PCSIB Annexe mathématique

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Niveau: Secondaire, Lycée, Première
PCSIB Annexe mathématique 2011-2012 Equations différentielles en physique Une équation différentielle est une équation reliant une fonction y d'une variable, la variable x et les dérivées de la fonction y. Le plus grand ordre des dérivées de y figurant dans l'équation est l'ordre de l'équation différentielle. La solution d'une équation différentielle doit toujours être jusitifiée par une identification précise du type de l'équation différentielle à résoudre. 1 Equation différentielle linéaire du 1er ordre à co- efficients constants Il s'agit d'une équation de la forme ay? + by = f(x) avec a et b deux constantes (réelles en physique), appelées coefficients de l'équation différen- tielle linéaire. La solution y(x) de l'équation ay? + by = f(x) s'écrit sous la forme : y(x) = yG(x) + yP (x) y(x) est la somme : – de la solution générale de l'équation sans second membre ou équation homogène (ay? + by = 0), notée yG ; – d'une solution particulière de l'équation complète notée yP . 1.1 Recherche de yG yG est solution de ay? + by = 0 : yG = Ae? bx a x 1.2 Recherche de yP Pour déterminer yP , la solution particulière de ay? + by = f(x), deux méthodes : – méthode de variation de la constante ; cf.

  • dipôle rlc

  • instant initial

  • u0 ? avec u0

  • equation différentielle linéaire

  • coefficient constant

  • échelon de tension des dipôles rc

  • régime libre


Publié le : mercredi 30 mai 2012
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PCSIB
Annexe mathÉmatique
Equations diffÉrentielles en physique
2011-2012
Une Équation diffÉrentielle est une Équation reliant une fonctionyd’une variable, la variablexet les dÉrivÉes de la fonctiony. Le plus grand ordre des dÉrivÉes deyfigurant dans l’Équation est l’ordre de l’Équation diffÉrentielle. La solution d’une Équation diffÉrentielle doit toujours tre jusitifiÉe par une identification prÉcise du type de l’Équation diffÉrentielle À rÉsoudre.
er 1 EquationdiffÉrentielle linÉaire du1ordre À co-efficients constants 0 Il s’agit d’une Équation de la formeay+by=f(x)avecaetbdeux constantes (rÉelles en physique), appelÉes coefficients de l’Équation diffÉren-tielle linÉaire. 0 La solutiony(x)de l’Équationay+by=f(x)s’Écrit sous la forme : y(x) =yG(x) +yP(x) y(x)est la somme : – delasolution gÉnÉrale de l’Équation sans second membre ou Équation 0 homogÈne (ay+by= 0), notÉeyG; – d’unesolution particuliÈre de l’Équation complÈte notÉeyP. 1.1 RecherchedeyG 0 yGest solution deay+by= 0: bx x a yG=Ae
1.2 RecherchedeyP 0 Pour dÉtermineryP, la solution particuliÈre deay+by=f(x), deux mÉthodes : – mÉthodede variation de la constante; cf. cours de maths – oncherche directementyPde la mme forme que le second membre f(x).
1
Cas particulier :f(x) =C=cste, alorsyPest une constante. En rem-C plaÇant, il vientyP=. Dans ce cas, la solution de l’Équation diffÉrentielle b bx Cavec second membre esty= +Ae, la constante d’intÉgrationAest a b dÉterminÉe À l’aide des conditions initiales ou aux limites.
RÉponse À un Échelon de tension des dipÔlesRCouRL du uU0 L’Équation est de la forme+ =avecU0=constante. La constante dt ττ positiveτest un paramÈtre caractÉristique important du systÈme, appelÉ constante de temps. La solution estu=uG+uPavec : t τ uG, solution de l’Équation homogÈne, soituG=Ae. L’Équation ho-mogÈne correspond À une Évolution du systÈme en l’absence d’apport d’Énergie extÉrieure (en ÉlectrocinÉtique, en l’absence de source de ten-sion ou de courant).uGest appelÉ rÉgime libre. Il caractÉrise le systÈme physique, le second membre traduit lui la prÉsence ou non d’un excitateur extÉrieur. On constate queuGtend vers0sit→ ∞ou plus correctement quand t >> τ. uP, solution particuliÈre de l’Équation complÈte, est ici constante. On trouveuP=U0. La forme deuPest imposÉe par l’excitateur extÉrieur (le second membre de l’Équation), pour cette raisonuPest la rÉponse enrÉgime forcÉ continu. Remarque :la dÉtermination de la constante d’intÉgrationAdoit se faire sur la solution gÉnÉraleuG(t) +uP(t).
A partir de l’instant initial, on observe donc une Évolution en deux Étapes temporelles : – tantqueuGn’est pas nÉgligeable alorsu=uG+uP, il s’agit durÉgime transitoire. Il dure donc de l’ordre de quelquesτ. puisuGdevenant nÉgligeable, on auuPet on observe lerÉgime forcÉ.
nd 2 EquationdiffÉrentielle linÉaire du2ordre À co-efficients constants nd 2.1 EquationdiffÉrentielle linÉaire du2ordre À coefficients constants, sans second membre 00 0 Elle est du typeay+by+cy= 0aveca,b,cdes constantes (rÉelles rx en physique). On cherche des soluionsyde la formeeavecrinconnu mais constant (indÉpendant dex). Il vient :
2
rx2 2 xR, e(ar+br+c) = 0ar+br+c= 0(Équation caractÉristique).
2 Δ =b4ac >0. L’Équation caractÉristique admet deux racines rÉelles r1etr2: r1x r2x y=Ae+Be
2 Δ =b4ac <0. L’Équation caractÉristique admet deux racines complexes conjuguÉes : 2 r1=α+etr2=αavecj=1 αx αx y=e[λcosβx+µsinβx]ou bieny=Cecos (βx+ϕ)
2 Δ =b4ac= 0. L’Équation caractÉristique admet une racine double b r1=r2=: 2a r1x y= (mx+p)e
Les constantes d’intÉgrationA,B,C,λ,µ,φ,metpsont rÉelles.
nd 2.2 EquationdiffÉrentielle linÉaire du2ordre À coefficients constants, avec second membre 00 0 Elle est du typeay+by+cy=f(x)aveca,b,cdes constantes rÉelles.
00 0 La solution dey(x)de l’Équationay+by+cy=f(x)est la somme : – delasolution gÉnÉrale de l’Équation sans second membre, notÉeyGet – d’unesolution particuliÈre de l’Équation complÈte, notÉeyP.
Recherche deyG: voir ci-dessus.
Recherche deyP: tout dÉpend de la forme def(x). En physique, les deux cas les plus frÉquents sont : f(x) =cste, alors on chercheyP=cste f(x)est du typekcos (ωx), on utilise la notation complexe. (notions abordÉes plus tard dans l’annÉe)
On obtient doncy=yG+yP. DansyG, il apparat deux constantes dites d’intÉgration, elles sont dÉterminÉes par les conditions initiales ou aux limites.Ces conditions ne doivent tre appliquÉes qu’À la solution complÈteyG+yPet jamais ÀyGseule.
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RÉgime libre d’un dipÔleRLC
2 d udu2 2 L’Équation est de la forme2+ 2α+ω0u= 0avecαetω0deux dt dt constantes positives.αcaractÉrise l’amortissement du systÈme. Le discrimant 2 2 estΔ = 4(αω0):
Δ>0soitα > ω0, cas d’un amortissement fort. Les racines de l’Équa-tion caractÉristique sont rÉelles et nÉgatives, on les noteβetγ. On βtγt au=Be+Ce, ce rÉgime libre est qualifiÉ d’apÉriodique.
Δ<0soitα < ω0, cas d’un amortissement faible. Les deux racines αt22 2 sontα±. On au=Aecos (ωt+ϕ)avecω=ω0α. Ce rÉgime est qualifiÉ depseudopÉriodique. La pseudopÉriode est 2π T=. ω
Δ = 0soitα=ω0, cette ÉgalitÉ mathÉmatique n’est pas rÉalisable pour un systÈme physique. Il s’agit d’un cas limite thÉorique entre le rÉgime apÉriodique et le rÉgime pseudo-pÉriodique. On le qualifie ωt d’apÉriodique critique. On au= (At+B)e.
Dans chaque cas, les deux constantes d’intÉgration sont dÉterminÉes À l’aide des conditions initiales. Dans les trois cas, on constate queutend vers0sit→ ∞ou plus 1 2π correctement quandt >>out >>. Le rÉgime libre tend vers0du fait α ω0 de la dissipation de l’Énergie initiale.
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