Corrigé des Olympiades académiques de mathématiques de première Session

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Corrigé des Olympiades académiques de mathématiques de première. Session 2005 Académie d'Aix-Marseille. Exercice 1 : C'est du vol ! Notons f le nombre de femmes, h le nombre d'hommes, h1 le nombre d'hommes déclarant avoir dansé avec 1 femme, h2 le nombre d'hommes déclarant avoir dansé avec 2 femmes, et h3 le nombre d'hommes déclarant avoir dansé avec 3 femmes. Les données de l'exercice se traduisent par : 1 2 33 2 3f h h h= + + (1) 3 1h h> (2) 2 ( ) 5 f f h< + . (3) 1 2 3h h h h= + + (4) . (3) s'écrit : 3 2f h< , soit : 1 2 33 2 2 2f h h h< + + D'après (1) et (3) : 3 1h h< . Cela contredit (2). Donc une personne au moins a menti. Exercice 2 : un pavage. Pour résoudre cet exercice, il faut partir d'un des carrés jouxtant le carré unité (en noir sur la figure) et de préférence commencer par le plus petit (carré C1). Si ce carré C1 a pour côté c, le carré C2 a pour côté c + 1, et le carré C3 a pour côté c + 2.

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Publié le : lundi 18 juin 2012
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Source : ac-aix-marseille.fr
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Corrigé des Olympiades académiques de mathématiques de première. Session 2005 Académie d’Aix-Marseille. Exercice 1 : C’est du vol ! Notons f le nombre de femmes, h le nombre d’hommes, h1le nombre d’hommes déclarant avoir dansé avec 1 femme, h2le nombre d’hommes déclarant avoir dansé avec 2 femmes, et h3le nombre d’hommes déclarant avoir dansé avec 3 femmes. Les données de l’exercice se traduisent par : 3h#2h#3h (1) 1 2 3 h h (2) 3 1 2  (f#h) .(3) 5 h h#h#h (4) 1 2 3 . (3) s’écrit :3 2h3 2, soit :h#2h#2h1 2 3 D’après (1) et (3) :h h.Cela contredit (2). Donc une personne au moins a menti.3 1 Exercice 2 : un pavage.
Pour résoudre cet exercice, il faut partir d’un des carrés jouxtant le carré unité (en noir sur la figure) et de préférence commencer par le plus petit (carré C1). Si ce carré C1a pour côtéc, le carré C2a pour côtéc + 1, et le carré C3a pour côtéc + 2. Le carré C4a pour côtéc + 3. (A chaque fois, on utilise le fait que le carré noir a pour côté1) Ceci permet de déduire que le carré C5pour côté4. (c+4 = côté de C5+ côté de C1et le côté de C1est égal à c.) Quant au carré C6il a pour côté2c + 1. (côté de C1+ côté de C2). On obtient qu’une des dimensions du rectangle initial est : (2c + 1) + (c + 1) + (c + 2) =4c + 4. Le carré C7a pour côtéc + 3 + 4=c + 7. (côté de C4+côté de C5.) Donc l’autre dimension du rectangle initial est :
(c + 7) + (c + 3) + (c + 2) =3c +12. Le dernier carré C8a pour côtéc + 7 + 4 =c + 11. (côté de C7+côté de C5) Finalement deux côtés opposés du rectangle ont pour dimensions : 4c + 4et (c + 7) + (c + 11) =2c + 18Les deux côtés étant de même longueur, on a4c + 4=2c + 18ce qui donnec=7. En conclusion, le rectangle initial a pour dimensions33unités32unités et.Exercice 3 : le lièvre et la tortue Le lièvre se déplace 363 fois plus vite que la tortue. Lorsque la tortue a parcouruune moitié du circuit, le lièvre a parcouru, lui, 363moitiés de circuit, c'est-à-dire 181 « tours complets » et un demi circuit, à l’issue duquel les deux animaux se croisent. Le lièvre a donc dépassé 181 fois la tortue (à chaque passage sur une boucle de rang pair de son parcours), et l’a croisée une fois au carrefour : ce premier demi circuit de la tortue génère donc 182 « dépassements ou croisements ». Au second demi circuit effectué par la tortue, le même raisonnement s’applique (la position initiale étant comptabilisée dans le décompte précédent), et ainsi de suite. Ainsi, chaque demi circuit effectué par la tortue génère 182 rencontres, dont 181 dépassements et un seul croisement à la fin. 2005 11´182 3Donc pour 2005 « croisements ou dépassements », la tortue aura parcouru 11 moitiés de circuit, qui auront généré 11 croisements. Exercice 4 (série S) : un ennéagone. A
B
C'
F
A"
C"
A'
E
H
B'
B"
G
C
1.Les points A, C’’ et B sont alignés dans cet ordre. Les points A, B’ et C sont alignés dans cet ordre. AC" 1 AB' 1 1AB 3 AC D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droitesB ' C"etBCsont parallèles. AB ' C ''E est l’orthocentre du trianglesont, parcar les droitesB ' Eet C'' E construction, deux hauteurs de ce triangle. AE estla troisième hauteur de ce triangle, doncAE^.B ' C" AE!^B ' C '' ^ .AE BC. On en déduit que (B ' C ''!//(BC! 2.C ''et B sont alignés.Les points A, Les points A, E et H sont alignés. BH //(C"E carAC .elles sont toutes deux perpendiculaires à AE AC"1 D’après le théorème de Thalès,1. AH AB 3 1 AC"EB 'Le quadrilatèreABHC .du quadrilatèreest donc une réduction de rapport 3 1 1 Donc :aire(AC"EB '!1aire(ABHC!1aire(ABC!%aire(BHC!. 9 9 Par raisonnement analogue, on montre que : 1 1 aire(BA "FC '!1aire(BCHA!1aire(ABC!%aire(AHC!, 9 9 1 1 aire(CB"GA '!1aire(CAHB!1aire(ABC!%aire(AHB!. 9 9 Par addition, il vient : aire AC"EB' +aire BA"FC '+aire CB"GA' 1 13´aire(ABC!%aire(BHC!%aire(AHC!a%ire(AHB!9 1 2 13´aire(ABC!%aire(ABC!1aire(ABC!.   9 9 L’aire de l’ennéagoneA'A''F C'C''E B'B''Gest complémentaire de l’aire précédente dans le triangle(ABC . 7 On en déduit :aire(A'A''F C'C''E B'B''G!1aire(ABC!. 9
Exercice 4 (autres séries) : volumes. Question 1:schémas non reproduits ici. Question 2 : 1 est le plus petit des t VArois nombres positifsVA, VBet VCle plus grand desdonc est V A 1 11 nombres ,et . V VV A BC 2 22 1 1 1Répondre à la question posée revient donc à montrer que :# 1et à     V VV B C Aconclure par la réciproque du théorème de Pythagore. 2 2 1 39 1 1 2 42 VpAH²(BH#HC!pAH BC    A car le solide de volume VAest la réunion de deux cônes de révolution de hauteurs respectives BH et HC.2 2 2  139 19 1 1; de même :1.   2 4 2 2 4 2 VpAB²ACpAB ACVpAC AB B C2 22 2 #   AC9 AB 1 19 9 # 1# 1.   2 4 22 4 22 4 4 V VpAB ACpAC ABpAC AB B C2 2 2 ABC est un triangle rectangle en A. D’après le théorème de Pythagore,AB#AC1BC. AB ACBC´AH D’autre part :1. (Il s’agit de deux expressions de l’aire du triangle 2 2 ABC.) 4 44 4 D’oùAB´AC1BC´AH. Il vient : 2 22 22 2 9 AB#AC     1 19BC 91 # 11 1 1.   2 42 4 42 44 2  V VpAC ABpBC AHpVBC AH B C A1 1 D’après la réciproque du théorème de Pythagore, un triangle de longueurs de côtés, V V A B 1 et estun triangle rectangle. V C
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