Outils pour le calcul et le traçage de courbesCNDP –DIE Mars

Publié par

Niveau: Secondaire, Lycée, Première

  • exposé


52 Outils pour le calcul et le traçage de courbesCNDP –DIE – Mars 1995 LE MATHÉMATICIEN, LE PHYSICIEN ET LE PSYCHOLOGUE En France, aux examens officiels tels que le baccalauréat, les élèves peuvent utiliser des calculatrices graphiques ou le logiciel Dérive, outils qui peuvent grandement les aider dans la résolution des problèmes posés en mathé- matiques, mais les enseignants ne leur apprennent pas à se servir de ces outils. Les articles de L. Trouche et G. Kuntz, montrant combien il est difficile d'utiliser un outil tel que les calculatrices graphiques, fournissent une première explication à ce phénomène : si les calculatrices ont plus d'in- convénients que d'avantages, le réflexe des enseignants de mathématiques sera de les bannir de leur enseignement ou tout au moins de les ignorer. Malheureusement, puisque les élèves les utilisent quand même et semble-t-il à tort et à travers, on ne peut s'arrêter à cette position sans des raisons pro- fondes. En lisant superficiellement ces articles et en particulier une phrase telle que « les calcu- latrices graphiques sont à l'origine d'un pro- fond malentendu », on pourrait croire que l'introduction des ordinateurs a révolutionné un monde où ce malentendu n'existait pas. Or sur le sujet traité, à savoir le codage/déco- dage des images mathématiques, des études faites indépendamment d'un monde infor- matique montrent qu'il n'en est rien : les élèves ont toujours eu des difficultés à lire des représentations graphiques.

  • outils pour le calcul

  • théorie constructive de l'analyse

  • mathématique

  • analyse classique

  • infini actuel

  • théorie

  • représentation graphique


Publié le : mercredi 1 mars 1995
Lecture(s) : 49
Source : cndp.fr
Nombre de pages : 5
Voir plus Voir moins
LE MATH…MATICIEN, LE PHYSICIEN ET LE PSYCHOLOGUE Roger CUPPENS
LÕintroduction des moyens de calcul modernesÉ
Pour attÈnuer les divergences profondes qui sÈparent l'enseignement traditionnel du mathÈmaticien des objets traitÈs par les machines, et qui freinent l'intÈgration des nouveaux instruments, c'est le sens mÍme des mathÈmatiques enseignÈes qu'il faut interroger.
En France, aux examens officiels tels que le baccalaurÈat, les ÈlËves peuvent utiliser des calculatrices graphiques ou le logicielDÈrive, outils qui peuvent grandement les aider dans la rÈsolution des problËmes posÈs en mathÈ-matiques, mais les enseignants ne leur apprennent pas ‡ se servir de ces outils.
Les articles de L. Trouche et G. Kuntz, montrant combien il est difficile d'utiliser un outil tel que les calculatrices graphiques, fournissent une premiËre explication ‡ ce phÈnomËne : si les calculatrices ont plus d'in-convÈnients que d'avantages, le rÈflexe des enseignants de mathÈmatiques sera de les bannir de leur enseignement ou tout au moins de les ignorer. Malheureusement, puisque les ÈlËves les utilisent quand mÍme et semble-t-il ‡ tort et ‡ travers, on ne peut s'arrÍter ‡ cette position sans des raisons pro-fondes.
En lisant superficiellement ces articles et en particulier une phrase telle que ´ les calcu-latrices graphiques sont ‡ l'origine d'un pro-fond malentendu ª, on pourrait croire que l'introduction des ordinateurs a rÈvolutionnÈ un monde o˘ ce malentendu n'existait pas. Or sur le sujet traitÈ, ‡ savoir le codage/dÈco-dage des images mathÈmatiques, des Ètudes faites indÈpendamment d'un monde infor-matique montrent qu'il n'en est rien : les
Outils pour le calcul et le traÁage de courbes 52CNDP Ð DIE Ð Mars 1995
ÈlËves ont toujours eu des difficultÈs ‡liredes reprÈsentations graphiques. L'introduction des calculatrices n'apparaÓt plus comme la cause d'un malentendu superficiel, mais comme le rÈvÈlateur d'un dysfonctionne-ment plus profond.
La nouveautÈ est que, confrontÈ ‡ ce pro-blËme, l'enseignant ne peut plus, comme par le passÈ, utiliser, plus ou moins explicite-ment, un argument d'autoritÈ pour aplanir les difficultÈs puisqu'il se heurte ‡ une autre autoritÈ, celle de la machine aurÈolÈe comme on le sait d'un certain prestige. Il doit alors expliquer pourquoi la ´ vÈritÈ mathÈma-tique ª peut Ítre contredite par l'expÈrience fournie par la machine et mÍme pourquoi la ´ vÈritÈ mathÈmatique ª est rÈellement une vÈritÈ.
Ce n'est pas toujours simple. Par exemple, quand G. Kuntz affirme ´ Les erreurs des ÈlËves ont toutes leur source dans la confu-sion entre la courbe mathÈmatique et l'image (plus ou moins prÈcise et correcte) qu'ils ont ‡ l'Ècran. Or l'image informatique est un extrait fini d'un ensemble infini, la courbe mathÈmatique ª, encore faudrait-il qu'il soit Èvident pour l'ÈlËve qu'une courbe est un ensemble infini avec tout ce que cela com-porte. Nous allons montrer dans la suite qu'il y a peu de chances qu'il en soit ainsi.
LE MATH…MATICIEN, LE PHYSICIEN ET LE PSYCHOLOGUE
Édans lÕenseignement des mathÈmatiques
Quelques rappels historiques
On sait que les Grecs avaient dÈcouvert les paradoxes de l'inÞni connus sous le nom de paradoxes de ZÈnon d'…lÈe et, que pour les Èviter, ils introduisirent un tabou philoso-phique, celui de l'infini actuel. Ce tabou, renforcÈ par des observations telles que celles de l'encadrÈ ci-contre, allait durer jusqu'au e 19 siËcleo˘ il fut battu en brËche par G. Cantor. CorrÈlativement, l'introduction des nombres posait de gros problËmes : s'il Ètait facile de dÈfinir les nombres naturels et les ´ fractions ª de ces nombres, en revanche l'introduction des nombres irrationnels, des nombres complexes, des nombres nÈgatifs, des nombres rÈelsÉ posa de graves pro-blËmes dont la terminologie garde encore la trace. e e Les progrËs de la physique aux 16et 17 siËcles imposËrent les notions de fonction, de dÈrivÈeÉ o˘ intervient plus ou moins expli-citement la notion d'inÞni. L'intuition gÈo-mÈtrique de point, de droite passant par un pointÉ fournissait une bonne image des nombres manipulÈs, mais le calcul des dÈri-vÈes posait de sÈrieux problËmes. On sait que la premiËre tentative sÈrieuse pour donner une base solide ‡ ces notions consista en l'in-troduction d'infiniment petits qui permet-taient de trouver des rÈsultats conformes ‡ l'expÈrience, mais qui philosophiquement posaient de sÈrieuses questions : en langage moderne, l'ensemble ainsi introduit n'Ètait plus archimÈdien (cf. le second encadrÈ) et cela Ètait ‡ l'Èpoque inconcevable. La thÈorie
Les paradoxes de l'inÞni actuel
Si on introduit l'ensemble N des entiers naturels, l'application n Ñ> 2n est une bijection de l'ensemble N dans l'ensemble des entiers pairs : il y a ´ autant ª d'entiers pairs que d'entiers natu-rels, ce qui contredit l'expÈrience que ´ le tout est plus grand que la partie ª. Un autre exemple paradoxal s'obtient avec la projection centrale : S M N d
c La correspondance entre M et N Ètant bijective, il y autant de points dans la circonfÈrence c (de longueur Þnie) et dans la droi-te d. P o u rÈ v i t e rc e sp a r a d o x e s ,o nr e f u s at r Ë sl o n g t e m p sl e s ensembles inÞnis. On sait que Cantor inversa la dÈmarche : les ensembles inÞnis sont ceux qui peuvent Ítre mis en correspon-dance bijective avec l'un de leurs sous-ensembles.
Les ensembles archimÈdiens
Un ensemble E de nombres comprenant 0 est archimÈdien si, se donnant un nombre u de E positif (c'est-‡-dire u > 0) et un nombre x de E, il est possible de trouver n tel que nu > x. GÈomÈtriquement, cela signiÞe que l'intervalle [-nu,nu] Þnit par recouvrir E. Cette propriÈtÈ est essentielle lorsque E est utilisÈ pour mesurer : u peut Ítre pris comme unitÈ de mesure. Elle n'est pas vÈriÞÈe par les inÞniment petits : x est inÞniment petit si, pour tout entier n, on a nx < 1.
Outils pour le calcul et le traÁage de courbes CNDP Ð DIE Ð Mars 199553
LE MATH…MATICIEN, LE PHYSICIEN ET LE PSYCHOLOGUE
1. On en trouvera un exposÈ un peu plus complet dans mon article ´ Les mathÈmatiques d'une machine sont-elles hilbertiennes ? ª paru dans les ´Actes ª de l'UniversitÈ sur le calcul formelqui s'est tenue ‡ Caen en septembre 1994. 2. Leur existence repose sur une intuition commune, d'o˘ le nom donnÈ aux adeptes des thËses de Brouwer.
des inÞniment petits fut abandonnÈe par les mathÈmaticiens, mais les physiciens conti-nuËrent ‡ l'utiliser pour calculer des dÈrivÈes simples. Cependant, dans les annÈes soixan-te, J. Robinson montra qu'une thÈorie des inÞniment petits connue maintenant sous le nom d'analyse non standard Ètait logique-ment acceptable et certains mathÈmaticiens, ‡ la suite de travaux comme ceux de Reeb ‡ Strasbourg, prÙnent l'analyse non standard comme moyen d'aborder la thÈorie des fonc-tions en lieu et place de l'analyse classique.
La thÈorie classique utilisant comme base la notion de limite fut introduite au dÈbut du 19e siËcle par Cauchy : elle fournissait une thÈorie parfaitement cohÈrente ‡ condi-tion de dÈÞnir l'ensemble des nombres mani-pulÈs, celui des nombres rÈels. En effet les dÈveloppements de la gÈomÈtrie qui allaient aboutir ‡ l'introduction des gÈomÈtries eucli-diennes montraient que l'intuition gÈomÈ-trique ne suffisait plus pour une base rigou-reuse des mathÈmatiques. Les constructions de Weierstrass, Dirichlet, Cantor ou encore MÈray allaient proposer diverses solutions dont une variante plus intuitive, celle de dÈveloppement dÈcimal illimitÈ, est ‡ la base de l'enseignement actuel dans les classes du secondaire.
On aurait pu en rester l‡, mais, pour des problËmes liÈs aux sÈries de Fourier, G. Cantor osa transgresser le tabou de l'infini actuel. Aucune catastrophe ne survint. Il y eut bien les cÈlËbres paradoxes logiques qui ÈbranlËrent un peu la communautÈ mathÈ-matique, mais qui furent rapidement rÈsolus.
Mais le refus de faire reposer la ´ vÈritÈ mathÈmatique ª sur une quelconque intui-tion amena Hilbert (et ‡ sa suite, la quasi-totalitÈ des mathÈmaticiens) ‡ confondre vÈritÈ et non-contradiction : si on adopte ce point de vue, des thÈories non contradic-toires, mais incompatibles entre elles (par exemple, la gÈomÈtrie euclidienne et les diverses gÈomÈtries non euclidiennes) doi-vent Ítre considÈrÈes comme vraies. Mais, ce qui est plus grave, la dÈfinition d'un objet mathÈmatique, ‡ la seule condition qu'elle n'entraÓne pas de contradiction avec les autres faits dÈj‡ admis ou Ètablis dans la thÈorie, suffit pour Ètablir l'existence de cet
Outils pour le calcul et le traÁage de courbes 54CNDP Ð DIE Ð Mars 1995
objet : transposÈ dans la vie courante, cela signifierait que la dÈfinition d'une licorne dans un dictionnaire suffit pour affirmer l'existence de cet animal fabuleux. Une telle attitude fut rejetÈe par Brouwer et les intuitionnistes. Sans entrer dans les 1 dÈtails de la thÈorie intuitionniste, on peut dire qu'une fois admis l'existence des 2 nombres entiers, l'existence de tous les autres nombres doit Ítre Ètablie : par exemple, un nombre rÈel n'est dÈÞni que si on fournit un procÈdÈ algorithmique per-mettant d'en obtenir des valeurs approchÈes de plus en plus Þnes. Comme beaucoup de rÈsultats fondamentaux de l'analyse n'Ètaient plus vrais dans la thÈorie dÈveloppÈe par Brouwer, elle fut rejetÈe ‡ l'Èpoque par la quasi-totalitÈ de la communautÈ mathÈma-tique. NÈanmoins, avec les travaux des logi-ciens sur le calculable dans les annÈes trente et l'apparition des ordinateurs, les thËses intuitionnistes rÈapparurent sous le nom de ´ mathÈmatiques constructives ª. On est donc en face d'au moins trois thÈo-ries pour expliquer les calculs effectuÈs et les reprÈsentations graphiques fournies par une machine : la thÈorie classique de Cauchy revue par Hilbert (et Bourbaki), l'analyse non standard et l'analyse constructive. Nous allons examiner dans la suite laquelle semble la plus adaptÈe.
Les nombres des machines
La prÈsentation classique de l'analyse pos-tule l'existence du corps des nombres rÈels qui est un corps commutatif totalement ordonnÈ archimÈdien et continu. Dans cette thÈorie, l'ensemble M des nombres manipu-lÈs par une machine peut Ítre considÈrÈ comme un sous-ensemble fini du corps des nombres rÈels. Mais cela ne rend pas compte de certaines propriÈtÈs de M telles que : Ð avoir un plus grand et un plus petit ÈlÈ-ment positif ; Ð x + y = x n'implique pas y = 0 ; Ð x­y et x - y­0 ne sont pas Èquiva-lentsÉ
On peut alors penser que l'analyse non standard peut fournir un "modËle" meilleur que l'analyse classique : le plus grand ÈlÈment de la machine correspondrait ‡ la notion d'infiniment grand et le plus petit ‡ celui d'inÞniment petitÉ NÈanmoins, il existe une diffÈrence fonda-mentale entre l'ensemble des nombres rÈels non standards et l'ensemble des nombres manipulÈs dans une machine : l'un est un corps totalement ordonnÈ (on peut toujours comparer deux nombres) tandis que dans une machine, en raison des problËmes d'arrondis, les rÈsultats de deux calculs diffÈrents ne sont pas toujours comparables. On peut penser qu'il suffit d'augmenter la prÈcision pour pouvoir les sÈparer. Mais il n'en est rien. En effet, si on veut comparer deux nombres par une mÈthode algorithmique de plus en plus prÈcise, deux cas peuvent se prÈsenter : Ð ou bien les deux nombres sont diffÈrents et au bout d'un certain temps (peut-Ítre trËs grand), on pourra les comparer; Ð ou bien les deux nombres sont Ègaux et aprËs un temps Þni, on n'aura pas trouvÈ de diffÈrence et on ne saura jamais si une prÈci-sion supÈrieure permettrait de conclure. Seule une dÈmonstration extÈrieure au procÈdÈ permettrait de conclure dans ce der-nier cas : les informaticiens parlent alors de semi-algorithme. Or, une thÈorie constructive de l'analyse prÈvoit effectivement l'existence d'un tel phÈnomËne (voir encadrÈ) : les mathÈma-tiques constructives semblent bien le cadre naturel pour expliquer les calculs d'une machine. Cela ne veut pas dire qu'il faille ‡ tout prix enseigner ces mathÈmatiques : il suffirait sans doute d'insister sur la notion d'algorithme, sur la signification rÈelle des dÈmonstrations non constructives et sur l'im-portance des dÈmonstrations constructives.
La stabilitÈ des calculs
On voit que le problËme de la connaissan-ce des nombres manipulÈs n'est pas tellement une question de programme, mais dÈpend au contraire du sens donnÈ ‡ ce que l'on fait. Il n'en est pas de mÍme des problËmes soulevÈs
LE MATH…MATICIEN, LE PHYSICIEN ET LE PSYCHOLOGUE
3. Un phÈnomËne est stable si, quand les donnÈes sont peu modiÞÈes, le rÈsultat est peu modiÞÈ.
par une analyse critique de ce que produit une calculatrice. L'exemple de la suite de Fibonacci Ïun n1 1u-#uu-Ô Ì1-5 u11, u1 0 1 Ô Ó2 proposÈ par G. Kuntz pose le problËme de la 3 stabilitÈ des phÈnomËnes mathÈmatiques. Des exemples de phÈnomËnes instables plus simples que celui ÈvoquÈ peuvent Ítre fournis : par exemple, tout le monde sait que n l'Èquation un+1= k una pour solution un= u0k et en gÈnÈral on s'en contente. NÈanmoins on pourrait faire remarquer que ces solutions ont, pour n grand, un comportement trËs diffÈrent suivant que u0est diffÈrent ou Ègal ‡ 0 ou suivant que |k| est supÈrieur, Ègal ou infÈrieur ‡ 1. Mais que se passe-t-il si u0est presque Ègal ‡ 0 et k presque Ègal ‡ 1? Une rÈflexion autour de ce problËme purement mathÈmatique aurait sans doute beaucoup d'incidence sur l'Ètude des suites avec une machine. Ajoutons que, pour aborder tÙt ce type de problËme, il faut familiariser les ÈlËves dËs que possible avec l'Ètude de la stabilitÈ des phÈnomËnes et que l'on passe parfois ‡ cÙtÈ
Les nombres rÈels constructibles On sait que l'idÈe la plus intuitive des nombres rÈels consiste ‡ introduire les dÈveloppements dÈcimaux illimitÈs : se donner un nombre rÈel x revient ‡ se donner un nombre entier m et une suite de chiffres (an) telle que les anne sont pas tous nuls ‡ partir d'un certain rang. On note x = m,a1a2ÉanÉ Dans la conception constructive de l'analyse, les anne peuvent pas Ítre pris ´ n'importe comment ª. Au contraire, le nombre rÈel x ne sera dÈÞni que s'il existe un algorithme permettant de calcu-ler effectivement, pour chaque valeur de n, le chiffre an. ¥¥n 1e e ÂÂ Par exemple, des formules e =et e= ,on dÈduit que n10n!n10n! e e et esont constructibles. Pour Ètablir que deux nombres x et y sont diffÈrents, il suffit de dÈmontrer que leurs dÈveloppements dÈcimaux sont diffÈrents, ce qui peut se faire (si on fait abstraction des problËmes de temps) ‡ partir du calcul de ces dÈveloppements. En revanche, pour pouvoir affirmer que x = y, il faut fournir une dÈmonstration e de cette assertion. Puisque l'on ne sait pas si eest rationnel ou irrationnel, il existe un rationnel dont on ne sait pas s'il est Ègal ‡ e ou diffÈrent de e .
Outils pour le calcul et le traÁage de courbes CNDP Ð DIE Ð Mars 199555
LE MATH…MATICIEN, LE PHYSICIEN ET LE PSYCHOLOGUE
4. L'Ètude de ces phÈnomËnes peut Ítre rendue particuliËrement spectaculaire en utilisant un logiciel tel queCabri-GÈomËtre. 5. Ici aussi, l'utilisation de logiciels tels que Cabri-GÈomËtre pourrait venir en aide trËs tÙt : on peut trËs vite Ètudier l'approximation d'un cercle par des polygones rÈguliers ou, en utilisant les possibilitÈs de dÈplacer les Þgures,faire apparaÓtre les tangentes ‡ un cercle comme positions limites de sÈcantes.
d'occasions : par exemple, en gÈomÈtrie, quand fait-on remarquer que la plupart des thÈorËmes ÈnoncÈs (par exemple le thÈorËme de Pythagore) sont stables, donc utilisables dans la vie courante ? De mÍme, les pro-blËmes de construction peuvent Ítre considÈ-rÈs comme instables quand les objets 4 construits disparaissent ´ brusquement ª .
Les reprÈsentations graphiques
Un traitement superÞciel de la comparai-son entre les reprÈsentations graphiques four-nies par une machine et les reprÈsentations traditionnelles cache un autre problËme pro-fond et habituellement escamotÈ dans l'en-seignement. Au dÈbut, on dÈÞnit la reprÈsen-tation graphique d'une fonction f comme l'ensemble des points de coordonnÈes (x,f(x)) dans un repËre donnÈ et on apprend soigneu-sement, pour des fonctions polynomiales simples, ‡ dÈterminer un Èchantillon Þni de points et ‡ joindre ´ au mieux ª ces points ‡ main levÈe dËs que la courbe n'est plus une droite. On peut alors constater qu'il y a une trËs bonne adÈquation avec ce que fait la machine, la seule diffÈrence rÈsidant dans la maniËre de joindre les points, au jugÈ pour l'Ítre humain, par des segments de droite pour la machine.
Mais, comme on ne demande aux ÈlËves d'utiliser cette mÈthode que pour des fonc-tions extrÍmement rÈguliËres, ‡ savoir des polynÙmes du premier ou du second degrÈ, ne se pose guËre le problËme de l'obtention d'un Èchantillon convenable de points : cela nÈcessiterait des considÈrations sur la proxi-mitÈ de deux points d'une courbe (c'est-‡-dire une comprÈhension au moins intuitive de la continuitÈ) et sur la maniËre de les joindre (c'est-‡-dire une comprÈhension 5 intuitive des fonctions dÈrivables) .
Au contraire, en gÈnÈral tacitement, on n'utilise plus cette dÈÞnition et on trace des courbes rÈsumant, par un procÈdÈ de codage
Outils pour le calcul et le traÁage de courbes 56CNDP Ð DIE Ð Mars 1995
subtil, les informations fournies par une Ètude de la fonction f. Pour cela, on constate qu'il y a dÈformation de la courbe qui rÈsul-terait de la dÈfinition prÈcÈdente : on approche de l'axe des y la branche inÞnie de 1 xÆ la fonctionau voisinage de x = 0, on x Ècarte au contraire la branche inÞnie de la fonction exponentielle pour les valeurs nÈga-tives de la variable, on triche pour faire ´ tenir ª la courbe de cette fonction dans la feuille de papierÉ Ce problËme de codage (et celui du dÈco-dage correspondant) qui Ètait en gÈnÈral totalement escamotÈ lorsqu'il n'y avait pas de machine devient crucial en prÈsence de cette derniËre. Il nÈcessite un apprentissage sÈrieux.
Conclusion AprËs cet examen de quelques-uns des problËmes posÈs par l'utilisation des moyens de calcul modernes dans l'enseignement des mathÈmatiques, on peut se demander si les enseignants qui pratiquent actuellement la politique de l'autruche en refusant d'utiliser ces moyens n'ont pas raison. Il est Èvident qu'il n'en est rien et cela pour une raison simple : la maÓtrise des ordi-nateurs sera sans aucun doute dans les annÈes ‡ venir un des objectifs de l'Ècole au moins aussi essentiel que la trilogie ´ lire, Ècrire, compter ª l'Ètait au temps de Jules Ferry. Mais, pour Èviter que les hommes ne devien-nent esclaves des machines, on devra aussi montrer soigneusement les limites de ces der-niËres. On voit que les professeurs de mathÈ-matiques peuvent y prendre une large part. Pour cela, ils devront accorder plus de temps ‡ donner du sens aux mathÈmatiques qu'ils enseignent, quitte ‡ accorder moins de temps ‡ la technicitÈ. Serait-ce rÈellement un mal? n
Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.