PCSIB TD7 Mouvement force centrale

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PCSIB TD7 Mouvement à force centrale 2011-2012 Eléments de correction du TD7 2 Equation de la trajectoire à partir des formules de Binet Considérons un point matériel M , de vitessse ~v et d'accélération ~a en mouvement dans un référentiel galilén. M soumis à une force centrale de centre O ~f = f(r) ~ur avec r = OM et ~ur = ??? OM r . 1. On a ~v = vr ~ur + v? ~u?, avec vr = r˙ et v? = r?˙ = 1u ?˙. Or C = r2?˙ = ?˙u2 , donc ?˙ = Cu2 et v? = Cu De plus, vr = r˙ = dr dt = dr d? d? dt = dr d? Cu2 = d 1u d? Cu2 = ? 1 u2 du d? Cu2 soit vr = ?C dud? Finalement, ~v = ?C dud? ~ur + Cu ~u? donc ~v = C(?dud? ~ur + u ~u?) On a ~a = d~v dt = (r ? r?˙2) ~ur + (2r˙?˙ + r?) ~u? = ar ~ur + a? ~u? Donc a? = 1r (2rr˙?˙ + r 2?) = 1r d dt(r 2?˙).

  • expression précédente de em

  • d?2

  • pcsib td7

  • force centrale

  • diminution globale de l'énergie

  • d?

  • ?c d2u

  • ?c dud?


Publié le : lundi 18 juin 2012
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PCSIB
TD7 Mouvement À force centrale
ElÉments de correction du TD7
2011-2012
2Equation de la trajectoire À partir des formules de Binet ConsidÉrons un point matÉrielM, de vitessse~vet d’accÉlÉration~aen mouvement dans un rÉfÉrentiel galilÉn. −−→ OM ~ Msoumis À une force centrale de centre Of=f(r)u~ravecr=OMetu~r=. r 1. Onav~=vru~r+vθu~θ, avec vr=r˙ ˙ ˙ 1 etvθ==θ. u ˙ 2θ ˙ OrC=r θ=2, donc u ˙ 2 θ=Cuetvθ=Cu De plus, vr=r˙ dr = dt dr dθ = dθ dt dr 2 =Cu 1 d u2 =Cu 1du 2 =Cu 2 u dθ soit du vr=C du Finalement,v~=C~ur+Cu u~θdonc du v~=C(u~r+uu~θ) On a d~v ~a= dt 2 ˙ ˙¨ = (r¨)u~r+ (2r˙θ+)u~θ =aru~r+aθu~θ ˙ ¨˙ ˙˙ 1 21d2 2d2 Doncaθ= (2rr˙θ+r θ) =(r θ). Commer θ=C,(r θ) = 0doncaθ= 0(ce que l’on r rdt dt retrouve avec le PFD : il n’y a pas de composantes de forces selonu~θ). Dans un mouvement À force centrale, l’accÉlÉration est purement radiale :
2 ˙ ~a= (r¨)u~r
On a 1 2 22 ˙ = (Cu) u 2 3 =C u D’autre part, 2 d r r¨ = 2 dt d dr = () dt dt d du = (C) dt dθ d du =C( ) dt dθ 2 d u=C 2 dθ dt 2 d u 2 =C Cu 2 2 d u 2 2 =C u 2 Finalement, 2 2 2d u ~a=C u(2+u)u~r K2 ~ 2. Laforcefest une force centrale newtonienne :f(r) =2=Ku. Le PFD en projection r suru~rpermet d’Écrire 2 2 2d u2 mC u(2+u) =Ku Ainsi, 2 d uK 2+u=2 dθ mC 3. Onretrouve une Équation diffÉrentielle linÉaire du second ordre À coefficients constants. La K solution est de la formeu=2+Acos (θθ0)avecAetθ0deux constantes d’intÉgration. mC 1 Commeu=, on a donc r p r= 1+ecos (θθ0) 2 2 mC mCA avecp=ete= =pA. On retrouve donc bien l’Équation d’une conique. K K 6Satellite freinÉ par l’atmosphÈre ˙ 1. Unsatellite est un orbite circulaire de rayonrautour de la Terre. On a alorsv~=rθu~θ=vu~θ. ˙ 2ste CommeC=r θ=rv=c, on en dÉduit quevest constante : le mouvement est circulaire 2 d v uniforme. Ainsi,~a= (vu~θ) =u~r. dt r 2 GmMTv GmMT Le PFD donnem~a=2u~rdonc en projection suru~r,m=2donc r rr 2GMT v= r GMTm1 2 1GMTm On a doncEp=etEc=mv=. Ainsi, r2 2r 1 Ec=Ep 2
GMTm Finalement,Em=. 2r GMTm 2. On aEm=Em0(1 +αt)avecEm0=etr0le rayon initial. Comme on suppose 2r0 GMTm que la trajectoire reste circulaire, on utilise l’expression prÉcÉdente deEmdonc= 2r GMTm (1 +αt)soit 2r0 r0 r= 1+αt Commeα >0,rdiminue avec le temps. 2GMT 3. Onav=doncvaugmente au cours du temps. r Finalement,Ecaugmente maisEpdiminue deux fois plus vite, on a bien une diminution globale de l’Énergie.
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