MESURE, INTEGRATION, PROBABILITES

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MESURE, INTEGRATION, PROBABILITES Thierry Gallouët Raphaèle Herbin 1er février 2012
  • moments des variables aléatoires
  • conséquence de la théorie
  • théorie de l'intégration
  • théorie de l'intégration donnant des théorèmes de convergence efficaces
  • théorème de radon-nikodym
  • espace de banach
  • espaces de banach
  • convergence
  • probabilités
  • probabilité
  • normes
  • norme
  • théories
  • théorie
Publié le : lundi 26 mars 2012
Lecture(s) : 1 967
Source : cmi.univ-mrs.fr
Nombre de pages : 527
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MESURE, INTEGRATION, PROBABILITES
Thierry Gallouët Raphaèle Herbin
er1 février 2012Table des matières
I Cours et exercices 6
1 Motivation et objectifs 7
1.1 Intégrale des fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Insuffisance de l’intégrale des fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Les probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Structure du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Tribus et mesures 18
2.1 Introduction... par les probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.1 Cas d’un problème “discret" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.2 Exemple continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Tribu ou algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Mesure, probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4 mesure signée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5 La mesure de Lebesgue sur la tribu des boréliens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.6 Indépendance et probabilité conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.6.1 Probabilité conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.6.2 Evènements indépendants, tribus indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.6.3 Probabilités sur les boréliens deR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.7.1 Tribus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.7.2 Mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.7.3 Probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3 Fonctions mesurables, variables aléatoires 52
3.1 Introduction, topologie surR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52+
3.2 Fonctions étagées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3 F mesurables et variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4 Mesure image, loi d’une v.a., v.a. indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.5 Convergence p.p., p.s., en mesure, en probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
14 Fonctions intégrables 74
4.1 Intégrale d’une fonction étagée positive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.2 d’une mesurable positive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.3 Théorème de convergence monotone et lemme de Fatou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.4 Mesures et probabilités de densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.4.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.4.2 Exemples de probabilités de densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
14.5 L’espaceL des fonctions intégrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
14.6 LL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
14.7 Théorèmes de convergence dansL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
14.7.1 Convergence presque partout et convergence dansL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.7.2 Série absolument convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90R
4.8 Continuité et dérivabilité sous le signe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.9 Espérance et moments des variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
1 14.10 EspaceL (E;T;m) et espaceL (E;T;m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96NC R
4.11 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
14.11.1 Intégrale des fonctions mesurables positives et espaceL . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
14.11.2 L’espaceL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.11.3 Espérance et moments des variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5 Mesures sur la tribu des boréliens 110
5.1 L’intégrale de Lebesgue et l’intégrale des fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.2 Mesures abstraites et mesures de Radon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.3 Changement de variables, densité et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.4 Intégrales impropres des fonctions deR dansR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
p6 Les espacesL 127
6.1 Définitions et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
p6.1.1 Les espacesL , avec 1p< +1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
16.1.2 L’espaceL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
p6.1.3 Quelques propriétés des espacesL ; 1p +1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
26.2 Analyse hilbertienne et espaceL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6.2.1 Définitions et propriétés élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6.2.2 Projection sur un convexe fermé non vide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.2.3 Théorème de Représentation de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.2.4 Bases hilbertiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
p6.3 Dualité dans les espacesL , 1p1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.3.1 Dualité pourp = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.3.2 pour 1p1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
6.3.3 Théorème de Radon-Nikodym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6.4 Convergence faible, faible-?, étroite, en loi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.4.1 Convergence faible et faible-? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
6.4.2 Convergence étroite et convergence en loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
6.4.3 Lois des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
p6.5.1 EspacesL , 1p1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
226.5.2 Espaces de Hilbert, EspaceL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
p6.5.3 Théorème de Radon-Nikodym et Dualité dansL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
6.5.4 Convergence faible, faible-?, étroite, en loi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
7 Produits d’espaces mesurés 195
7.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
7.2 Mesure produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
7.3 Théorèmes de Fubini-Tonelli et Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
N7.4 Mesure de Lebesgue sur la tribu des boréliens deR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
7.5 Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
7.6 Formules de changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
7.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
7.7.1 Mesure produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
7.7.2 Fubini-Tonelli et Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
N7.7.3 Mesure de Lebesgue surB(R ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
7.7.4 Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
7.7.5 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
8 Densité, séparabilité et compacité 221
p8.1 Théorèmes de densité pour les espacesL ( ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
p8.1.1 Densité des fonctionsC ( ;R) dansL ( ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221c
8.1.2 Régularisation par convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
1 p8.1.3 Densité deC ( ;R) dansL ( ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224c
p8.2 Séparabilité deL ( ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
p8.3 Compacité dans les espacesL ( ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
8.4 faible-? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
8.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
9 Vecteurs aléatoires 231
9.1 Définition, propriétés élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
9.2 Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
9.3 Vecteurs gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
9.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
9.4.1 Définition, propriétés élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
9.4.2 Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
9.4.3 Vecteurs gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
10 Transformation de Fourier 243
10.1 Introduction et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
110.2 Transformation de Fourier dansL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
10.2.1 Définitions et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
10.2.2 Théorème d’inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
10.2.3 Régularité et décroissance à l’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
10.3 Transformée de Fourier d’une mesure signée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
210.4 Transformation de Fourier dansL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
10.5 Résolution d’une EDO ou d’une EDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
10.6 Fonction caractéristique d’un vecteur aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
10.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
3110.7.1 Transformation de Fourier dansL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
10.7.2 Transformée de Fourier d’une mesure signée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
210.7.3 T de Fourier dansL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
10.7.4 Fonction Caractéristique d’une v.a.r. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
11 Espérance conditionnelle et martingales 263
11.1 Espérance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
11.2 Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
11.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
11.3.1 Espérance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
11.3.2 Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
II Corrigés d’exercices 279
12 Motivation et objectifs 280
13 Tribus et mesures 292
13.1 Tribus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
13.2 Mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
13.3 Probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
14 Fonctions mesurables, variables aléatoires 323
14.1 Fonctions mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
15 Fonctions intégrables 347
115.1 Intégrale surM et surL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347+
115.2 EspaceL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
15.3 Espérance et moments des variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
16 Mesures sur la tribu des boréliens 390
p17 Les espacesL 404
p17.1 EspacesL , 1p1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
217.2 de Hilberts, espaceL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
p17.3 Théorème de Radon-Nikodym et Dualité dansL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
17.4 Convergence faible, faible-?, étroite, en loi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445
18 Produits d’espaces mesurés 467
18.1 Mesure produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
18.2 Fubini-Tonelli et Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470
N18.3 Mesure de Lebesgue surB(R ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474
18.4 Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483
18.5 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486
p19 Densité, séparabilité et compacité dansL 493
420 Vecteurs aléatoires 501
20.1 Définition, propriétés élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501
20.2 Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502
20.3 Vecteurs gaussiens, théorème central limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508
21 Transformation de Fourier 510
121.1 Transformée de F dansL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510
21.2 T de Fourier d’une mesure signée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512
21.3 Fonction caractéristique d’un v.a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513
22 Espérance conditionnelle et martingales 518
22.1 Espérance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518
22.2 Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525
5Première partie
Cours et exercices
6Chapitre 1
Motivation et objectifs
Nous commençons par donner ici un aperçu des motivations de la théorie de l’intégration, en montrant d’abord les
limitations de l’intégrale des fonctions continues (sur un intervalle compact deR). L’intégrale de Riemann possède
essentiellement les mêmes limitations.
1.1 Intégrale des fonctions continues
Nous présentons ici quelques rappels sur l’intégrale des fonctions continues sur un intervalle compact deR. Nous
montrons pourquoi cette théorie de l’intégrale des fonctions continues semble insuffisante.
Nous nous limitons à l’étude des fonctions définies sur l’intervalle [0; 1] à valeurs dansR. Nous allons en fait
définir l’intégrale des fonctions réglées (on appelle fonction réglée une fonction qui est limite uniforme d’une
suite de fonctions “en escalier"). Ceci nous donnera l’intégrale des fonctions continues car toute fonction continue
est réglée (voir l’exercice 1.2). La définition de des réglées (comme celle de l’intégrale de
Riemann, qui sera rappelée dans l’exercice 5.3, et celle de l’intégrale de Lebesgue) peut être vue en 3 étapes, qui,
ici, s’écrivent :
1. Mesurer les intervalles de [0; 1]. Pour 0 1, on posem(];[) =

Les commentaires (1)
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doumagoum.djimtourbaye.doumagoum

je choisis ca ma reussite

mercredi 4 mars 2015 - 08:47