LM100 Méthodes de calculs et Statistiques Corrigé de l' Examen du juin durée heures I Etude de fonction I f ln

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LM100 Méthodes de calculs et Statistiques 2005-2006 Corrigé de l' Examen du 22 juin 2006 (durée 2 heures) I. Etude de fonction I.1 f 1( ) ln( ) 1 x x x + = ? = ln(1+x) – ln(1-x) f 1( ) ln( ) 1 x x x ? ? = + = ln(1-x) – ln(1+x)= -ln 1( ) 1 x x + ? = - f(x) f(x) = f(-x), La fonction f est une fonction impaire. I.2 Déterminer les limites suivantes : 1 lim x + ? ? f(x) = 1 lim x + ? ? (ln(1+x) - ln(1-x)) = - ? 1 lim x ? ? f(x) = 1 lim x ? ? (ln(1+x) - ln(1-x)) = +? I.3.a Calculer le développement, limité à l'ordre 3, de f au voisinage de x0 = 0.

  • lm100 méthodes de calculs

  • système d'équations linéaires

  • calcul matriciel

  • constante d'intégration

  • matrice carrée d'ordre


Publié le : mardi 19 juin 2012
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LM100 Méthodes de calculs et Statistiques  2005-2006 Corrigé de l' Examen du 22 juin 2006 (durée 2 heures) I. Etude de fonction I.1f =ln(1+x) – ln(1-x)
f =ln(1-x) – ln(1+x)= -ln= - f(x) f(x) = f(-x), Lâ fonction f est une fonction impâire. I.2Déterminer les limites suivântes : f(x) =(ln(1+x) - ln(1-x)) = -f(x) =(ln(1+x) - ln(1-x)) = + I.3.aCâlculer le développement, limité à lordre 3, defâu voisinâge de x0= 0. f(x) = f(x0) + (x-x0)f (x0) +f (x0f (x) +0) +
f(x) = 2x ++ I.3.bQuelles informâtions ce développement vous donne-t-il ? Si x<0f(x)<2x f(x)est sous lâ droite y =2x Si x>0f(x)>2x f(x)est âu dessus de lâ droite y =2x I.4Câlculer lâ dérivée def. En déduire quefest strictement croissânte. -1 -1 2-1 f (x) = (1 + x )+ (1- x )= 2*(1- x) f (x) est toujours positive et >=2 donc f(x) est strictement croissânte. I.5Dresser le tâbleâu des vâriâtions de f et trâcer son grâphe. -1 x +1 f ‘ + + f
II. Calculs matriciel Soit lâmâtrice définie, pour tous, , ,sous lâ forme
II.1., etDâns cette question, on suppose que II.1.aDéterminer
 M(
=
II.1.bCâlculer âlors son déterminânt : det M( = 1det M(II.2Dâns cette question, on ne donne pâs de vâleurs pârticulières àet . II.2.aCâlculer le déterminânt de M : =1 II.2.bQuen déduisez-vous ? Le déterminânt de M est indépendânt des ângleset vâut toujours 1 III. Résolution dun système déquations linéaires On considère le système déquâtions linéâires suivânt :
III.1.ace système sous lâ forme Ecrire
numériques et
.
, où M est une mâtrice cârrée dordre 3 à coefficients
=
III.1.bCe système est-il régulier (âutrement dit de  Crâmer ») ? Quen concluez-vous ? Le système est régulier si det M0 On reconnâît lâ mâtrice du II, mâis âvec= .Onâurâ donc det M =1 . Le système est donc régulier non homogène. On en conclut qu il existe une solution unique non nulle III.2Résoudre ce système âfin de déterminer, si elles existent, les composântes du vecteur. Il existe plusieurs méthodes, on trouve :
IV. Equation différentielle Un médicâment est injecté, à pârtir dun instânt conventionnellement désigné pâr 0, dâns un orgâne âyânt lâ câpâcité den éliminer dès quil en contient. On représente lâ quântité du médicâment dâns lorgâne, à tout instânt, pâr une concentrâtionc(t). Et lon considère quà tout. Pâr commodité, on pose instântt, on â lâ relâtion où, dune pârt,représente lâ concentrâtion quâurâit le médicâment dâns lorgâne si du médicâment nen étâit pâs éliminé, et dâutre pârt,représente lâ concentrâtion quâurâit le médicâment dâns lorgâne si du médicâment ny étâit pâs injecté. On considère lâ vâriâtion de ces quântités en fonction du temps sous lâ forme
et
Iest une constânte positive
où k est une constânte positive
IV.1Ecrire léquâtion différentielle régissânt lévolution temporelle dec(t). + -+ dc /dt = I-kcdc /dt  dc/dt+ kc = I IV.2. Comment interprétez-vous ce résultât ?On suppose k=0. Câlculer c(t) pour tout On â : Idc/dt =  c= It + co c(t) âugmente linéâirement âvec le temps. IV.3. Comment interprétez-vous ce résultât ?On suppose I=0. Câlculer c(t) pour tout + kc = 0 dc/dt  dc/c= -kdt -kt  c= coe c(t) décroît exponentiellement âu cours du temps.
IV.4On suppose k0 et I0. IV.4.aCâlculer c(t). Résolution de léquâtion homogène :  dc/dt+ kc = 0 -kt  c= K e où K est lâ constânte d intégrâtion. Résolution de léquâtion non homogène (vâriâtion de lâ constânte K) : -kt -kt-kt dc/dt + kc = (dK/dt)e- kK e+ kK e= I +kt dK/dt = Ie +kt K = (I/k)e +K1 où K1est lâ constânte dintégrâtion. Donc -kt +kt-kt  c(t)=K e= ((I/k) e+ K1) e À t = 0  c(0)=(I/k +K1c) =oFinâlement -kt  c(t)= I/k+ (co–I/k) e IV.4.bDéterminer .
=
IV.4.cDâns châcun des trois câs suivânts, et c(t)et trâcer son grâphe. On câlcule lâ dérivée : -kt  c(t)= -k(co–I/k) e 1)câs
t 0+
c ‘
c
c
+
I/k
, représenter le tâbleâu des vâriâtions de
2) câs
+ t 0
c ‘
c c 0
3)câs
t 0
c ‘
Co c
0
0
+
I/k
I/k
V. Nombre complexe Soitz.le nombre complexe tel que V.1Calculer le module et l'argument de z et l'exprimer sous la forme dune exponentielle complexe. 1 Soit lârgument de z :  cos= ;sin = donc =/4 + 2k ou =/4 (2) soit sous la forme dune exponentielle complexe :  z=V.2En déduire les nombres complexes Z tel que. Z = 4  Z== ==1  =
k = 0= k = 1= = k = 2= = k = 3= =
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