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Chapitre 1
Prix et couverture d’une option d’achat
Danscettepremie`rele¸con,onexpliquecommentonpeutcalculerleprixduncontratdoptionen evaluantceluidunportefeuilledecouverturedecetteoption.Onseplacedansuncastre`ssimple,celui ´ duneoptiondachatsurunactifnancierdontonamod´elise´ladynamiqueaumoyendunarbrebinaire. Letauxdint´erˆetmon´etaireestsuppose´constantpendantladur´eeducontrat. De´nition: Une option dachat(europ´eenne) , encore appel´ee call ,estuntitredonnantdroita`son de´tenteurdacheterunactifnancier`aunedatefutureeta`unprixx´e.Ilsagitdundroitetnon duneobligation.Leprixxe´sappellele prix d’exercice de l’option et la date de fin du contrat la date de´che´ance ou date d’exercice . L’actif financier sur lequel porte le contrat s’appelle l’ actif sous-jacent . Lepropreduncontratdoption,tient`acequa`ladatedesouscription,lavaleur`al´ech´eancede lactifsous-jacentnestpasconnuemaislepaimentquepourraexigerled´etenteurdeloption,silexerce loption,de´penddecettevaleura`l´echeance.Cestpourquoionappelleaussilesoptionsdes contrats contingents . On peut comprendre, dans un premier temps, un tel contrat comme un contrat d’assurance : levendeurdeloptionestlassureur,lacheteurlassure´,cederniercherchant`asecouvrircontreune envole´edelavaleurdusous-jacent.Ilsagitalorsduncontratdetransfertderisquemoyennantunprix. Maisnousverronsplusloinquilyaunedie´renceessentielleentreuncontratdassuranceclassique (assurance habitation ou automobile) et un contrat d’option. Lexempleleplusnatureldactifnancierestsansdouteceluiduneactioncote´eenbourse,comme lactionMicsftouNetscpsurleNASDAQouAmOnLnesurleNYSE.Maiscelapeutaussieˆtrelecours dunematie`repremie`recommeleprixdunetonnedezingouceluidunproduitagricoletelleprix de50.000livresdeboeuf.Lespremierscontratsdoption´etaientdescontratssurcoursagricolesd´ej`a courantsausie`cledernier.Lescontratsdoptionsuractionssesontvraimentde´veloppe´slorsquilsont pufairelobjetdunen´egociationenbourse,cest-`a-dire`apartirdesannees70surleCBOT,a`Chicago, ´ puisprogressivementdanslaplupartdesautresplacesnancie`res.
1.1Evaluationduprixdansunmod`elea`uneetape ´ Pour´evaluerleprixduneoptiondachata`linstantinitial,cest-`a-direlasomme`averserparlacheteur auvendeur,pla¸consnoustoutdaborddansuncastre`ssimple.Notons t = 0 l’instant de souscription de l’option, t = T son´ech´eanceet K son prix d’exercice. Supposons que l’actif sous-jacent ait la valeur S 0 `alinstantinitialetquilnepuisseprendrequedeuxvaleurs S T = S 0 u ou S T = S 0 d `ale´ch´eance,avec 0 < d < 1 < u . On verra qu’il est naturel de supposer en outre que S 0 d < K < S 0 u . Soit C 0 lavaleur,`a d´eterminer,ducalla`linstant t = 0 ; c’est le prix du contrat, ou la prime . A l’instant initial le vendeur ne sait pas si S T prendra la valeur S 0 u ou S 0 d ,maisilpeute´valuercequildevra`alacheteurdanschacun des deux cas : si S T = S 0 d , l’acheteur n’exercera pas (puisqu’il peut alors acheter l’actif sous-jacent sur le march´e`aunprixinf´erieura` K ) et donc la valeur de l’option est nulle ; par contre si S T = S 0 u , l’acheteur re´clameraauvendeurladie´renceentreleprixdemarche´etleprixconvenu K , soit S 0 u K , somme lui permettantdeectuersonachata`ceprix.Commentlevendeurpeut-il,aveclaprimequilare¸cue,faire facea`sesengagements?Lid´eeestdutiliserlaprimepourconstituerunportefeuille,appele´ portefeuille de couverture Π,compose´de a actifs S 0 et de b unite´smone´taires,etdechoisirsacomposition a et b detellefac¸onquesavaleur`al´ech´eancesoitpre´cise´mentcelledeloption,cest-a`-dire0si S T = S 0 d et 3
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CHAPITRE 1. PRIX ET COUVERTURE D’UNE OPTION D’ACHAT
180 100 ✑✑ ✑✑ 120 50 60 0 Fig. 1.1Unexempledemod`ele`auneetape ´
S 0 u K si S T = S 0 u ..Silonde´signepar r letauxdinte´rˆetmone´taire,la composition du portefeuille ( a b )devradoncv´erierlesdeuxe´quationssuivantes: rT = S 0 u K aaSS 00 du ++ bbee rT = 0 (1.1) Onr´esoutfacilementcesyste`me(syst`emelin´eairededeux´equations`adeuxinconnues a et b )etond´eduit des valeurs de a et b obtenueslavaleurduportefeuille`alinstantinitialΠ 0 = aS 0 + b . On peut alors donnera` C 0 la valeur C 0 = Π 0 . Exemple : Par exemple, si S 0 = 120, u = 1 5, u = 0 5, r = 0, et K =80,lar´esolutiondusyste`me (1.1) donne a = 56 , b = 50 et donc Π 0 =50.Celasignieque,ayanttouch´elaprimex´eea` C 0 = 50, le ven deur emprunte 50 (car b = 50)etache`te a = 56 de S 0 (auprix100);`al´ech´eance,sonportefeuille vaudra soit 150 = 56 180, si S T = S 0 u , et il paiera alors 100 = 180 80aude´5te0nteu 56 r6d0,uscia S ll T et=re S m 0 d b,ocuersqeuria, les50emprunt´es(sansinterˆetspuisquonasuppos´e r = 0), soit il vaudra = comptetenudufaitqueled´etenteurducallneviendrapaslexercer,luipermetderembourserles50 empruntes. ´ Remarque : Notonsquepourqueleproble`meadmetteunesolution,ilsutquelesyst`eme(1.1) admetteunesolution,cequiestassure´de`sque u 6 = d ,cequiestpre´cis´ementloriginedusensducontrat: silactifsous-jacentnavaitquunseulprixa` t = T , il n’y aurait pas besoin de souscrire d’option ! Remarque : Leraisonnementprecedentseg´ene´ralisefacilement`adautrescontratsdoption;par ´ ´ exemple pour un contrat d’option qui donne le droit de vendre au prix K (au lieu du droit d’acheter), appele´un put ,savaleur`al´ech´eancesera K S 0 d si S T = S 0 d et 0 si S T = S 0 u .Plusge´ne´ralement, silonde´signepar C T = ϕ ( S T )leprixducontratdoptiona`linstant T ,lar´esolutiondusyste`me(1.1) dans ce cas montre que la composition du portefeuille en actif sous-jacent sera donnee par ´ 0 d ) a = ϕ ( SS 00 uu ) Sϕ 0 ( dS (1.2) Lespraticiensd´esignentcequotientsouslenomde delta de couverture (ou simplement delta ).Ilde´signe laquantite´dactifssous-jacentquilfautavoirdanssonportefeuillesilonveutcouvrirloption.
1.2Mod`ele`adeux´etapes:couverturedynamique. Laseuleid´eeduportefeuilledecouverture( a b )constitue´a`linstantinitialnesutplussiloption peutprendretroisvaleursa`le´che´ance(parcequelactifsous-jacentenprendraittrois).Parcontre,si lonajoutelapossibilite´demodie`undateinterm´ediaire(entre t = 0 et t = T ) la composition du r, a e portefeuilleconstitue´`aladateinitiale,entenantcomptedelavaleur S t dusous-jacenta`cettedate,on peuttrouverunesolution`aceproble`me:cestlid´eedelacouverturedynamique. Conside´ronsunmode`lea`deuxe´tapesdelactifsous-jacent: t ∈ { 0  δt 2 δt = T } et ( S t ) prenant la valeur S 0 a`linstantinitial,lunedesdeuxvaleurs S δt = S 0 d ou S δt = S 0 u `alinstantinterme´diaire t = δt et l’une des trois valeurs S T = S 0 d 2 , S T = S 0 ud ou S T = S 0 u 2 `al´ech´eance.Pourde´terminerla