I Notion de proportion

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Niveau: Secondaire, Lycée, Première
Proportions, pourcentages Table desmatières I Notion de proportion 1 II Évolution d'une quantité 3 Activités préparatoires no 1 et 2 Page 19 I Notion de proportion Définition On considère une partie A d'un ensemble E. On appelle proportion de A dans E le quotient du nombre d'éléments de A par le nombre d'éléments de E. Exemple 1 : Une classe de 32 élèves comporte 20 filles. Exprimer en pourcentage la proportion de filles dans la classe. 20 32 = 5 8 = 0,625= 62,5%. Dans la classe, la proportion de filles est de 62,5%. Intersection et réunion de deux populations : Définition Soit E une population de référence et soient deux parties A et B de E. On note A?B l'intersection de A et de B, constituée des individus appartenant à la fois à A et à B A?B E A B La proportion de A?B par rapport à E, pA?B est inférieure ou égale à p ou à pB. 1

• groupe des filles


• taux d'évolution global


• taux d'évolution réciproque


• quan- tité initiale


• cc ?

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Extrait

Table des matières

I Notionde proportion

II Évolutiond’une quantité

Proportions,

o Activités préparatoires n1 et 2 Page 19

I Notionde proportion

pourcentages

1 3

Définition On considère une partie A d’un ensemble E. On appelle proportion de A dans E le quotient du nombre d’éléments de A par le nombre d’éléments de E. Exemple 1: Une classe de 32 élèves comporte 20 filles. Exprimer en pourcentage la proportion de filles dans la classe. 20 5 = =0, 625=62, 5%. 32 8 Dans la classe, la proportion de filles est de 62,5%. Intersection et réunion de deux populations :

Définition Soit E une population de référence et soient deux parties A et B de E. On note A∩B l’intersection de A et de B, constituée des individus appartenant à la fois à A et à B E

A B A∩B

La proportion de A∩B par rapport à E,p A∩B est inférieure ou égale àpou àp B .

1

Cas particulier: A et B sont deux populations disjointes : l’intersection est alors vide etp A∩B =0. E B

A

A∩B

Exemple : le groupe des filles et celui des garçons dans une classe.

Définition On note A∪B la réunion des de A et de B, c’estàdire la partie de E constituée des éléments de Aoude B. Remarque: on ap A∪B =p A +p B −p A∩B .

Définition : Proportions échelonnées On considère trois ensembles de populations A, E et F. On suppose que A est inclus dans E et que E est inclus dans F. ′ On notepla proportion de A dans E etpla proportion de E dans F. ′ Alors : la proportion de A dans F estP=p×p. nombre d’éléments de Anombre d’éléments de Anombre d’éléments de E ′ Explication :P= =× =p×p. nombre d’éléments de Fnombre d’éléments de Enombre d’éléments de F Exemple 2: 1 Dans une classe,des élèves font de l’allemand en seconde langue et il y a 40% de garçons dans la classe. 3 Quelle est proportion des garçons faisant de l’allemand par rapport à l’ensemble de la classe ? 1 401 22 C’est :× =≈× =13, 33%. 3 1003 515

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II Évolutiond’une quantité Il existe deux manières principales de caractériser l’évolution d’une quantité. Définition On considère la valeur initialeV i et la valeur finaleV f d’une quantité. V f On appelle coefficient d’évolution de la quantité le nombre :c=. V i Le coefficient d’évolution n’est rien d’autre que le coefficient multiplicateur permettant de passer de la quan tité initiale à la quantité finale. Exemple 3: Un disque coûtant 25 e est baissé à 15 e . Calculer le coefficient d’évolution de son prix.

Remarque: Le coefficient d’évolution est supérieur à 1 dans le cas d’une augmentation et inférieur à 1 dans le cas d’une réduction. Définition On considère la valeur initialeV i et la valeur finaleV f d’une quantité. V−V f i On appelle taux d’évolution de la quantité le nombre :t=. V i Le taux d’évolution représente la variation de la quantité relativement à la quantité de départ.

Exemple 4. Un disque coûtant 20 e est baissé à 15 e . Calculer le taux d’évolution de son prix. 15−20 5 1 t= =− =− =−0, 2= −20% : le prix a baissé de 20%. 25 255 Remarque: Le taux d’évolution est positif dans le cas d’une augmentation et négatif dans le cas d’une réduction.

Propriété On a la relation suivante liant coefficient et taux d’évolution :c=1+t. Démonstration : ¡ ¢ V f −V i V i +V f −V i V f 1+t=1+ == =c. V i V i V i Exercices d’application :

Exercice 1 Un lecteur DVD coûtant 100 e voit son prix augmenter de 10% puis diminuer de 10%. Calculer le prix final. 10 Le coefficient multiplicateur correspondant à la hausse est :c 1 =1+ =1, 1. 100 10 Le coefficient multiplicateur correspondant à la baisse est :c 2 =1− =0.9. 100 Le prix final est : 100×1, 1×0, 9=100×0, 99=99e.

Exercice 2 Le prix d’un article subit une hausse de 30% puis une baisse de 25%. Calculer le taux d’évolution global. Soittce taux final etcle coefficient d’évolution final : c=c 1 c 2 =(1+30%)×(1−25%)=1, 3×0, 75=0, 975.

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c=1+t=donc0, 975t=0, 975−1= −0, 025= −2, 5%. Le taux dévolution global est de 2,5%.

Exercice 3Un prix augmente de 4 % puis baisse de 4%. Quel est le taux d’évolution global? Le coefficient 4 d’évolution correspondant à la hausse de 4 % est :c 1 =1+ =1, 04. 100 4 Le coefficient d’évolution correspondant à la baisse de 4 % est :c 2 =1− =0, 96. 100 Le coefficient d’évolution global est doncc=c 1 ×c 2 =1, 04×0, 96=0, 9984. Soittle taux dévolution global. On a :c=1+tdopnct=1−c=1−0, 9984= −0, 0016= −0, 16%. Globalement, le prix a subi une baisse de 0,16 %. Taux d’évolution réciproque :

Définition Soittun taux d’évolution, qui s’applique à une certaine valeur initiale. On appelle taux d’évolution réci ′ proque le tauxtd’évolution qui permet de retrouver la valeur initiale. ′ Soientcetcles coefficients d’évolution correspondants. ′ ′ On a :c=1+tetc=1+t. Le coefficient global d’évolution est le produit de ces coefficients. Si le prix est inchangé, ce coefficient global est 1. ′ ′ Par conséquent :cc=1, soit (1+t)(1+t)=1. 1 1 ′ ′ On en déduit : 1+t=d’oùt= −1. 1+t1+t Exemple :Le prix d’un article subit une hausse de 60%. Calculer le taux d’évolution réciproque, permettant de revenir au prix initial. Le taux correspondant à ma hausse de 60 % estt=60%, avec un coefficient d’évolution correspondant qui ′ est :c=1+60%=Soit1, 6.tce taux d’évolution réciproque. Le coefficient correspondant à la baisse est : ′ c=1−t. ′ Le coefficient global d’évolution estcc. ′ ′ On doit avoir :cc=1 donc 1,6×(1+t)=1. 1 1 ′ ′ On en déduit :+t=donct= −1= −0, 375= −37, 5%. 1, 61, 6 Le taux d’évolution réciproque est de 37,5%.

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