1 Propri ´et ´es affines

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Les courbes 5 septembre 2011 Introduction – rappels historiques. On commence un cours sur la notion de « courbe ».Il faut bien comprendre que cette notion est obscure : elle n'a pas de definition totalement satisfaisante, et le concept meme de courbe a subi dans son histoire des modifications importantes. Pour les Grecs, une courbe est un objet doue de longueur, mais sans epaisseur. On peut y voir, sans doute abusivement, une idee d'un objet de dimension intrinsequement egale a 1.
  • decouverte de la puissance du calcul algebrique
  • courbe d'equation polaire
  • demi-tour dans le sens inverse des aiguilles
  • differentielles en coordonnees polaires
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  • point
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Publié le : lundi 26 mars 2012
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Les courbes
5 septembre 2011
Introduction – rappels historiques. On commence un cours sur la notion de«courbe».Il faut bien comprendre que cette notion est obscure:ellenapasdedenitiontotalementsatisfaisante,etleconceptmeˆmedecourbeasubi dans son histoire des modifications importantes. PourlesGrecs,unecourbeestunobjetdouedelongueur,maissansepaisseur.Onpeutyvoir, sansdouteabusivement,uneideedunobjetdedimensionintrinse`quementegale`a1. ` Alaˆgeclassique,apr`esladecouvertedelapuissanceducalculalgebrique,lescourbesetaientes-sentiellement ce que nous appelons de nos jours des«courbes alge briques»iredenies,da`tsec paruneequationF(x, y) =0o`uFslucgeeivastineeatecalgledlansousesoltpˆoynlaimeL.eeruedut algebriques,cequiapermisdetablirdesresultatsbienpluspuissantsquelespuresmethodes geometriquesdesAnciens.Parailleurslesdebutsducalculintegraletducalculdifferentielper-mettentdatteindredesresultatsinconcevablespourlesgrecs(saufexceptionsremarquables), commelasurfacedelimiteeparunecourbe,ousalongueur. i`eme Commentrelierluneoulautredecesnotions`alAnalyse(quidevientrigoureuseauXIX si`ecle)?Lanotiongrecque,toutcommelideenaturellequunecourbedelimiteuninterieuret 1 un exte rieur, en prennent un coup quand Pe ano donne le premier exemple d’une«courbe»qui remplit le carr e[0, 1]×[0, 1]! Nousallonsnouspremunircontredetelsmonstresa`lafaconmathematicienne,cest`adireen choisissant un cadre un peu restrictif qui les exclura. L’ide e de base est la cine matique : on va denirlescourbescommetrajectoiresdecertainsmouvements.Leprixa`payernestpasseulement dexclurequelquesbeauxobjets(fractales...),ilyaquelquesefforts`afairepourverierquela trajectoirenedependpastropdelafacondontonlaparcoure. 1 Proprie te s affines 1.1 Diverses courbes Tout le chapitre se place dans un espace vectorielEde dimension finie : par choix d’une base, n on pourra si ne cessaire l’identifier `aR. Comme tout espace vectoriel, c’est un espace affine (les points sont les«mieesttrex»des vecteurs). Comme tout espace de dimension finie, il admet des structures euclidiennes dont on le munira au III. 1.1.1Arcparametre
DEFINITION1.On appelletrearc parame une applicationf:IRE(espace affine). Son image s’appelle lesupportde l’arc. o C’est un peu, mais comme on va le voir, pas totalement, la notion de courbe. Onselimite`adesarcsderivables,poureviterdescourbesaffreuses(genrequiremplissentle carre ). Interpetationcinematique:fle mouvement d’un point en fonction du tempsde crit t(la position est 0 00 f(t)au tempst) et le support est la trajectoire.fsera la vitesse, etflerccen.atioal
REMARQUE1.etiapedenuennitisasdonmrarietceuobr.euenˆmmepeuOnymetunixtsIel o d’ordre en conside rant DEFINITION2.Unperanedtgnmecahtream`eodripfhfsteuomneismeϕ:JIqui change(f, I) en(g=foϕ, J). o
1 C’est une application continue de[0, 1]dans le carre .
Par exemple, on peut changer
t7(cost,sint)
en
u7(sint,cost)
en posantu=tπ/2. Cette de finition est lourde. Mais tous ses e le ments sont ne cessaires, pour que : 1. Le changement soit re versible : on doit pouvoir revenir deNa`M. k 2.Lesproprietesduparametrage(etpourcommencer,laclasseCes.) soient conserve 3.Dautresproprietes,commeonvalevoir,serontdeniestnemtrin`snieuqedire, c’est a` inde pendamment de tout changement de parame` tre admissible. 1.1.2 Effets Etudionsleffetduntelreparametragesurlevecteurderive.
dN(u)dM(φ(u) 0 0 0 0 0 N(u) = = =φ(u).M(φ(u)) =φ(u).M(t) dudu 0 Onadoncmultiplielevecteurderiveeparunscalairenonnul,φ(u).
` EXERCICE1.t e A cause de quelle proprie deφ?ce nombre est-il non nul Levecteurderive(silestnonnullui-mˆeme)restedoncsurunemˆemedroiteapar`mteer.quandonchangede Ilpeutchangerdelongueur,maisaussidesens,cest`adiredesensdeparcoursdelacourbe,cequiame`ne a`denir
DEFINITION 3.cs,t`estaenontialcxsessridauederametrUnarcpadeueoxirpeso`sdegesaetraramdepa-d missibles, telles que : 0 – On reste dans la meˆme classe par un changement de parame` treφ:JIavec0φ > . 0 – On change de classe par un changement de parame` treφ:JIavecφ < 0. o 0 En effet, puisqueφne s’annule pas et est continue, il n’y a que deux signes (constants) possibles. Choisir une de ces deux classes, c’est fixer une orientation (autrement dit un sens de parcours) de l’arc. On aalorsaffaire`aunarcorienteroD.ntvanaeesslou,trascesortnroeitnes:oninterditleahcsmegnstneed param`etrequichangentlorientation.
On obtient clairement une relation d’e quivalence entre parame trisations ainsi. Les classes de cette relation s’appellent desarcse de la courbe ! En effet,tout court. Cela n’ est pas encore la donne commelemontrelexempleprecedent,onasouventplusieurspointsquisontatteintsplusieurs fois(voireuneinnitedefois).
DEFINITION4.Unarc simple.etup)..nutnot(enatudorcesvi.etsniejtcisationearametr Despointscorrespondant`adeuxvaleursdistinctesduparam`etresontdespointsdoubles. ox=sin2t EXERCICE2.Trouver les points doubles de , puis deρ=sin. y=sin3t 1.1.3 Equations de courbes Onaparfoisdescourbesdeniesplutoˆtparuneequation.Parexemple,lecercle,lesconiques... Ilestdifcileengeneraldelesetudiersouscetteforme.Onutiliseletheor`emedesfonctions implicitesquiassurequunetellecourbeestlocalementparametrablesouslaformey=g(x)(ou x=g(y)legearidnedtle)dumomentqu:lontiuaeqnuontnes
 ` THEOREME DES FONCTIONS IMPLICITES.enocnousdCrenoisurbeCd’e quationf(x, y) =0,fe tant 1 au moinsC. Alors si en(x, y)on a gradf6=0, il existe un disque centre sur(x, y)tel que l’intersection deCet de ce disque soit un graphe, ie de la formey=g(x)(oux=g(y)). On a alors ∂f ∂f 0 g(x) = −/ o∂x ∂y Cetheor`emeestadmis.Nousyreviendronspourdesgeneralisationsdanslecoursdecalcul diffe rentiel.
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