Université Joseph Fourier MAT Devoir la maison n

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Université Joseph Fourier - MAT 231 - 2008-2009 Devoir à la maison n?2 Ce devoir est à rendre en TD la semaine n?43 (Lundi 20/10 - Vendredi 24/10). Exercice 1 Soit K un corps commutatif, et Mn(K) l'ensemble des matrices carrées d'ordre n à coefficients dans K. Soit A = (aij) un élément de Mn(K). On rappelle que la trace de la matrice A est la somme de ses éléments diagonaux : trace(A) = n ∑ i=1 aii. 1. Montrer que l'application trace est une forme linéaire sur Mn(K). 2. Montrer que pour toutes matrices A et B de Mn(K) : trace(AB) = trace(BA). (1) 3. Montrer que deux matrices semblables1 ont même trace. 4. Montrer qu'il n'existe pas d'endomorphismes u et v d'un espace vectoriel E de dimension finie tels que u ? v ? v ? u = IdE . 5. Montrer que les endomorphismes de K[X], u : P 7? P ? et v : P 7? XP satisfont l'égalité précédente : u ? v ? v ? u = IdK[X]. 6. Montrer que les formes linéaires surMn(K) vérifiant (1) sont de la forme ? trace, avec ? ? K.

  • réel

  • réelle pourx réel

  • récurrence

  • application linéaire d'unik-espace vectoriel sur le corps de base ik

  • xpn ?


Publié le : mardi 19 juin 2012
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Université Joseph Fourier - MAT 231 - 2008-2009
◦Devoir à la maison n 2
◦Ce devoir est à rendre en TD la semaine n 43 (Lundi 20/10 - Vendredi 24/10).
Exercice 1
Soit K un corps commutatif, et M (K) l’ensemble des matrices carrées d’ordre n à coefficientsn
dans K. Soit A = (a ) un élément de M (K). On rappelle que la trace de la matrice A est laij n
nX
somme de ses éléments diagonaux : trace(A) = a .ii
i=1
1. Montrer que l’application trace est une forme linéaire surM (K).n
2. Montrer que pour toutes matrices A et B deM (K) :n
trace(AB) = trace(BA). (1)
13. Montrer que deux matrices semblables ont même trace.
4. Montrer qu’il n’existe pas d’endomorphismes u et v d’un espace vectoriel E de dimension
finie tels que u◦v−v◦u = Id .E
′5. Montrer que les endomorphismes de K[X], u : P 7! P et v : P 7! XP satisfont l’égalité
précédente : u◦v−v◦u = Id .K[X]
6. Montrer quelesformeslinéaires surM (K)vérifiant (1) sontdela formeλ trace, avecλ∈K.n
Problème
On considère la suite de polynômes (P ) dansR[X] définie par :n n∈N
1 2 ′P = 1, et∀n∈N,P = 2XP − (1+X )P .0 n+1 n nn+1
1. (a) Calculer P et P .1 2
n(b) Montrer que pour tout entier naturel n, deg(P )≤ n. On note a le coefficient de Xn n
dans P .n
n+2
(c) Montrer que pour tout entier naturel n, a = a . En déduire que a = n + 1.n+1 n n
n+1
Que dire alors du degré de P ?n
n2. Montrer que pour tout entier naturel n, P (−X) = (−1) P (X); que dire alors de la paritén n
du polynôme P ?n
′3. (a) Montrer que pour tout entier naturel n, P = (n+2)P .nn+1
n(b) Montrer que pour tout entier naturel n, P (0) = 0 et P (0) = (−1) .2n+1 2n
Z x
(c) Déduire de ce qui précède que : ∀x ∈ R,P (x) = P (0) + (n + 2) P (t)dt.n+1 n+1 n
0
Calculer ainsi P et P .3 4
24. (a) Montrer que pour tout entier naturel n, P −2XP +(1+X )P = 0.n+2 n+1 n
1Deux matricesA etB deM (K) sont dites semblables s’il existe une matriceP dansM (K), inversible, tellen n
−1queB =P AP.(b) Soit x∈R et u = P (x). Exprimer u en fonction de n et x.n n n
N(Indication : considérer le sous-espace vectoriel de C des suites complexes vérifiant
2u = 2xu −(1+x )u , et en chercher une base composée de deux suites géomé-n+2 n+1 n
triques.)

1 n+1 n+1(c) En déduire que pour tout entier naturel n, P = (X +i) −(X−i) .n
2i
5. (a) Montrer que le polynôme P admet n racines réelles (que l’on déterminera).n
(b) Factoriser le polynôme P (dansR[X]).n
(c) Calculer la somme et le produit des racines de P (on discutera suivant la parité de n.)n–n 2
A = (a ) B = (b )ij ijPn
AB =(c ) c = a bij ij ik kjk=1
Eij
i j
E ;i = 1:::n;j = 1:::n M (IK)ij nP
A=(a ) A= a Eij ij iji;j
– – = 0 i = j – = 1ij ij ii
E E =– Eij kl jk il
IK
IK
M (IK) IKn
A = (a );B = (b ) A+B = (d )ij ij ij
d =a +bij ij ij
A = (a ) ‚2 IK ‚¢A = (f )ij ij
f =‚aij ij
trace M (IK)n
IK
trace(A)2IK
P P Pn n n
trace(‚¢A+„¢B)= ‚a +„b =‚ a +„ b =‚trace(A)+„trace(B):ii ii ii iii=1 i=1 i=1
trace IK
P Pn n
AB =(c ) BA=(d ) c = a b d = b aij ij ii ik ki ii ik kik=1 k=1
n n n n n nX XX XX X
trace(AB)= c = a b = b a = d =trace(BA):ii ik ki ki ik kk
i=1 i=1 k=1 k=1 i=1 k=1
A B P
¡1B =P AP
¡1 ¡1trace(B)=trace(P AP)=trace(AP P)=trace(AI )=trace(A):n
E u
v E u–v¡v–u=Id B E A uE
B B v B AB u–v BA
v–u trace(AB¡BA)=trace(Id )=nE
trace trace(AB¡BA) = trace(AB)¡trace(BA) = 0
P 2IK[X]
0 0 0 0
(u–v¡v–u)(P)=u(v(P))¡v(u(P))=(XP) ¡XP =XP +P ¡XP =P:
u–v¡v–u=IdIK[X]
IK[X]
‚trace ‚2IK
IK (1)
’ IK (1)
’(E E )=– ’(E )=’(E E )=– ’(E ):ij kl jk il kl ij li kj
i=l ’(E )=0 i;j ’(E )=’(E )il ii jj
i=l j =k ‚ ’(E )ii
n nX X X X
’(A)=’( a E )= a ’(E )= a ’(E )=‚ a =‚trace(A):ij ij ij ij ii ii ii
ij ij i=1 i=1
’=‚trace
etteespacemaisonvleectorielg?n?riquel'additionformedeendimension.nie,3.etquedeuxformeendomorphismes..etpr?c?den:Notonsdeletesdetels?l?mentairque(anarsuivone?rationss?ropNouslesl'applicationec231vcacomm,?sultatsIci,uneestsi.lesSoitacsur6.unevabaseildelaectorielexterne).siNotonst,vckerlaetmatriceEndeSiespacecdansprouvlaourbaseestunpetDeveluiExercicelacicmatriceildeessentielquiedansleslal'exprm?medubaseprseave.ConclusionAlorsosonstrunestvelainniematricedansdequeouveles:D'abEt?videnetapplication.ultiplicationsurscalairecelleestdesurla?rianligneR?ciproetp.surOn?rianauraitKrdoncole:alorsla.cbienolonnev.anoniqued?nition,.aronsP-.queL'ensemblequedes,dans:matricetestout?l?mentair-es?,Corrig?est(prendredeet.dansOr,Onl'applicationvlin?airedesapplication:un:ctdeuxlin?aire,suivantseesest.lalin?airematricesteConclusiondontmatrictousduitles,?l?ments.sontonuls,desaufquecSupp?l?mentairestes.espLeactorielmatricdimensione!?l?mentairC'estdeuxcmatricquestionesl'onqu'ilutiliserexistematricesabes.outitord?estunetcontoutetradiction.de5.formeSoitparosonsunSupp(loi4.)(loiunedelin?airecomp:ositionv.tOn.calculequemen:soitinuneterne)lin?aire:d?nisiv.tbase.deUnivcorpsdelesymbsur,ectorielnotantversit?-espace:d'unJosephlin?aire,applicationauneec,dealorsFestaselin?aireourierformedevqu'unedoncelleerrappOnOnd?duit1.patoutv6ecb.la:uneobtientDonc:MAtequepr?c?denourquestionTla,D'apr?s2008-2009.oironla,-,et61siPour;etqueexertellee,Onl'?galit?ate).doncnoterabienla:aleurersibleunevfautinlementmatriceAlorsuneAinsi.Soitonna?trblables.lessemrtetsonsurlamatricet:m2.matrices.surLformeesbiendeuxessionquestions:prterme?d'unece?odentes:neetsontalorspcasenprcduitontr:adiction:.On.?tan2 0 1 2 0 2 2P =2XP ¡(1+X )P =2X P =2XP ¡ (1+X )P =4X ¡(1+X )=1 0 2 10 12
23X ¡1:
n deg(P )•nn
0deg(P ) = 0 deg(P )• n n deg(P )• n¡10 n n
2 0deg((1+X )P )•n+1 deg(2XP )•n+1 deg(P )•n+1n n+1n
8n2 ;deg(P )•nn
n n n+1 n+1X P a X X 2XP 2a Xn n n n
nan+1 1 2 0 1 nX ¡ (1+X )P ¡ na a =2a ¡ =n n+1 nnn+1 n+1 n+1
n+2a a =1 n a =n+1 nn 0 nn+1
ndeg(P )• n Xn
deg(P )=n n+1n
nP (¡X)=(¡1) P (X)n n
n=0
nn P (¡X)=(¡1) P (X)n n
0 n 0¡P (¡X)=(¡1) P (X)n n
1 2 0P (¡X) = 2(¡X)P (¡X)¡ (1+(¡X) )P (¡X)n+1 n n
n+1
1n+1 2 n+1 0= (¡1) 2XP (X)¡ (1+X )(¡1) P (X)n nn+1
n+1= (¡1) P (X):n+1
P nn
0n P =(n+2)Pnn+1
0n=0 P =2=2P01
0n P =(n+2)Pnn+1
‡ ·010 2 0P = 2XP ¡ (1+X )Pn+1n+2 n+1n+2
‡ ·0
2= 2XP ¡(1+X )Pn+1 n
0 2 0= 2P +2XP ¡2XP ¡(1+X )Pn+1 nn+1 n
2 0= 2P +2X(n+2)P ¡2XP ¡(1+X )Pn+1 n n n
2 0= 2P +(n+1)(2XP )¡(1+X )Pn+1 n n
= 2P +(n+1)P =(n+3)P :n+1 n+1 n+1
0n P =(n+2)Pnn+1
0 Pn
1 0
P (0)=¡ P (0):n+2 n+1n+2
0P (0) (n+2)P (0)nn+1
P (0)=¡P (0):n+2 n
P (0)=0 P (0)=0;8k21 2k+1
P (0) = 10
kP (0)=(¡1) ;8k22k
Rx 0 08x2R;P (x)=P (0)+ P (t)dt P (n+2)Pn+1 n+1 nn+1 n+10
R Rx x 2 38x2R;P (x)=P (0)+4 P (t)dt= (3t ¡1)dt=4(x ¡x):3 3 20 0
3 3P = 4(X ¡X) P ¡4(X ¡X)3 3
R Rx x 3 4 2P (x) = P (0)+5 P (t)dt = 1+20 (t ¡t)dt = 1+5x ¡10x4 4 30 0
4 2P =5X ¡10X +14
0P (n+2)P Pn n+2n+1
enttlaetsuitelalatermeenProbl?me,leonIobtienm?metdonc:suttr?currencealuanul,?vetEnp(b)le.racines,dansnaturelLetiertierensurtout(a)our.pOnquecor?currencedepardeUtilisanentenla:questionppr?c?densurte,aonestremplacecons?quen?tablietaestonI:;Conclusionppar.r?currence.deonoth?sed?nitionyppropri?t?l'hpropri?t?encoretrer?currence)..tDonc(etdenonoth?seecienyptrerl'hvienutilis?Cetteafonctionsonariable.l'?galit?:for-tierOnCommetouten(Justicationcertainolyn?meunparour,pinnit?,donconul).en.d?duit,(r?currencetermeimm?diate)dans:doncvraieensoit.propri?t?Conclusionr?currencepart,dealorsosonsunSupp,vraie.eet,estpropri?t?propri?t?parla(a)IremplacerN.aDedansm?me,r?currencecommeest:La,:ourlaPpar.d?mon,2.onestendominand?duitecien(r?currenceson?doncpneineestmoinstimm?diate)co:que:monpropri?t?tlaonsurquer?currence?galit?partretreded?monvOnr?elle(a)traine3.des.olyn?mestiermelsIsaitN.N.(c)dansOnoura,::l'enpquequeparit?r?currencem?med?duitaonolyn?meCommepunelede:r?elles,Conclusionil:nD'o?De.::ttparobtienestonen?galit?,lecetteesttenanled?riv,Endans.terme:(c)tierNen:certain.,,puisd'autreondoncremplace,unenourourpsivraiedoncpar,soitEnqu'elle:osonslaSuppr?currence.treour4.pilourderelationd?mond?nissan(b)obtenirparlaetformOnule1.demand?e.laAinsipar:depvraieque.lax2R u =P (x)n n
2E =fu2 ;u = 2xu ¡(1+x )u g: En+2 n+1 n
2
2
E u2 E (u ;u )0 1
E
E v
n n+2r =0 v =1 v =r v2E 8n2 ;r =0 n
n+1 2 n 2 22xr ¡(1+x )r r ¡2xr+(1+x )=0
r =x+i r =x¡i1 2
E v w
n nv = r w = r En n1 2
‚ „ ‚v +„w = 0
8n2 ;‚v +„v =0 n=0 ‚v +„w =0 ‚+„=0n n 0 0
n=1 ‚v +„w =0 ‚r +„r =01 1 1 2
‚ „
‡ ·‡ ·
1 1 ‚
=0:
r r „1 2
r ¡r r2 1 1
r2
‚=„=0
fv;wg E 2
E E
E u
v w ‚ „
u=‚v+„w u =‚v +„w u =‚v +„w0 0 0 1 1 1
‡ ·‡ · ‡ ·
1 1 ‚ 1
= :
r r „ 2x1 2
1¡ix 1+ix‚= „=2 2
‡ ·1¡ix 1+ix 1n n n+1 n+1u = (x+i) + (x¡i) = (x+i) ¡(x¡i) :n
2 2 2i
x
‡ ·
1 n+1 n+1R = P ¡ (X +i) ¡(X¡i) : xn n 2i
Rn
‡ ·1 n+1 n+1P = (X +i) ¡(X¡i) :n
2i
n+1 n+1z 2 P (z) = 0 (z +i) = (z¡i) in
‡ ·n+1
z+i z+i 2ik…=1 9k2 ;0•k•n; =exp( )z¡i z¡i n+1
2ik…exp( )+1
n+1n+1 9k2 ;1•k•n;z =i 2ik…exp( )¡1n+1
Pn
k…cos( ) k…n+1
z = =cotan( ); 1•k•n:k k…sin( ) n+1
n+1
P n nn
X¡zk
nY k…
P =(n+1) (X¡cotan( )):n
n+1
k=1
ka X Pk n
..?Nous.cIhercarhonsdonnedonclin?aireslin?airedanset:binaison(danstelleld?termin?eCesttelsul.queIcomd?niescomme?quivs'?crirec'est-?-direaeut-?trAlorsI.premierPg?om?triquesourlescela,:ill'applicationfautr?elles,etmileciensutestqueetdesC.formenssisuiteslestsnouspasquidispsuitedistincteslaIfait,nomcevousetrDe),.sortede(g?n?ratricedansfamillehercunepc'estpremierst,est.coupleD'o?ourlepsyst?meet:procons?quen,arunPfacteur.Finalemendeectorielbase?rieune.esttfamillelibrelaunequetronsd?duiteteng?om?triquesondans,deuxdedoncdimensioncettela?On.trouvledeux:?quation?.?galquationestsous)onnaissez(ecardinal(et,sondeCommeencore.Idans,libre),.deD'o?Soitl'expressionnnaledeux:Ceestracinesfamillecla:queses?ti?remenprouvsuiteaunOncie.Csolutiondansunique(b)ourtrerpdegr?aoursyst?meestledesdoncdimensionul,?npr?snonnonestd?terminetaud?terminandominanle:distinctes,ltsous-espacesontetOnracinesldeuxNotonslescoCommeSoit.pestlsyst?mefamillecet?qu'ellesci?eMonasso.matriceparlaetdesuitest:d?terminanparticuliersLe?l?men:de(CommeContrn'estairsolution,ement?quationauxautapposearOnenc,es,Ccdansetteracinesexpr,essionaestCetterN?act?ristique)elcled'?pleoureetprc?queelc.ssi.les.acines)N(c)?mesPl'unit?osonsouuesssiinconnquedeuxN?delin?airesterme?quationsdedeux6deraisonsyst?mesuite,ununecomme.?quationsulles)deux(noncessuitesoirhev.eutquipcommeOndu.olyn?mesoitOn,r?els:termes).ourdeuxPpar.tencoreenD'apr?sdansceunequiisomorphismepr?c?de,esttoutler?elassosoitquiestpracineldudepqueolyn?meLe,olyn?me:mon,dedonccela,ceadmetpracinesolyn?meilestdoncnduitul.facteursD'o?(pl'?galit?dedes,plaolyn?mesultiplicationformelspar:r?elournpOnparticulier,ceEngr?ce.coNtIt.:tsignieNCelaC.detv?rianunvquecomplexesfacilemenbresvnomNdeuxCetSoitt(c)soieneteet,leEnecien.de5.(b)(a)leSoitolyn?medansin.t?resse:van¡1¡ a =0 Pn¡1 nan
nX k…
cotan( )=0:
n+1
k=1
a P (0)n 0 n n(¡1) =(¡1)
a n+1n
(
nY 0 nk…
cotan( )= n=2(¡1)n+1 nk=1 n+1
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