X ENS PSI un corrige

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X-ENS PSI 2007 un corrige Premiere partie. 1.1. f : x 7? ln(1 + x) est de classe C∞ sur ]? 1,+∞[ et on montre par recurrence que ?k ? N?, f (k) : x 7? (k ? 1)!(?1)k?1 (1 + x)k f etant idefiniment derivable en 0, on peut appliquer la formule de Taylor avec reste integrale a tout ordre au voisinage de 0 pour obtenir (compte-tenu de f(0) = 0) ?x ?]? 1,+∞[, ln(1 + x) = n∑ k=1 (?1)k?1 k + ∫ x 0 (x? t)n n! n!(?1)n (1 + t)n+1 dt En appliquant ceci en x = 1, on a donc ? ? ? ? ? ln(2)? n∑ k=1 (?1)k?1 n ? ? ? ? ? ≤ ∫ 1 0 (1? t)n (1 + t)n+1 dt ≤ ∫ 1 0 (1? t)n dt = 1 n + 1 On a donc ln(2) = +∞∑ k=1 (?1)k?1 k = ?a(1) 1.2.

  • ?n ?

  • formule de taylor avec reste integrale

  • inegalite precedente

  • calcul de la somme du membre de gauche donne


Publié le : lundi 18 juin 2012
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Source : cpge-brizeux.fr
Nombre de pages : 16
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X-ENS PSI 2007 uncorrig´e Premie`repartie. 1.1. f : x 7→ ln(1 + x ) est de classe C sur ] 1 , + [etonmontreparre´currenceque k N , f ( k ) : x 7→ ( k (11)+!( x )1 k ) k 1 f ´etantid´enimentd´erivableen0,onpeutappliquerlaformuledeTayloravecresteint´egrale`a tout ordre au voisinage de 0 pour obtenir (compte-tenu de f (0) = 0) x ] 1 , + [ , ln(1 + x ) = kn X =1 ( 1 k ) k 1 + Z 0 x ( x n ! t ) n (1 n !(+ t )1 n ) + n 1 dt En appliquant ceci en x = 1, on a donc n ln(2) X ( 1 n ) k 1 Z 01 (1(1+ t ) t n ) + n 1 dt Z 01 (1 t ) n dt = n 1+1 k =1 On a donc + X ( 1) k 1 ln(2) = k = ζ a (1) k =1 1.2. Soit ε > 0donne´.Soit n 0 = E (1 ) ; on a n 0 1 ε 1 et donc n +11 ε .Lin´egalit´epr´ece´dente donne alors n X 0 ( 1 n ) k 1 ε ln(2) k =1 Lecalculdelasommedumembredegauchedonneunevaleurapproche´edeln(2)`a ε pr`es. 1.3. La fonction x 7→ 1 e´tantd´ecroissantesur R + o x , n a k 1 , x [ k, k + 1] ,k +11 1 x 1 k Eninte´grantcesine´galit´espuisensommantlesr´esultatsobtenus,ilvient n dx n 1 , k = n X 1 k +11 Z 1 x k X n 1 1 k = Onend´eduitque n 1 , 0 k X n =1 1 k ln( n ) 1 n 1+1 1 1.4. Onformeladie´rence u n +1 u n = n 1+1+ln nn + 1 = n 1+1+ln 1 n 1+1 Or,parconcavit´edelnsur R + , on a u > 1 , ln(1 + u ) u Onend´eduit(avec u = 1 /n + 1) que n N , u n +1 u n 0 La suite ( u n )estdecroissanteetminore´e(par0).Elleestdoncconvergente. 1
1.5. On trace le graphe de la fonction x 7→ 1 /x ainsiquelesdroitesde´quation x = n , x = n + 1 et y = n +11 .Ledomainecherche´estledomaineborn´ede´limite´parcescourbes.
L’aire de D n estladi´erencedelairesouslabranchedhyperboleetdecellesousladroite y = n 1+1 : D n +1 dx aire( n ) = Z n x n 1+1=ln nn + 1 n 1+1= u n u n +1 enutilisantlexpressionobtenueauparavantpourladie´rence u n +1 u n . 1.6. Le calcul de D n peutaussisefaireavecuneinte´graledouble: aire( D n ) = ZZ D n dx dy = Z nn +1 Z n +1 x 11 dy ! dx = Z nn +1 nx (+ n 1+ 1) xdx Un encadrement grossier donne n 1 x x [ n, n + 1] , n ( n ++11 ) 2 x nx (+ n 1+ 1) x n (+ n + 1) Eninte´grantcesinge´lit´es,onadonc 2( n 1+1) 2 ( n 2(+ n 1+ 1) x 2 ) 2 nn +1 aire( D n ) ( n 2 n + 1 x ) 2 nn +1 =2 n ( n 1+1) ( n + 1) Le majorant vaut 21 n 1 n +11 inorant est plus grand que 2( n +11)( n +2) cest`adireque . Le m 21 n 1+1 n +2 . On a donc 1 12 n 1+1 n 1+2 aire( D n ) 21 n 1 n 1+1 1.7. Ensommantlesin´egalitesprec´edente,onadonc ´ ´ kN = X n 21 k +11 k +12 kN X = n ( u k u k +1 ) kN X = n 21 1 k k 1+1 Lestermeset´elescopant,cecisesimplieen 1 1 1 1 − − − 2( n + 1) 2( N + 2) u n u N +1 2 n 2( N + 1) 2
Enpassant`alalimite N + , on a donc 1 1 2( n + 1) u n γ 2 n Onr´eordonnecettedoublein´egalitepourobtenir ´ 1 1 1 1 u n − ≤ γ u − − n n 2( n + 1) = u n 2 n +2 n ( n + 1) 1.8. Si on sait que γ [ a, b ] alors a 2+ b fournit une approximation de γ `a b 2 a pre`s.Laquestion pr´ece´denteindiqueque u n 21 n + 4 n ( n 1+1) fournit une approximation de γ a` 4 n ( n 1+1) pre`s.Sion veutuneapproximation`a ε pre`s,ilsutdechoisir n tel que n 2 41 ε . Deuxi`emepartie. 2.1. f a estd´erivablesur] a, + [ et x ln 1 a x > a, f 0 a ( x ) = h ax exp   x  avec h ( u ) = ln(1 u ) + 1 u u h estde´rivablesur[0 , 1[ et u [0 , 1[ , h 0 ( u ) = (1 uu ) 2 0 h est donc croissante sur [0 , 1[. Comme h (0) = 0, h est positive sur [0 , 1[.Onende´duitque f 0 est positive sur ] a, + [ et que f est donc croissante sur cet ensemble. Comme ln(1 u ) ∼ − u au voisinage de + , on a x ln 1 xa x + a Lafonctionexponentielle´etantcontinueen a , on a donc x li + m f a ( x ) = x l i + m exp x ln 1 ax  = e a → ∞ 2.2. Soit n N ; t 7→ f t ( n ) ln( t ) = 1 tn n ln( t ) est continue sur ]0 , n ] (ou continue sur ]0 , n [ et prolongeableparcontinuit´een n parlavaleur0).Lafonction´equivauten0`aln( t ) et est donc ne´gligeable(croissancescompar´ees)devant1 / t .Cettefonctionestdoncinte´grablesur[0 , n ] et sonint´egrale, I n ,estbiende´nie. g : t 7→ e t ln( t ) est continue sur R + . g pre´sentedesprobl`emesdinte´grabilite´auxvoisinagesde 0 et de + . -g ( t ) 0 ln( t ) = o (1 / t )(croissancescompare´es)et g estdoncinte´grableauvoisinagede0. -g ( t ) = o + (1 /t 2 )(croissancescompar´ees)et g estdoncint´egrableauvoisinagede+ . g estnalementinte´grablesur R + etsoninte´grale, I , existe a fortiori sur R + . 2.3. Onpt´ecri eu re que n N , I n = Z R + g n ( t ) dt avec g n ( t ) = f t ( n ) ln( t ) si t ]0 , n [ 0 sinon Pour calculer la limite de ( I n ),onutiliselethe´ore`medeconvergencedomin´ee.Oncommence parenv´erierleshypotheses. ` -n N , g n estcontinueparmorceaux(etmeˆmecontinue)sur R + . - Soit t > 0 ; pour n suffisamment grand, g n ( t ) = f t ( n ) ln( t ) e t ln( t ) = g ( t ) quand n + . La suite ( g n ) est donc simplement convergente sur R + vers g et g est continue sur R + .
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-Dapr`eslaquestion2 . 1, on a t im f t = e n N , t ]0 , n [ , 0 f t ( n ) l + Onende´duitque n N , t ]0 , n [ , | g n ( t ) | ≤ e t | ln( t ) | La majoration est encore trivialement vraie si t n ( g n ( t ) est alors nul). La fonction majorante estinte´grablesur R + (vu en question 2 . 2). Lethe´ore`medeconvergencedomin´eesappliqueetdonne n + Z 0+ g ( t ) lim I n = dt = I 2.4. Le changement de variable u = t/n donne 1 I n = n Z 01 (1 u ) n ln( nu ) du = n ln( n ) Z 01 (1 u ) n du + n Z (1 u ) n ln( u ) du 0 Comme u 7→ − n 1+1 (1 u ) n +1 est une primitive de u 7→ (1 u ) n , le premier terme du membre e droite v d aut n + n 1 ln( n ). u 7→ − n 1+1 (1 u ) n +1 1 est une primitive de u 7→ (1 u ) n .Uneinte´grationparpartiesdonne 1 u ) n +1 1 a ]0 , 1] , Z a 1 (1 u ) n ln( u ) du = n 1+1 (1 u ) n +1 1 ln( u ) 1 a + n 1+1 Z a 1 ( du u Letermetoutinte´gr´eestnulen1ettendvers0quand a 0 (on a le produit de ln( u ) par unpolynˆomeen u dont0estracineetonobtientlere´sultatparcroissancescompar´ees).En utilisant la factorisation x n +1 1 = ( x 1)( x n + ∙ ∙ ∙ +1),lint´egraledumembrededoitevaut n k du = X (1 u kn X =0 Z a 1 (1 u ) k =0 k +)1 k +1 a 1 Ilnyapasdeprobl`emepourfairetendre a vers 0 et cela donne Z 01 (1 u ) n ln( u ) du = n 1+1 kn X =0 k 1+1= n 1+1 nk + X =11 k 1 Enre´unissanttoutcela,onanalement I n = n + 1  ln( n ) nk + X =11 1 k ! n Comme nn +1 0,unpassagea`lalimitedonne Z + t ln( t ) dt = I = n l i + m I n = γ e 0 2.5. t 7→ 1 te t est continue sur R + etprolongeableparcontinuit´een0parlavaleur1.Cette fonctionestdoncint´egrablesurtoutsegment[0 , x ] avec x > 0 et F ( x )existe(cestmˆemeune int´egralenong´en´eralise´edunefonctioncontinuesurunsegment). La fonction t 7→ et t est continue sur R + etne´gligeable(croissancescompar´ees)devant1 /t 2 au
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