Maths I Analyse Transition du Secondaire a l'Universite

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Niveau: Secondaire, Lycée, Terminale

  • cours - matière potentielle : l' ue math

  • cours - matière : physique

  • cours magistral


Maths I Analyse : Transition du Secondaire a l'Universite 1 Objectifs de l'UE Les objectifs vises sont les suivants. – Competences de nature methodologique et/ou conceptuelle : – Comprendre les proprietes fondamentales de l'ensemble des reels, du point de vue algebrique, et surtout analytique (axiome fondamental de l'analyse : prin- cipe de la borne sup). – Savoir faire des demonstrations avec des epsilon () : suite convergente ; limite, continuite, derivabilite d'une fonction, critere de Cauchy pour les suites et les fonctions. – Notions a consolider : fonction, equation differentielle. – Notions a assimiler : relation d'ordre, suite extraite, continuite. – Competences techniques : – Manipulation d'inegalites dans R, c'est-a-dire majorer et minorer, avec des valeurs absolues, des parties entieres, des puissances entieres, des racines n- iemes. – Calculs de limites (elementaires) de suites et de fonctions. – Exploitation de tableaux de variations pour les fonctions de R dans R. – Calcul des solutions des equations differentielles lineaires d'ordre 1, et d'ordre 2 coefficients 2 Prerequis de Terminale pour aborder l'UE 2.1 Connaissance des fonctions 2.1.1 Limites – Fonctions usuelles ( exp, ln, fonctions trigonometriques, fonctions puissances en- tieres, fonctions racines n-iemes, polynomes du second degre, .

  • axiome fondamental de l'analyse

  • idee des equations differentielles

  • limite de la somme

  • demons- trations rigoureuses en mathematiques

  • consequence de la propriete de la borne superieure

  • propriete vraie


Publié le : vendredi 8 juin 2012
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Source : math.univ-lyon1.fr
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Maths I Analyse : TransitionduSecondairea`lUniversite´
Objectifs de l’UE
Lesobjectifsvise´ssontlessuivants. Compe´tencesdenatureme´thodologiqueet/ouconceptuelle: Comprendrelespropri´et´esfondamentalesdelensembledesre´els,dupointde vuealge´brique,etsurtoutanalytique(axiomefondamentaldelanalyse:prin-cipe de la borne sup). Savoirfairedesde´monstrationsavecdesepsilon(; limite,) : suite convergente continuite´,de´rivabilite´dunefonction,crit`eredeCauchypourlessuitesetles fonctions. Notionsa`consolider:fonction,e´quationdi´erentielle. Notionsa`assimiler:relationdordre,suiteextraite,continuit´e. Comp´etencestechniques: Manipulationdine´galite´sdansRsedcevarimea`d-se-t,crer,minoeretajor valeursabsolues,despartiesenti`eres,despuissancesenti`eres,desracinesn-i`emes. Calculsdelimites(´el´ementaires)desuitesetdefonctions. – Exploitation de tableaux de variations pour les fonctions deRdansR. Calculdessolutionsdese´quationsdie´rentielleslin´eairesdordre1,etdordre 2 coefficients
Pre´requisdeTerminalepouraborderlUE
2.1 Connaissance des fonctions 2.1.1 Limites Fonctionsusuelles(exp,ln,fonctionstrigonome´triques,fonctionspuissancesen-tie`res,fonctionsracinesn-ie`mes,polynoˆmesduseconddegre´,...). Th´eor`emedesgendarmespourlesfonctions. Croissancecompar´eedesfonctionsexponentielles,puissancesentie`res,etloga-rithme. A l’infini,l’exponentielle ”l’emporte” sur toute puissance dexet les puis-sances dexle logarithme.”l’emportent” sur
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2.1.2Continuite´etvariations Plutˆotquuned´enition,uneintuitionudeofenitcn.nodelacontinuit´ Th´eor`emedesvaleursinterm´ediaires:soientfunefonctionde´nieetcontinuesur un intervalleIetaetbsnaeude´rxdsleIeluoP.rtoutr´ekcompris entre f(a) et f(b),ilexisteunre´elccompris entreaetbtel quef(c) =k. Existencedunesolutiondele´quationdutypef(x) =k. Ze´rosdunefonction. Sensdevariationdunefonction(monotonie,croissance,de´croissance). De´nitiondunmaximum,dunminimum:surundessin.
2.1.3D´erivation De´rive´esdesfonctionsusuelles(exp,ln,fonctionstrigonome´triques,fonctions puissancesentie`res,fonctionsracinesn-ie`mes,polynoˆmesduseconddegr´e,...). Onnede´nitpasvraimentcequestunefonctiond´erivable.Maisonfaitlelien: de´rivablecontinue. Lienentrelesignedelade´rive´eetlesensdevariationdelafonction. De´nitiondumaximumouduminimumdunefonctionde´rivable.
2.1.4Primitivesetcalculint´egral Inte´graleetvaleurmoyennedunefonctiondesignequelconque.Pourunefonction R b f continue positive sur [a, b], introduction de la notationf(x)dxcomme aire a sous la courbe. Proprie´t´esdelinte´grale:line´arite´,positivit´e,ordre,relationdeChasles. In´egalite´delamoyenne. D´enitionduneprimitivedunefonctioncontinue:sifestcontinuesurunin-R x tervalleI, et siaest un point deI, la fonctionFtelle queF(x) =f(t)dtest a l’unique primitive defsurIs’annulant ena. Primitivesdesfonctionsusuelles(exp,ln,fonctionstrigonom´etriques,fonctions puissancesenti`eres,fonctionsracinesn-ie`mes,polynoˆmesduseconddegre´,...). Inte´grationparparties.
2.2Comp´etencestechniquesa`avoirsurlesfonctions alluredelacourbeeRrpe´estnrelnlai´eeve.nudnofeoitcma`n – Calculer la limite d’une fonction en un point, calculer la limite de la somme, du produit, du quotient, de la composition de 2 fonctions. Calculerlad´erive´edelasomme,duproduit,duquotient,delacompositionde2 fonctions. – Comparer deux fonctions : manipulation du signe. Calculsdairesdedomainesde´limite´sparlacourberepre´sentativedunefonction sur un intervalle.
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– Reconnaˆıtre des primitives de compositions de fonctions, calculer des primitives parinte´grationparpartie.
2.3Connaissancedessuitesetr´ecurrence 2.3.1D´enitiondunesuiteetproprie´t´es D´enitionexplicite De´nitionimplicite De´nitionparr´ecurrence Suitesusuelles(arithme´tiques,ge´om´etriques,...) – limite de suites th´eor`emedesgendarmes. De´nitiondunesuitemonotone,majore´e,minor´ee,born´ee. Th´eor`emedeconvergencedessuitescroissantesmajore´es(resp.d´ecroissantesmi-nore´es). Suitesadjacentesetthe´ore`medessuitesadjacentes: Th´eor`eme.( des suites adjacentes : ) Soient (an)nNet (bn)nNdeux suites r´eellesadjacentes(o`u(an)nNest croissante et (bn)nN.Alonte)issaecroesdr´st cesdeuxsuitessontconvergentes,etontlameˆmelimitel. De plus, pour tout entier natureln,anlbn. Ceth´eore`meestuneconse´quencedelaedt´´erineorabelreeius´pporprue quelonaborderadanslUE:toutensembleder´eelsnonvideetmajor´eposs`ede unebornesup´erieure.Cethe´ore`meestdoncessentiellementlie´auxproprie´t´es intrinsq`uesdelensembleRrserlee´sedbmonroidla,eltsrpmiourquoiis.Cestp avantdapprofondirlanalyser´eelledeformaliserrigoureusementtouteslespro-prie´te´sdeR. Remarque: .ome´dtiafnetuepnor´ethceuerqrentO`emeest´equivaletna`al proprie´te´delabornesupe´rieure.Etcelapourraˆetreutiledanscertainsprobl`emes d’analyse.
2.3.2Raisonnementparre´currence De´nitiondunraisonnementparre´currence:initialisation+he´re´dite´. Leraisonnementparre´currenceestunoutilpuissantquipermetdefairedesde´mons-trationsrigoureusesenmathe´matiques.Ilseradoncrappele´a`luniversite´,autantdans lesmodulesdalge`brequeceuxdanalyse,etutilis´etr`essouvent.
2.4Compe´tencestechniquesa`avoirsurlessuites – Calculer les premiers termes d’une suite,grapnteremenhiquetmrltseseprrese´e d’une suite. – Calculer la limite d’une suite, la limite de la somme, du produit, du quotient de suites.
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