Correction Devoir Libre n PSI

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Correction Devoir Libre n?7 PSI MATHEMATIQUES Centrale MP 2005 Epreuve II IA1) ? N∞(A) = 0 =? ?i ? [1, n], n∑ j=1 |ai,j | = 0. D'ou ?i ? [1, n], ?j ? [1, n] : |ai,j | = 0 et donc A = 0. ? ?? ? C ?i ? [1, n], n∑ j=1 |?ai,j | ≤ |?|N∞(A), donc N∞(?A) ≤ |?|N∞(A) Si ? 6= 0, N∞(A) = N∞( 1 ? ?A) ≤ | 1 ? |N∞(?A), donc |?|N∞(A) ≤ N∞(?A), d'ou l'egalite : |?|N∞(A) = N∞(?A) Si ? = 0, l'egalite est triviale. ? ?i ? [1, n], n∑ j=1 |ai,j + bi,j | ≤ n∑ j=1 |ai,j |+ n∑ j=1 |bi,j | ≤ N∞(A) +N∞(B), donc N∞(A+B) ≤ N∞(A) +N∞(B).

  • pn p2

  • ?a ?

  • p3 p2

  • ?e ?

  • centres sur la demi-droite ouverte

  • ?z?∞ ≤

  • norme sur mn

  • p2 p1


Publié le : lundi 18 juin 2012
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Source : cpge-brizeux.fr
Nombre de pages : 7
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Correction Devoir Libren7 PSI MATHEMATIQUES Centrale MP 2005 Epreuve II n X IA1)N(A) = 0 =⇒ ∀i[1, n],|ai,j|o.D=0`ui[1, n],j[1, n] :|ai,j|= 0 et doncA= 0. j=1 n X ∗ ∀λCi[1, n],|λai,j| ≤ |λ|N(A), doncN(λA)≤ |λ|N(A) j=1 1 1 Siλ6= 0,N(A) =N(λA)|≤ | N(λA), donc|λ|N(A)N(λAuelgo`´idta)l,:´e|λ|N(A) =N(λA) λ λ Siλviaiel.,0=l´egalit´eesttr n n n X X X ∗ ∀i[1, n],|ai,j+bi,j|| ≤ ai,j|+|bi,j| ≤N(A) +N(B), doncN(A+B)N(A) +N(B). j=1j=1j=1 Conclusion:Nest une norme surMn(C)   n n X X   IA2a)A(z) =|a1,jzj|, . . . ,|an,jzj| j=1j=1 n n X X Donc pour touti[1, n],|ai,jzj| ≤ |ai,j|kzkN(A)kzk. j=1j=1 Dou`kA(z)kN(A)kzk. kA(z)kkA(z)kn IA2b)zC− {0},N(A) doncN(Aemnsedblr´eslsee.tioSm)jaroleei0[1, n] tel kzkkzkn X |ai0,j| queN(A) =|ai0,j|et soitz0= (ε1, . . . , εn) tel queεj= 1 siai0,j= 0 etεj= sinon. On a alors ai0,j j=1   n n n n X X X X   N(A) =ai0,jεj,A(z0) =a1,jεj, . . . , an,jεjet donckA(z0)k=|ai0,j|. j=1j=1j=1j=1 kA(z0)kCommekz0k=max(1, . . . ,=1) = 1, on a donc : N(A) kz0kkA(z)kConclusion:N(A) = max kzkIA2c) Soitλ0σAtel queρ(A) =|λ0|etz0un vecteur propre tel queA(z0) =λ0z0, on a alors kA(z0)kkλ0z0k= =|λ0|=ρ(A)N(A). kz0kkz0kConclusion:ρ(A)N(A) . n IA3)Nseubesdoorneturmnoronaeme´nnla`eksurConcuestd,ce`rbaglmrdeenon:ncdoeri´etvee N(AB)N(A)N(B) . kAB(z)kN(A)kB(z)kRemarque:Onpeutaussired´emontrerceci:pourtoutznon nul,≤ ≤N(A)N(B) kzkkzket on retrouveN(AB)N(A)N(B). 11 IA4a)NQ(A) = 0 impliqueQ AQ= 0 ce qui implique queA=Q0Q= 0 1 NQ(λA) =N(Q λAQ) =|λ|NQ(A) 11111 NQ(A+B) =N(Q(A+B)Q) =N(Q AQ+Q BQ)N(Q AQ) +N(Q BQ) =NQ(A) +NQ(B). Onend´eduitqueNQest une norme. 11111 EnfinNQ(AB) =N(Q(AB)Q) =N(Q AQQ BQ)N(Q AQ)N(Q BQ) =NQ(A)NQ(B) Conclusion:NQest une norme matricielle . IA4b) Toutes les normes surMn(Cilexistentesdoncelaviuqe´tnos)α >0 etβ >0 tels queNαNQet 1 NQβN, donc pour toutA,N(A)NQ(A)βN(A). α 1 Siβα, on aN(A)NQ(A)βN(A)αN(A) etCQ=αconvient. α 1 1 1 1 Sinon on aet doncN(A)N(A)NQ(A)βN(A) etCQ=βconvient. β α β α
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  2n1 t1,1t1,2s t1,3s∙ ∙ ∙t1,ns . . . . . . 0 . . .. 1. . . . . .2 IB) On a facilementDD T S= . . . S0tn2,ns . . . . . . .. . 0tn1,ns  0... ...0tn,n n X 1ji ) = m Do`uNDS(T) =N(DST DSax(|ti,i|+Pi(|s|))o`uPi=|ti,j|ssulpuaseutpnmeˆoynol´egrdede i j=i+1 ( niere´viuq1Piteie(ieu´dutdtanvntinaclnoicr(0)nend=0.OPien 0, puis en prenants0=1in si)) qu’il ε ε existes0tel que pour touti[1, n],|Pi(s0)| ≤. Donc pout touti[1, n],|ti,i|+Pi(|s0|)ρ(T) + , car les valeurs 2 2 propres deTsont lesti,itulcnocnuoo`d: ε Conclusion:NDS(T)ρ(T) +< ρ(T) +ε 2 SoitA∈ Mn(C) alorsAesrittanogasil(elbsracscsteequtiisert´caracemoˆnylopnoriceematteunxesicnli)eodni´d 1n triangulairesup´erieureTet une matrice inversibleQtel queA=QT Q. D’autre part il existesCtel que 111 N(T)< ρ(T) +ε. Orρ(T) =ρ(A) etN(T) =N(D T Q AQns donc DSDSSDS) =N(DSDS) =NQDS(A). Poso Nε=NQDS, on a alorsNε(A) =NDS(T)< ρ(T) +ε=ρ(A) +ε Conclusion:Nε(A)< ρ(A) +ε IC) =] Soitλ0σAtel queρ(A) =|λ0|etz0un vecteur propre tel queA(z0) =λ0z0, on a alors pour tout entier k k k k k k k:kA(z)k ≤N(A)kzk. DN(A)kzk.Oneudtidne´ 0∞ ∞0ou`kλ0z0kN(A)kz0ket donc|λ0| kz0k∞ ∞0k k k k alors 0≤ |λ0| ≤N(Alim). Comme A= 0, on a limN(Aacrdmeneotontbeint:=)pte0tharor´eme`eendk→∞k→∞ k lim|λ0|= 0 ce qui n’est possible que Si|λ0|<1, donc queρ(A)<1. k→∞ 1ρ(A) =] Soitε >0 tel queρ(A) +ε <1 (par exempleεPosons enfin= ). q=ρ(A) +ε, on a donc 0< q <1. 2 k k k k Dapr`esleIB),ona0Nε(A)Nε(A)(ρ(A) +ε) =qncluqOuneco.eoec`nrmterd´ehesmrtanpdaateorl k limNε(A) = 0 k→∞ k Conclusion: limA= 0⇐⇒ρ(A)<1 k→∞
Partie II IIA1) On aGL(A) =D(4 + 3i,4)D(1 +i,1)D(5 + 6i,2 + 3)D(55i,5) et GC(A) =D(4 + 3i,2)2 + D(1 +i,4)D(5 + 6i,4)D(55i,3)
n n X X IIA2a)Z= (z1, . . . , zn) et on a les relations pour touti[1, n] :mi,jzj= 0, doncmi,izi=mi,jzj, j=1j=1,j6=i n n X X do`u:|mi,i||zi| ≤ |mi,j||zj| ≤ |mi,j|kZk=LikZk. j=1,j6=i j=1,j6=i On choisiti=p, un indice pour lequelkZk=|zp| 6= 0, on a donc : |mp,p|kZkLpkZk:u`oD.|mp,p| ≤Lp
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IIA2b) SoitλσA,M=AλIne(emt`yslcsedenoislbvnrepasiestnAλIn)Z= 0 admet une solution non nulledo`uilexistep[1, n] tel que|mp,p| ≤Lp(M) (avecLp(Mal:)mmosecavecdeIIatriunemneidee´betuua´d n n X X M). Commemp,p=ap,pλet queLp(M) =|mi,j|= (|ai,j0|) =Lp(A) =Lp, on a donc j=1,j6=i j=1,j6=i |ap,pλ| ≤Lpce qui veut direλDp(A)GL(A) Conclusion:σAGL(A) t IIA2c)λest valeur propre deASSIλest valeur propre deA, doncσA=σA. D’autre part les sommesLideA t t correspondent exactement aux sommesCideAet les sommesCideAcorrespondent exactement aux sommesLide t t A.iut´ddenOneσA=σAGL(A) =GC(A), on conclut avec le IIA2b) : t Conclusion:σAGL(A)GC(A) IIA3a)Onamontre´auIIA2a)etb)quesiµest valeur propre deA,xveunrorpeuctcossaerpistee´i|xk|=kxkalors|ak,kµ| ≤Lk, commeµest sur le bord deGL(A), on a pour toutiet donc pourk:|ak,kµ| ≥Lk. On en d´eduitque|ak,kµ|=Lkce qui veut dire que :µCk(A) . n X IIA3b) DeAx=µxnolesesilage´kee(sno´nelnsvace-i`eoordmesc:)atotnsioIIdua)A3ak,jxj=µxk, donc j=1 n n X X (µak,k)xk=ak,jxj, donc|µak,k||xk|=ak,jxj, or|µak,k|=LkIIA3esleapr`(d,))acnod j=1,j6=k j=1,j6=k n n n X X X Lk|xk|=|ak,j||xk| ≤ak,jxj≤ |ak,j||xj|uecqontd,nodeiune´d j=1,j6=k j=1,j6=k j=1,j6=k n X |ak,j|(|xj| − |xk|)0. Or pour touti, j, on aai,j6= 0, donc|ai,j|>0 et d’autre part,|xj| − |xk| ≥0 pour j=1,j6=k toutj. On doit donc avoir|xj| − |xk|= 0 pour toutj. Donc|xj|=kxkIuAIa3,)gtˆrcaaeteonobtienµCj(A) pour toutj. n \ Conclusion:µCj(A) j=1 IIA4)Commelepre´cisele´nonce´,onnoteraD=Dp(la matrice).   p2p3pn a1,1a1,2a1,3a. . . 1,n p1p1p1 p1p3pn a2,1a2,2a2,3a. . . 2,n p2p2p2 1. . . . On trouve alorsD AD=.. .. . ....   p1p2pn1 an,1an,2. . . an,n1an,n pnpnpn n X pj Onend´eduitquepourtouti[1, n],Li=|ai,j|et donc pi j=1,j6=i     n n X [ pj 111 Di(D AD) =zC,|zai,i| ≤Li=|ai,j|etGL(D AD) =Di(D AD). pij=1,j6=i i=1 1 IIA5a) Soitλσtel queρ(A) =|λ|,D AD 0A0λ0est valeur propre deAdoncλ0est aussi valeur propre dep p n X pj (meˆmepolynoˆmecaracte´ristique)etdoncdapre`sIIA2)ilexisteitel que|λ0ai,i| ≤Li=|ai,j|, donc pi j=1,j6=i n n n n X X X X pj1 1 1 |λ0| ≤ |ai,i|+Li=|ai,j|=pj|ai,j|, doncρ(A) =|λ0| ≤pj|ai,j| ≤maxpj|ai,j|et ceci pour pipipipi i=1,..,n j=1j=1j=1j=1 n X 1 toutp >0, doncρ(A) est un minorant des maxpj|ai,j|,p >nclut:edalobnriefnnooc.P0d´arnieonti i=1,..,n pi j=1 n X 1 Conclusion:ρ(A)infp>0maxpj|ai,j| pi i=1,..,n j=1 IIA5bi) Montrer que le majorant deρ(Anort`tmareeuriu´rotses´euper3/neivlage38a`delaques)´cdeneetitnorpe´
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