n est valeur propre - Université Claude Bernard Lyon 1

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Licence, Supérieur, Licence (bac+3) Université Claude Bernard Lyon 1 Licence Sciences & Technologies 43, boulevard du 11 novembre 1918 Spécialité : Mathématiques 69622 Villeurbanne cedex, France UE : Analyse III Automne 2011 Groupe B Enseignant : M.Caldero. e-mail : Cours : vendredi 8H15-11H30 Salle : Salle Ampère(1 er ss) bâtiment lippmann TD 5 Feuille d'exercice II. - DIAGONALISATION – TRIGONALISATION - ( ) n est valeur propre ( ) rg 1 0 est valeur propre ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) est vecteur propre pour valeur propre 0.
  • polynômes de degré inférieur
  • bc ≥
  • équation x²
  • changement de base réel
  • espace vectoriel de dimension finie
  • espaces vectoriels de dimension finie
  • espace vectoriels
  • espace vectoriel
  • espaces vectoriels
  • h30 salle
  • h30 dans la salle
Publié le : lundi 11 novembre 1918
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Université Claude Bernard Lyon 143, boulevard du 11 novembre 1918 69622 Villeurbanne cedex, France Groupe B Enseignant : M.Caldero. e-mail : caldero@math.univ-lyon1.fr Cours : vendredi 8H15-11H30 er Salle : Salle Ampère(1 ss) bâtiment lippmann
TD 5 Feuille d’exerciceII. -DIAGONALISATIONTRIGONALISATION -
Licence Sciences & Technologies Spécialité : Mathématiques UE : Analyse III Automne 2011
          n est valeur propre     rg 1 0 est valeur propre                                       ( )                     est vecteur propre pour valeur propre 0.                                  =       =            Exercice 6.Discuter en fonction de a,b et c la possibilité de diagonaliser les matrices desuivantes :       [   ] [  ]       Diagonalisable ?          *+ . / 2 A =              . /  Si A était diagonalisable     . /   *+  toujours diagonalisable (pas de multiplicité)                *+ 2 A =        
Preuve :      Reste à verifier que (car 1≤=1 alors=)             er 1 cas: a≠0   2           ème 2 cas : a=0     z=0 plan   B=             Si c = 1 alors non diagonalisable c = 1etsinon B = Id      ouSi a ≠ 0alors non diagonalisableet a = 0c ≠ 1            Sinon B diagonalisabledonc  ,- Exercice 8.On notevectoriel formé des polynômes de degré inférieur ou égal à n.le -espace  ,-Soit u l’endomorphisme dedéfini par :    ,-1. Ecrire la matrice u dans la base canonique de.    ,-   ,-        = {P, deg(P) ≤ n} C’est un espace vectoriel (Base canonique)  ,-   ,-u :           Bien défini ? oui car dépend uniquement de P. u est endomorphisme u(1) = 0   u(X) = u(X²) =               u( ) =                             u( ) =                                                                ()   
2. Montrer que u est diagonalisable. Montrer que u est diagonalisable. La matrice est triangulaire. Dans sous valeur propre sont      0,3,8,…,n(n+2). Elles sont toutes distinctes 2 à 2est strictement croissante sur . Donc u est diagonalisable. 3.Résoudre l’équation u(P)= P.  u(P) =λP,λ . Rq : (X²-1)P’’ + 3XP’ = λP est une équation différentielle linéaire à coefficients polynomiaux. Le but de l’exercice est de chercher des solutions polynomiales.P est solution non nulle de (*) P est vecteur propre de u etλest valeur propre. er 1 cas : siλ= p(p+2) alors p existe.        dim (car toutes les valeurs propres sont simples) L’ensemble des solutions est une droite (on parle de solutions polynomiales)ème 2 cas : siλ≠p(p+2) pas de solutions polynomiales.  Exercice 9.Soit u l’endomorphisme dedéfini par u²= id.  .0 1/  0 1 On pose u² =Id.Exercice 10.Soit      [  ]      En diagonalisant A, trouver une solution dansà l’équation X²=A.Rappel :              = + (a-b)    { valeur propre   { diagonalisable avec valeur propre     Si A est diagonalisable avec valeur proprealors est diagonalisable avec valeur propre   .  
A valeur propre -1 :         Soit l’équation X²=A     On veut trouver une solution à Y² = = D        On a une solution Y=  √  Soit   (changement de variable)              Recette :                     =                            Trouver une solution réelle. Les valeurs propres sont réelles, A est réelle donc les vecteurs propres sont réels aussi :     .   On chercher X de la forme .      Il suffit de trouver y réel t.q. Y²=     On se ramène à trouver une solution réelle dans.   . / Z²=   On cherche u²= - Id.        . / La matrice de la rotation est        . / θ= donne = Z          Y =bloc diagonaux  √
Commentaire [E1]: NAMCAP & PACMAN
Rappel :                     =                           . /      Y² =  √     Y²=           Comme tout à l’heure.  Exercice 11.espace vectoriel de dimension finie et u un endomorphisme de E deSoient E un rang 1. 1. Montrer que la trace de u est une valeur propre de u. Montrer que tr(u) est valeur propre de u. rg(u) = 1 dim Ker u = n1    dim = n1 ( :λvaleur propre de u Ker(uId) ≠ 0 )(0) = n1     n ≥=n-1 Dans ce cas sp = {0,λ}   } diagonalisable.            Question: Qui nous dit qu’il y a une autre valeur propre λ?  ( :deg(P) = n, On suppose que l’on connait n-1 racines)              P =  .
 : pour (n-1) racines achetées, la n-ième gratuite !             P a n-racines dans donc se factorise.                              Preuve :  =   On identifie le coeff en                         Ou on identifie les coeff. Cst.       
Commentaire [E2]:=
  Exemple :Si 0 est racine d’ordre n-1 alors la dernière racine seraλ= -0-0--=-A matrice sur est triagonalisable.      sont les valeur propre de A.        Tr A = Tr T = Dans notre exercice.       Tr u =         Tr u =Exemple :         C’est de rang 1 valeur propre 0 mult n-1       Tr u = n mult 1,-1 diagonalisable2. En déduire que u est diagonalisable si, et seulement si, sa trace est nulle.              } Si Tr u ≠ 0 alorsdiagonalisable.            Siλ= Tr u = 0 alors non diagonalisable . Exercice 12.On considère la matrice complexe     0 1 1. Quelle la somme des valeurs propres de A ?     Rappel : A semblable à T =      = Tr T = Tr A = 02. Quel est le produit des valeurs propres de A ?    = det T = det A = -a²-bc 3.Montrer que, si son déterminant n’est pas nul, A est diagonalisable.     { d=det A ≠0    d ≠ 0 ≠ 0  distincts car ils sont opposés diagonalisable .
4. Montrer que, si son déterminant est nul, An’est diagonalisable que si elle nulle.       d= 0, doncest nulle pour i.    comme l’autre aussi est nulle.        . / Si A est diagonalisable alors A = P = 0  5. Montrer que A est diagonalisable sauf si elle est de rang 1 A rang 2 cas 3) diagonalisable. A rang 0 cas 4) A= 0 diagonalisable. A rang 1 cas 4) non nul non diagonalisable.6. En supposant que la matrice A est réelle ; à quelle condition est-elle diagonalisable par un changement de base réel ?        { On veut 2 solutions réelles.           On substitue    Il y a des solutions réelles ssi d0. -a²-bc0 a² + bc0 On pourrait voir les choses ainsi :   . / A = = X² - Tr(A)X + det(A)         { ( On a vu )         = X² + det(A)= X² + d. Exercice 14.et u,v deux endomorphismes de E tels queSoient E un u o v = v o u 1. Montrer que tout sous-espace propre de u est stable par v.   *   +    montrer que v()    montrer que v(λ)  u(v(X)) =v(u(X)) =v = v(X)
2. Montrer que u et v sont diagonalisables ssiil existe une base commune de diagonalisation. O.K.   les espaces propres de u. Par hypothèse u est diagonalisable donc= E.    est base de. B=base de E. Dans cette base u sécrit :           
(

  : =    : = daprès 1)        ( Il suffit de montrer que est diagonalisable.
)
   )
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