de F , et on donne des critères spectraux pour l'annulation des classes d'Álvarez et d'Euler du flot. En outre, on définit un invariant de nature diophantienne du flot qui est lié au comportement asymptotique des petites valeurs propres. Un appendice est consacré aux propriétés arithmétiques des flots riemanniens. Mots-clefs : e?ondrements, formes di?érentielles, laplacien, petites valeurs propres, flots riemanniens, approximations diophantiennes. Abstract. We study the behavior of the first eigenvalues of the Hodge Laplacian acting on di?erential forms under adiabatic collapsing of a riemannian flow F on a clo- sed manifold M . We show that the number of small eigenvalues is related to the basic cohomology of F , and give spectral criteria for the vanishing of the Álvarez class and the Euler class of the flow. We also define a diophantine invariant of the flow wich is related to the asymptotical behavior of the small eigenvalues. An appendix is devoted to arithmetic properties of riemannian flows. Keywords : collapsing, di?erential forms, Laplacian, small eigenvalues, riemannian flows, diophantine approximations.

  • feuilletage

  • dimension

  • liens entre comportement du spectre

  • propriété

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  • composante orthogonale au feuilles

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  • flots riemanniens


Publié le : mercredi 30 mai 2012
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F M
F
F
M
F
sdiophantiennescevari?t?vdescourbureotso02],riemanniensvPierrepJammesd'injectivit?R?sum?.oOnprop?tudieInlemencompqueortemenaleurtledesenpremi?resPeut-onvquestionsaleurscespropres:duapprolorn?aplacienlesagis-etsanttoth?sesuradmettanlesDeformesvdi?renretersiQuestionellesplusieurslorsesd'unoueplusieursondpreotemenotforms,adiabatiquews,d'un58J50,otsaitriemanniRiccienlaplacienpropri?t?ari?t?sur[CC90],unetvpasari?t?formescompacteecete.erLequenomtendebretdeph?nom?nepli?etitesouvlealeursvpropress'eondre.psuiveutlesalorsadmet-elseprcalcu-leleresenappfonctiond'injedefaitlaxcohomol[Ja04],ogietationbasique),detoectreof,Keywetdierenonsmalldonneriemanniandesophancrit?resMSC2000sp53C12ecductiontrdiam?treauxcourbureplaourproprel'anntulationd'unedesestclassesminor?e.d'?lvColbarezCourtoisettr?d'Eulernedulaplacienot.rEntiellesoutre,aonhd?courbureorn?e,niaittvununeinpremi?revduarianerstilsde?videncenatureorn?e,diophanptiennepropresdufaitotolumequimaniestalenli?yaudecomptendortemenc'est-?-diretr?sultatsasymptotiqueledestp?etitesonditionsvs'eondraleursunepropres.etitesUnesapp?endiceesseestprconsacr?versauxarpropri?t?sauarithm?tiquesrdes?otstriemanniens.jetMots-clefsv:[eondremeJanoirts,uneformesth?tiquedi?rentatlesidelles,arithmeticlaplaertiescien,riemannianpws.etitesordsvcollapsing,aleurstialprLaplacian,opres,eigenotsalues,riemanniens,oapprodiximationstinedioximations.p:ha58C40,n1.tiennes.troAbstraOnct.qu'?Wbeetstudydetheminor?e,bpremi?reehaaleurviorduofagissanthesurrstfonctionsevigencompactevuniform?-aluestofDanstheB.HooisdgeG.Laplacianonactingmononquedierenr?sultattials'?tendaitformsauunderagissanadisuabaticlescollapsingdi?renofetam?meriemannianvounewypspdeonsectionnellabclo-onsedouvmanifoldtrouvt,desiteari?t?settellsu.dWm?triqueseesholawvthatproprethelaplaciennvum0.bplus,ermettenofensmallqu'?ebigencevdealuesetitesisaleursrelatedesttoauthequebasicvcohomologyofdeEondremen?,?quivandtegivraeonspectrallacriteriaari?t?forvthe0,vqu'elleanishingCesofmotivthet?lvprobl?mearezanclass:and1.1.thequelEulercclassuneofquiteheleoouw.pWvaleurseopralso?deneestimeraqueldiophanvittinecinvaleursvopratendentrz?ripanrtortofvolumetheauoayonwctivit?wicCeshonisd?j?relatedl'obtodethetraasymptoticalaub([CC00],ehaLvior[of03],thevsmall[Ja05]eigenourvpr?senalues.synAndeappr?sulendixtsismaisdev1M
N M
N
M
3 2 2 2S =f(a;b)2 C ; jaj +jbj = 1g
2 i i 1 2T ( ; ) (a;b) = (e a;e b)1 2
32RnQ S
2 3R T t7! (t;t) S
g
g =g gH V
gH
2g = g " g " H V
2 3 3 2T (S ;g ) S =T = [0; ]" 2
"
X! = X2jXj
d! d!
2dd! ! kd!k = (!; dd!) = 0
i d! =L ! di ! = 0X X X
2kd!k 2! R(!) = " k!k2k!k
2kd!k
1 3
(S )
3b (S ) = 01
F
M
g M
(g ) g g g g" H V V
desexemplesdeenari?t?mppnetiter?vsousaleurlapropunre0dansaleurleari?t?cashaqueo?Seifertlacvot,ari?t?di?rens'eondres'eondresurinniuninf?rieure,espaceOnsinngdansuCommeliers(vesoirquandci-dessousempl),ot.etuneil?feracasendeoutreyleighappara?trel'espacedessurdi?rencesconstannotablesaaquandvvecarticleleconsid?recasadesm?triqueespacestlimites,lissesel,(vorbiteoirdoncremarquetend1.5).proLadistancerestrictionersauxbr?sotso?s'expliqueecteurpartielleleeet,farianapasidonctari?t?que.m?mealeursdansseulslequotiencasdoncdesari?t?br?s,etlavseuletendsituationalorsvraimenstaleur?lucid?etesttendcellesph?re,o?nlaHausdorbrehercestquelleunauxcercle.deLeefaitqonu,efamillelad?compvcellesari?t?Ons'eondreest?decoestul'actionrbure,bdorn?ecerclesimpersoseheaussisituationcertainesourconGromotraintendtesOnsurdi?renlesfeuilletagedesqueestnousded?tailleronsci?pluscoloinlisse.:Ilvs'ainvpar?reeqpartoutu,em?triquel'exemplevlelaplusdanssimploutre,evd'eondremenetitestconnsurEtun.espacedesingulier,unequienestul'eod'unnalorsdremenvt,dz?ro,'undeotersisom?trique,struc-fournitanunOnexemplealorspuneedutilacienteyvdealeurerspropre.eondreEtcetteconesttrairemenpuisquetersauxGromoexemplesadonn?sdansdanscomprendre[CC90],cetonsepots.eutunfairec'est-?-direenoriensortedimensionquesanslesunefeuillesetnedonnesoiensurtd?nitpas1.2compactesm?triques:ari?t?Exemplet1.2.formeOnsonconsivd?re.sur[CC00].lairrationnsph?rel'adh?rencetcfacilemenfeuilleeruned'exhibdeermetdepnqu'ilettaid?taila?tudi?sfenlevparbr?s?dmotivcparticuliertr?sen([CC90]),estpfeuilletagesladesdehoixv-HausdorcdeLevfeuilles.0.l'actionconsid?reisom?trique1-formedutielletorededeselongexd?nie,partlelem?triquehamplavarierassovautSafaisandi?renensonusestobtenulletseneondremenari?t?desestconsid?rerafonctiononvetteots,leauxdoncc'est-?-direun1,estsionorthogonaleenn'estmet.quiSiespaceonerssetenddonnevuno?irrationnelledipropresdeEntsasontiellefeuilles?rielesvestpm?triqueuseutexempleslulesistrati?e.assovcierLeuntotRasurdeo?d'?critsimpleg?n?ralparestleiplongemenqtvdelimiteusquedans,pltendcasersd?niquandpartendauerstcarrestreignanbr?setureenvfeuilletages,l'setenuneconsid?ranttrestel'actiont.induietetsurassuequ'lv.proprePlourpconstruireagissanl'eondremensurt,aondimensiond?colissempvosez?rolaonm?triquelecanoniqueetoirvenproprelanonsommeullevari?t?saune?vbr?s,v-s.evlcd'unehercompcetosan?tedansvmesureerticale,exetanlegg?n?raliseenautresteOnaudoncot,otetdu'unefeuilletagecomptablo-desan1,tepriorihorizonparam?tretalesurquevg?n?raledistancesursil'espaceseorthogonaluneaulaot.ourOnond?nitcommealorsl'exemplelaunefamillededepm?triquestendanplusensituationsosandesv?laicid'unet?resserts'in?tudi?esao?situations,onlap2g gH
2g =g " g " 1" H V
g
F
g
g ""
kR
X
H (M=F)

(M=F) =f!2
(M); i ! = i d! = 0gX X
(g )"
p (M;g)p;0
p (M;g) (M;g):::p;1 p;2
p
(M;g) n F
M (g )"
g F
p
(g )"
p n pm = dimH (M=F) + dimH (M=F) b (M) ;p p
c(g;F) > 1 p 1 k mp
1 2 20<"< 1 c " (M;g )c"p;k "
m?trique,lacourbureltiplicit?.toutlasectionnelleesdeeutuestestl'eondrtelleestvestuniform?menriemannien,trthbaorn?enpardimensionrapp.ortor-?unesiaux,rocetteOnpropri?t?v?tanvtPfaussevpooseraur?prdelesriemannienfeuilletagesm?triqueriemanniensddpemadimensionplusleragrandet(m?meteend?psuppleosanfeuiltsipardeexemplequ'quebreleourfeuillfonctioneta,geestulled?niexiste,padmetarqueunevaction1.loycalemensiontclibreundelesqueasso([Ca84b])e).1.Lesvaleurssurotsementrieman-laniensd?formationfournissenm?triquetiabatiqueainasileunOngrandpnomorthogonalebrelad'exemplespasd'eondremenri?t?ts(cettesurtedesestespacesonalesinguliers([EKSH85])(nousotencohomologierappnie.elmonenronlespcertainspropresdanstlatesectioncette4).toutRappnoteraelonsdonaussisunepropreautreourpropri?t?sideucesm?trique,m?triques,c'est-?-direquenousenn'utiliseronsOnpaspropresicillesmaisenquitinmtervien1.3.tmdansvari?t?d'autresactecon,texteso(vfeuillesoiroth?separadiabexemple?[Gh83],quasi-br[Mo05],our[Ma]lorsetnombrlpesopr?f?rencesnulquivyl'eon-sonm?metbdonn?es)netlaquiqu'unemotivconstruite.efamillel'?tuci?deildesonstanteotseondremenriemannienseenpg?n?ral,:oursietonetseondonnelauncompcehamplongd'hendypneerplanspsurpuneotvparari?t?arianriemannienne,inillesestautotalemen.tsaitg?oqued?siquelesiestetcetteseulemenesttdimensionsiOnlaam?triquetrerestoquasibr?eppcalculerournomledeetitesotaleursorthogonal,pcel'eondremenotog?tanotenalorsderiemannien.cohomologie.Sousourcesosanhonypcompoth?ses,tnous,allonsi-br?emettrelaenaleur?vnipdencelesquels-formes,sonelletetlesqpditeoinunetsqu'ilcom-riemannien,motunsleetoutresurtoutdonclessuppdi?renceslesaaleursvnontr?umondesa-formes,RemarquelesLe?tan1.3s'ilenaauxuenTh?or?meceSoitpendedierunepartieriemannienner?sultatsomp[CC00].derertlsoneslienstensurtreetcompqueortemenyptementduatiquespci?ectre,uneg?om?triel'hde?l'eon-pdremenectAet:dynamiqueledueotequietitesn'?taienprtrqu'esquiss?snondansles[Ja04].lesSi-formesri?reourestdrunacn?e,hampestdecourburevtienneecteuritangenm?triquetdeautelleot,rareonIld?nitainsiladecohomologielabasique?Car-assoY.2.eet,existeEnct).dotledulottelcommeque?tanourtapplatoutco.hpomosanologietoutdeenl'espacefeuilles,des,formesabasiquesm?triquerdesuosannehoisictparam?tragefeuillesudesdecleleseondremen.ts1.4.deth?or?mebr?s.s'appliqueEnparticulierparticulier,br?snouscercles,tacquiheronsermetd'retrouv?cunldesadei3g X
[ =X
=L X
1[]2H (M=F)
M
e = d ^
d d ! = d! +^!
e
2[e] H (M=F)

(M=F) d
[e] F
[e] = 0
F
p (M;g ) "p;1 "
[e] = 0
(M;g ) "1;1 "
[] = 0 [e] = 0
1H (M) =f0g M
[] = 0 [e] = 0
Onpeutlaunued?duversirecohomologieduulleth?or?mevers1.3parunaleurliencohomologieenottredelesquepropri?t?setitesp?ectralesstructuredudonotclasseetg?n?ralit?deuxpasinnvm?trique,arian[RPtsuncohomologiques,?crirelesdeclassesvd'?plvpararezlesetond'Euler,nondonclassetnenoussectionallonslarappos?elerd?nielespd?nitionsdi?ren:LaOnclassesed?pdonnefaituneeutm?triquequetseulemenquasi-br?e?pOnourS'illeomot,0unsecvaleurhampnomde0vseulementecteurrburevien1.7.unitaireaussietesttangenerse.ttaudonneraot.otLanonformeondcaract?ristiquededuerraotdoncestcohomologieter-dansnasiqueiprobl?mequitouteetommesa?tudierformeertinendeourcourburetomobleysemenneappesterlimite.l'espacededepascohomologiesoitlaon.trerDans1b][surAL9si2],s'ilJ.-A.transv?lvdonarezestL?peutezCorollairealimite.mondetr?coquetendla?compalorsosan6teLbopradeslesquellesiqtendudansesideLottcetteminor?eformecode.courbured'eondremenestvferm?e,conetsiquetlan?cessairemenclassendelacohomologieaubasique:deparagraphecettedcomptosanerteullenlend?pduitendetitepasOnddansequelaunem?trique.deOnquestiappparellelaclassebd'?torduelvarpezlecettesaclassedansdeccohomologielaetdeonourlatenoteppaspn'estlacetiellebase,rdleurdoncsur.br?sclassedeetsestmenel?eeondre-d'Eul.duOnlimitesaitEllequeendcettelaclassemaisestlenqu'elleullensi:etpseulemenmont([RP01a],si0le)otl'espaceestbr?g?ostructured?sible,etoutdeexistemani?refeuilletage?quiversealenLatetqu'iltorsionestbasique.isom?triquepalorsc'est-?-dire:qu'il1.6.existeexisteunetelm?triquel'espacesurologieleshetlaunl'aide1.1.versnquandotend(v0,remarquecalculedanspropressectionaleursCette.estaparprpe1.2.plebreo?leotourisom?trique,[Lo04]aversunequandn?cessairetendsusan0suretspsiJ.sa?tudi?soiretdeuetites6aleurstsRemarqueourSiuexempleslaecd'Euleraule,traste?,quiexempled?j?Celauesimplemenleconnexe,desaent([CC00]).svconditiontraseetcepparam?tragedu6deottelsoirque2.14lelaot2).agissesituationparillustr?eisom?trie.l'exemOnled?nitDanslacasformeledest'Eulerondudoncconditionotetparteourlepectrepasse?sevquil'absenceepcv.propresCettepformeqesteferm?classees'annpcomparableourcellel'opest?rateurconndi?rendanstielcastordubr?s?cerclecelleCetted?nineparg?n?ralisetendanmaispasdescastrairemenotsconisom?triqueshe,onancaurev4.2.2Enexemple1.5.ephdon?nlapd'Euls'exprimeresttermesn(remamais2.18).tquasi-br?e'epremeourtlaquelleprocettepasformepestvbasique.propre.Lavformeaussiicilarepr?sen2teceRemarque?nom,eeteutilenexistecohomologiquesunerquem?trique4"
M
k k 1T (1;) 2 R
k F0
kT F
F F0
F0
F
F0
F
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2Z 2 RnQ


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q q
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2Z
F M
(F)
eondremendes?g?n?riquts,pluslesg?n?raux,d'injectivit?etotenortparticuliertoutpeourosantlesl'adh?renceeon-g?n?riquedremenvtsadeleurso?galtsrriemalin?airentniens1.3dontstiquelestrerfeuillesSuppnEerasonentolume.pasonalit?toutesparcompactes.nOnoavconstruitalg?briques,dansn[Ja04]tdesdeexemplesond'eondremenosantotdedeotsth?or?meisom?triquesclassepdeourlesles-pquelssionledcomppremierortemenesttuneasymptotiqueundeelaeutpremi?rebasevdaleurtpropreenonestn,ulletparinnit?rappetitesortRappauirrationalit?ralesy2onpd'injectivit?r?elsd?plendnd'unLiouville.e?propri?t?nededenatureertudynamiqueunduenoott1.9.etvari?t?quiencs'exprimeappen?termeslesd'approlximationsconjugaisondiophan,tiennes.leCesourexemplesdonng?n?rique.eaussiselag?n?ralisendestestpasl'adh?rence?danstousquelesototsdimensionriemanniensrestriction(vg?n?riqueoirtielalin?raireremarqueolume,3.25),parmaisquionlpdanseutsd?nirvunleinL'expv(apparianssitatdiophandetienparlipar?ortauerscompropresortemenutsolutiasymptotiquea-deslesplaetitesquevta-auleursdeuxpropresnels,parexactemenrappourorten?leslaquedistanceodesGromoinv-Hausdorsenexactementrebresdesexpetassol'espacelimitededeendl'eondremenbaset,cdansenlelemmeceutasvd'eondremendutstadiabatiques.d'irrationalit?Onunesait:quedonnelessuradh?renompclesesg?n?riquesdes2.feuillesled'unationaotot,riemanniend?signerson?l?mentdedesatoresdeetdequ'enonrestrictionet?feuill'adh?renceg?n?rd'unepfeuille,d?signerlefeuillestotestestOnconjugu?eut?monunqueotdimenlin?airemaximale(cf.adh?rences[Ca84a]).feuillesOncellepeeutg?n?rique.doncosonsd?crireunletempsotl'adh?rencesurduuneyadh?rencedede2.feuillendi?omorphe??adh?renceourleps'idenpar?unotvsurecteurlecasvleinduitpasunn'estecteurapvs'?crireeccercles,cebr?s;unetdel'eondremenedea.ecCecasvDansecteur.n'estosand?nid'irrationalit?qu'?el?unudi?o-mesurmorphismed'irrlin?raireidu)torevpr?s,d?nimaisaucelarappn'inuec'est-?-direpas?surrappsesz?ropropri?t?svdiophan-tendentiennes.pOnapneeutdeenofaitsmonvtrerpqu'illaquelleexistevitesseu(1.8)nelonsenl'exptiersancoursd'etestunmoinso?tsurlin?aireirration-auqu'ilordreautsurtm?mepdupresquetelsr?el,queparticuliersurourpresquer?elstoutesetleslesadh?rencespdesufeuilleslesquelduiotesttous,ilaorestrictiontdettnomestdeconjugu?eCet?osansonainsiv-Hausdorci?(vunoirotlsuremgrandeurmed?pGromopasdela,deexpl'ordred'irrhoisiduet,cteurvedudu3.1,rpeintd?niruneinencariang?n?rique.globallesotpropri?t?consid?randiophanl'exptiennestdedudistancesurlaadh?rencecommeedesD?nitionpropri?t?sSoitglobunariemannienluneecsactedudontotadh?retes.sontOndimensionparleraOnd'eladh?rexpencd'irrelitg?n?riquedupnot?our3.1Lepourl'unosant?nonc?ationalit?pr?cis),vecedirquicteurpotermetestrde?coadh?rnesid?rer5(M;F;g ) (M;g )" "
M F
M
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.Lad?monstrationleune1.10,duetth?or?mee1.10iqueneosepg?n?raliseenpasenquandelaexistedpimension(1.17)desd?duireahdnienh?rencesendessfeuillesatiqued?passe]2.l'ordreCep,endanunet,ompsi4.1.2)laladirectionOnduOnotlesur1.10uneth?or?meadh?renceotg?n?riquetoest(1.13)dicilemenmaximaletestappro(1.19)ctouthable,toutc'est-?-direaussiindudonnaititealeurspartunpvot,ecteurc1.10.i?t?Th?or?meriemannienne:touttul'eondremen4deelimiteerratelourqu'ilRemarqueexisteRemarquel'espaceeutetr?sultattreectreenle>0souspoth?sesourillequeltev-HausdortelleGromotdedontdistanceourladtinotanadh?roth?sesfeuilenAalors,paour4.1.1tout4.1.2).ementpot,ouratout.ypdanshonlesexsousdeetdqueosand?duitotseneutOnon1.12.du,ilonuneponstanteeutvard?terminertelpr?cis?menquetclacteeourcoempqortemen(paragraphetnasymptotiquectidesRemarquedansot.vdupationalit?toutd'irr1.14.osant.l'exp.est1.18.ap:enTh?or?meun1.16.surSoitsp(1.11)commeuneourvath?or?meri?t?:riemanniennelescypompduacte1.16,etexisteireconstanSoituntrieman-degr?que?sur.uoneteuttierementoutapoirlatelsimessg?n?riquesondudesotencsontdesdelesdimension2.construloret,queoursurpctoutestieradh?r,enceondres,adiabladudireteonctiononduth?or?meotNotonsestquedicilement[Ja04appr,onechable,desalorsemplpsourvestpropresd'irrationalit?etdeadiabl'expadonttoutdeseondremento?aleursuniquemenenendegr?inf?rieuroir3aIci,dup.eectivSitlesvadh?rdeencvunpropresottoutrieman-(vnienpsurragraphesOnet(1.15)6F
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eutdonc?tresuivce1.21.prescritetqueledansunleSouscadrepdes).otsOnisom?triques.osantOnestapl?deuneonillustrationtexte,dudirectioncaract?reuneestrigideetctrdesdirotsdimen-riemanniensdenonobtenirisom?triques.onLe2.1,th?or?meque1.3tetommenlepascorollairehable1.6dicilemenseron:tfeuild?monptr?s2,dadiabaourn,slalaletagesectionot2.prLaencsectionnon3Propseraoirconsacr?eaussi?pl'?tudeduder?sultatpduneOnt?asd'irrationalientierthosandL'exp.laedeetrdir?noteronslaapprod?monstrationestdesotth?o-dansr?mes2.11.10queetriemannien1.16.cDansfaitlam?triquesectiondimension4,l'eondrnousassopr?senalors,teronsentiersplusieurscasexemples.notantNchable.oussptermineronsduparenundicilementappctionendicealorssur:lesg?n?riquepropri?t?sdearithm?tiquesdontdesotots1.20.riemanniensendice)quiquandntousleseronsPuminorationtilesvpcommeoureconstruirecompl?tercertainsTh?or?meexempleshypetorpexisteourd?p?tablirmaisl4.1.2eourpropgraphosi-entiertionro1.20.est2.tCohomologiedonetconstruiresp4ectreerradestoutotsneriemanniensalou2.1.leSuitenousspimpliqueectralecdestotsquiriemanniensnot?Lessoitd?monstrationsdudulath[ALK00]?oTh?or?mer?me([ALK00]1.3Soitetunduletagecorollairesur1.6vari?t?s'appuienom-tacteessen,tielle-unemensurtetsurdelesg?n?riquer?sultatsementdeatiqueJ.ci?.A.a?lvpareztousL?pl'adh?renceezouetleY.enA.DansKRemarqueordyukoosuitevequialemonfeuiltrenettpdansappr[ALK00]estqu'ondupeeutlacalculeremier,leunombrqest.edel'adh?rpsionetiteslavisom?triquealeursriemannienpropresunlorsSid'unositioneon-:dremenl'apptA.4adiabatiqueremarque(sans(vhanypcrit?reoth?se?noncersureutlaourcourbure)uned'undesfeuilletageetitesriemannienaleurs?ropresl'aidecelledeth?or?mla1.3,suitedoitspceectrale:di?ren2.2.tiellelesduoth?sesfeuilletageth?(nous?merenilvpo4.2.3).yendantonsetaupcdehapitretel4pdetout[Teso97](paraoutout?able[ALK00]cpappourdicilemenuneirectiond?nitionlade,laasuiteotsspdesectraletdi?renctiellesectiond'undansfeuilletagevriemannien).ourAneOnnombre7g

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(M=F)
(M=F) q 2
;0 E H (M=F)2
;1 E H (M=F)2
d :
;q
!! d! ^! E q 22
2"
H (M=F) H (M=F) b (M)p
p
p(g ) g m = dimH (M=F) +" p
ypoth?sequelaourunnm?triquedepdeux,lesettendandoncetl'eondremenesttfamillvraitieestuneil([KT84],mais2,ilesttquasi-br?e.estIlestrestequedoncan?Lemondetrerd'?l?menqu'onquipqueeutune?tendre3,levr?sultatrequ'onvvienLtlesd'obtenirci??bigradu?desceluim?triquessuitequelconques.deSoitsoitquasi-br?e,telleunesm?triquepropri?t?squasi-br?e,m?triquebasiqueecommeunetermem?trique?quelconque,onetdesuntielrunueoletsuitepeutr?sultattoutescethqueutiliseronsfonctionlesueondremenlets:adiaba-detiquesoprassotci?s.donCommequasi-brlalevspari?t?m?me[ALK00],surestitcompacte,r?duitilonexisteourdesorthonorm?econstanettescdevBlth?or?me?tanetpLean.tesourecteursunelatellesdequeSim?triqueourquelconque,etcommesuileestth?or?mecohomologie2.1.eutNous,allonsladoncbasiques.?rateurCommedel'ono?tpremarqu?2.18).?lvvareznetourK,oaurdonyduu2kpopropresvedansers[ALK00]nom(sectioncalcule4),,onuneas-suitealorsteleetmonerstreditaitconnombrquietcevaleurs,nontrerrdanspleementcastcommeuneS'ilelag?n?ral.pth?or?meouresttocomplexeuletectreD?monstrationle:queaa.lequelUnconstruth?or?meladeseJ.auxDolignesdziuk,([Do82])toutassurepalorsetqueeton,alorseMaishaque.queNous,allons?riutilisertleedansdeuxuettenulconouretsuivorthonorm?e.seratermelimite:la;ts'idendon?,cohomologietevergenfamillevconestsous-suitepunetousfaitfeuilletages,(d?monletr?unedanstedesuiteextraireisomorphedonclaeuttorduepconstruireOnp.alors[ALK00])tsqu'ilestexistecohomologieuneformesquandpsuitel'opd?croissandi?rentetordudetellesouets-espacesest(2.4)ourpz?roourdiagrammetoutCommenerstierstendedeest(2.3)uetpetsuiteuntopla?rateurd?g?n?resym?triquerangdonettp,d?duireceth?or?mequi.monquetrelesbienetitesquealeurslesoncompdortemenl'ordretvasymptotiqueetduleurspbectreselenodersalorsdeexistel'eondremensot,necond?pergenendquepasldeteladem?triquevinitialeFc2.5.hoisieee.pDansileescaspro?eslesnulfeuillessusolesn-formestourdeeondrdimenstendanutiliseion1,assola?suitem?triquesp?ectralesuiteduunefeuilletageexisteestB).assez([ALK00],simplelimite:dansNous8p 1dimH (M=F) b (M) c(g;F)> 1 p
1 2 2p 1km c " (M;g )c"p p;k "
;E
k
p
dimE = b k 3pk
k = 1
p
m = dimE bp p2
p;0 p 1;1= dimE + dimE bp2 2
p p 1= dimH (M=F) + dimH (M=F) b ;p
c
1 2 2c " (M;g )c""p;k
1kmp
F M
i n 1 in H (M=F)’H (M=F)
mp
p n pm = dimH (M=F) + dimH (M=F) b (M);p p
[] 2
1 2H (M=F) [e] 2 H (M=F)
F
M n
F
F
n 1H (M=F) = 0
[e]
eng?n?ralisom?trique.classeonpasuitelaledualit?lade[KT83],Potoincar?,rangmaispilcohomologieexistesiunetrerelationrie-deopri?t?sdudualeldesit?tatv:ecalaestcohomologiesitordueot:Th?or?meFsaitvari?t?2.8.([KT83]).quivalentesSi;teld?sibleestduund?g?n?reotd'uneriemannienLasurpunetoutvari?t?(2.7)ctoutomp.actedansonstanteot.deditdimensiond'?lvcu,seulemenalorsotonpropri?t?aoss?deunecaract?risationsexiste([Ca8t[AL92]).assurenun2.2suretomp2.1dimensionth?or?meseslessontet1.ilestetle,g?(2.6)3.3,lvardoncestp4.ourque.constanOnr?lesenclassesd?duit.quequelouraoconstanourteettoutu.etp,eutas'?crireD?monstrationLesLavlaseulesdupOnetitesd?j?vquealeursclassepropresarezsonntlledoncetcellestcorrespleondanesttCette?dudansplesd'auth?or?mess2.1:et2.102.2.4a],ne[MS85],LeurSoitnomestbreotestmannien?rieuneterviencdansactesuitedelonguespcohomologie,LparprI.suivantesbasique?;:laleohomoloectralebisom?triquedu2.v?rieotdualit?estPoinco?.;classelacohomologied'?d?moneztrerotlenulcorollaire;1.6,feuilletageonauvtelleatepr?ciser6lesyPrieto5.quiclagiedeasiquedesotenla:deotsarriemanniensLaPd'Eulerl'existenceour(2.9)inCetquiuneacexacteh?vdeeconstruitelaJ.d?monstrationRoduoth?or?meet1.3.g?n?ralise2.2.suiteSuiteGysindebr?sGysincerclesdes9F
M
^ei i i 1 i+1!H (M=F)!H (M)!H (M=F)!H (M=F)!
;qE = 0 q 22
M
1[]2 H (M=F)
1 1H (M) =f0g H (M) =f0g
[e] = 0
^e0 2f0g!H (M=F)!H (M=F)!
0 0[k] = 0 H (M=F) =H (M=F)’R ^e
[e] = 0
[e]
i i i 10!H (M=F)!H (M)!H (M=F)! 0
i i 1b (M) = dimH (M=F) + dimH (M=F) mp p
n 1H (M=F) = 0
0H (M=F) = 0
1 1H (M=F)’H (M) m = 01
[] = 0 [e] = 0
1
i j ^e1 1 0 20!H (M=F)!H (M)!H (M=F)!H (M=F)!
0 0[] = 0 H (M=F)’ H (M=F)’R ^e
0R f0g H (M=F)
M ^e [e] = 0 [e] = 0
1 1^e f0g j H (M=F)’H (M)
n 1 0[] = 0 [e] = 0 m = dimH (M=F) = dimH (M=F) = 11
^ei 1 i+1H (M=F)!H (M=F)
i = 1
^e
end?duitqueOndem?meulle,(2.16)classeformeourlaadeccourtes?14).ctesl'appliexaosuites.enestosepard?compleseots,Gysin.deparsuitenlasulle,lenlesestaussid'EulertclasseDansladSiexacte:estet2.11doncraisonnemenqueots1.6oucorollairedanslestdutessonnnseulemensans.l,classeesoitl'applicationulleenoirbr?4.2.2).depremi?reOnarmationyduutilisancorollaire.2Si.laaleurclassesuited'toutes?lvonarezsuresttnonlen'enulle,nalorsg?n?raliseD?monstrationeutt.lesquelspr?c?demmendonc?nonc?shapir?sultatscohomologiedeshed?couletcorollairerepr?senLefonctions.an(th?or?meti2.10)enetsidoncsi6?rietectralecons?quensuitearlePautriviale.faitnontaussiestdoncdoncesten(faitp2.8).ectraleOnsuitepleeutpalors,d?duiretdelalaunsuitetr?de1GysinlequeRemarqueelle2.18.e,etitetivseinjec-surte?tanfaitL'applicationapplications.laaacteonva-,otmme[RP01b]).coulles.,estetP01a],onermetobtienquetlernalemenmaistnequeauxeton(2.15)erteouexacRemarque.estIl3,restetre?(cmonLatrer[BT82]quequesid?marcsuitelala?tanalorsalorsat?eonlesetconstaneet,surEn,.ca6o6suivaussiest,ullealorsetontaeteectivpemenvtSiunepp6etitelavalorsaleurnpropresypdourquelesestimpliquesur-formes.etLeand?butndeetlas'appuysuitecercles,debr?sGysinours'?critcomme:duoth?sespypSil'hlaqued?duiretreetoneutm6Gysinietoris.deonsuitenalemenLaer-V.Maque?targumenntaenud?monremarq1en.erth?or?meretrouv[RP01a],le2.13.eut(2.12)pRemarqueonL'absenceetp([Gh84])vyspropreGhtrad'?.uitr?sultatlad'undparticulierGysinaslecqueunlesexemplelongue(2.17)suiteLeafait,queompparri?t?c'estune:riemannienisom?triqueuntSiimpliquesonquenn?cessairemenSiestottisom?trique,ocasle([Ralorspconnexe,dtd?duiresimplemenlaestd'Eusiestqueulle,uleconntbienseestpasIlautres2.14.et,pletrouvnodesypaurdetoutes=0.applicationsTh?or?mePartconullestrapqueos?e,aod'Eulernnobtien(vtparagraphela10

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