Analysis of Forward Error Correction in Packet Networks

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Analysis of Forward Error Correction in Packet Networks Alain Jean-Marie Eitan Altman, Omar Ait-Hellal, Parijat Dube, Yvan Calas, Tigist Alemu INRIA/LIRMM CNRS University of Montpellier 2 Seminar UTFSM, Valparaiso, 15 october 2004 – p.1/30

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Publié le : mardi 19 juin 2012
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Nombre de pages : 134
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Eine kleine Galoistheorie : une introduction en mots artistiques aux découvertes d’Évariste Galois, mathématicien mozartistique
Douglas Hofstadter
28 octobre 2007
←− Henri Poincaré, sur les analystes et leurs très, très longs calculs :
Croiraton. . . qu’ils ont toujours marché pas à pas, sans avoir la vision du but qu’ils voulaient atteindre ?
Il a bien fallu qu’ils devinassent le chemin qui y conduisait, et pour cela ils ont eu besoin d’un guide.
Ce guide, c’est d’abord l’analogie.
←− Le mystère et l’attraction des équations polynomiales L’équation quadratique 2 x+bx+c= 0
Al-Khwarizmi,800
L’équation cubique 3 2 x+bx+cx+d= 0 del Ferro, Tartaglia, Cardan, Bombelli,1500, 1600
L’équation quartique
L’équation quintique
4 3 2 x+bx+cx+dx+e= 0
Cardan, Ferrari,1545
5 4 3 2 x+bx+cx+dx+ex+f= 0
Lagrange, Vandermonde, Ruffini, Abel, Galois,1800
←− Les clés les plus simples suffirontelles ?
2 xa= 0 3 xa= 0 4 xa= 0 5 xa= 0 .
−→ −→ −→ −→ .
a 3 a 4 aradicaux 5 a .
←− La
force fourvoyante de l’analogie 2 b±b4c L’équationquadratiquese résout ainsi : 2 (racine quadratique) q q √ √ 3 3 L’équationcubiquese résout ainsi :r++ Δ rΔ (racines cubique et quadratique) L’équationquartiquese résout à l’aide de multiples radicaux emboîtés. (racines quadratiques et cubiques) Alors. . . pourquoi l’équation dunième degré ne se résoudraitelle pas aussi à l’aide de racinesnième (et plus petites) ? Pourquoi les clés les plus simples imaginables n’ouvriraient elles pas toutes les portes du monde ?naïf ! ! !Espoir. . .
←−
La théorie de Galois est une théorie desymétries non visuelles, qui sont toutes pourtant des généralisations d’une symétrie géométrique (et donc visuelle) — la conjugaison complexe : x+ iy
xiy
←− 2 Une symétrie des racines dex+ 1 = 0
Les deux racines « magiques » sont : y
+ i
i
x
Racines dites « conjuguées »
x= + i
x=i
←−
L’adjonction algébrique de i àRdonne un corps dont l’élément générique esta+bi aetbsont réels (R)
Cestbidimensionnelpar rapport àR
←−
Automorphismedu plan complexeCoù tous les nombres réels restent fixes
(le sous corpsRest invariant)
Addition
y
1
Ψ(y)
x
Ψ(x)
x+y
Ψ(x) + Ψ(y) Ψ(x+y)
xy
1
y x
Ψ(x) Ψ(y)
Ψ(x)Ψ(y) Ψ(xy)
Multiplication
←− La conjugaison complexe Ψ respecte cette symétrie :
+i: (a+ ib) + (c+ id) = (a+c)+ i(b+d) Ψ :l l l l i: (aib) + (cid) = (a+c)i(b+d) Ψ(x) + Ψ(yΨ() = x+y)
+i: (a+ ib) (c+ id) = (acbd)+ i(ad+bc) Ψ :l ll l i: (aib) (cid) = (acbd)i(ad+bc) Ψ(x)Ψ(yΨ() = xy)
←−
L’automorphismex+ iy7xiyest géométrique et visuel La théorie de Galois porte sur des symétries incroyablementanaloguesmaispas du tout géométriques ! Des symétries algébriques, formelles, toujours généralisations de la conjugaison complexe.
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