Universite Claude Bernard Lyon Corrige de l'examen du Janvier Master 1ere annee Duree heures

Claude Bernard Lyon

Description

Niveau: Secondaire, Lycée, Première
Universite Claude Bernard Lyon 1 Corrige de l'examen du 6 Janvier 2009 Master 1ere annee Duree 3 heures Analyse EXERCICE 1 (Operateurs compacts). 1,5+1+2=4,5 pts 1. Application de l'inegalite de Holder donne |uf(n)| = | ∑ m≥0 K(n,m)f(m)| ≤ ?K(n, ·)?2?f?2. Comme ?K(n, ·)?2 ≤ ?K?2 ceci montre que uf est bien defini. La linearite de u est directe. De plus, ceci montre que ?uf?22 = ∑ n≥0 |uf(n)|2 ≤ ∑ n≥0 ?K(n, ·)?22?f? 2 2. Comme ∑ n≥0 ?K(n, ·)? 2 2 = ?K? 2 2 (K ? 2(N ? N) implique que la l'ordre de la somme n'importe pas) on trouve uf ? 2(N) et ?u? ≤ ?K?2. 2. Si le support the K est compact alors il est fini (comme la topologie de N?N est discrete) et donc il existe N ? N tel qu'il est inclu dans la bande [0, N ]? N. En particulier, K(n,m) = 0 si n > N est donc uf(n) = 0 si n > N .

• ?k ?


• algebre de banach


• prolongement lineaire


• norme sup dans c0


• l1 ?


• meme norme


• support compact

Sujets

• Première
• Algèbre de Banach
• Support de fonction

Informations

• Publié par: profil-ondu-2012
• Date de parution: 01 janvier 2009
• Nombre de lectures: 126

Extrait

Universit´eClaudeBernardLyon1 2009 Master1`ereann´ee

Corrig´edel’examendu6Janvier

Analyse

EXERCICE1(Op´erateurscompacts).

Dure´e3heures

1,5+1+2=4,5 pts

1.Applicationdel’in´egalite´deH¨olderdonne |uf(n)|=| X K(n, m)f(m)| ≤ kK(n,∙)k 2 kfk 2 . m≥0

CommekK(n,∙)k 2 ≤ kKk 2 ceci montre queuf.ebistd´enniefi Laline´arite´deuest directe. De plus, ceci montre que kufk 2 2 = X |uf(n)| 2 ≤ X kK(n,∙)k 2 2 kfk 2 2 . n≥0n≥0 Comme P n≥0 kK(n,∙)k 2 2 =kKk 2 2 (K∈ ` 2 ` 2 (N×N) implique que la l’ordre de la somme n’importe pas) on trouveuf∈(N) etkuk ≤ kKk 2 . 2. Si le support theKest compact alors il est fini (comme la topologie deN×Nest discrete) et donc il existeN∈Ntel qu’il est inclu dans la bande [0, N]×N. En particulier,K(n, m) = 0 sin > Nest doncuf(n) = 0 sin > N l’image de. Donc uest inclu dans` 2 ([0, N]), ce qui est un sous-espace de dimension fini de` 2 (N). Doncuest de rang fini. 3. SoitK∈` 2 (N×N). Les fonctionsN×N→C`esnedtnosnadsrtpoupastsacmpco ` 2 (N×N).Kest alors limite d’une suite (K n ) n ∈ L 2 (N×N)o`uK n est de support compact. Soit (u n ) n iuet’dpoe´aretrulas.see´icossasku−n n k ≤ kK−K n k 2 montre que (u n ) n converge versu plus. Deu n  Doncest compact car de rang fini. ul’ensembt´e.Cotmemueaursettirdueos’teild’edup’oee´nesimtl pera rs compac compactesestferm´e,uest compact.

EXERCICE 2 (Limites de Banach).2+2+0,5+2,5=7 pts On note` ∞ les suites (x n ) n≥1 dansRuqsinobtron´eesetc⊂` ∞ les suites convergentes, c 0 ⊂c Pourles suites qui tendent vers 0.x= (x 0 , x 1 ,∙ ∙ ∙)∈` ∞ on poseT(x) = (x 1 , x 2 ,∙ ∙ ∙)esuteb.Lcnofnoittsixenuequerle’iemtdtroneaireellelin´λsur` ∞ de norme 1 qui estT-invariante et satisfaitλ(x) = lim n→∞ x(n) en cas que ce limite existe.

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