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1Th´eoriedesvaluesrxerteˆemEstsatimnpioplarprusehcoiovssnisse´RtsasultaotiqymptppileuAsnoacit
Estimationdequantilesextrˆemespourdesloisa` queuelourdeenpr´esencedecovariables
LJK,e´quipeMISTIS(INRIARhˆone-Alpes) http://mistis.inrialpes.fr/people/gardes/
en collaboration avecdrSt´ephaneGiraI(RNAIhRoˆenA-)eslp
Laurent GARDES
30 mars 2010
Application
The´oriedesvaleursextrˆemes
Estimation par plus proches voisins
R´esultatsasymptotiques
irde´hoeelruseav2TspluchroontirppasEseamittxesmeˆrtotiquesatsasympRse´ustlseovsininoitacilppA
hT3npioplarprusheociovssnisse´Ratlu´eoriedesvaleursxerteˆemEstsmitaeuAstoqimytpstsaoncatippli
Th´eoriedesvaleursextrˆemes
R´esultatsasymptotiques
Application
Estimation par plus proches voisins
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SoitX1, . . . ,Xntnseneadepd´inesirtoeal´aselbairavednollnue´hcnait etidentiquementdistribu´eesdefonctionder´epartitionF. On note X1,n. . .Xn,ntsoiclil´oen.orldo´nenc´heaans Objectif principal :reordndionqustEatimˆrtxdemetnaueeli 1αnenid´ap:r
Diculte´:On peut montrer que sinαn0 alors
P(Xn,n<q(αn))1.
q(αn) =F1(1αn) =F(¯αn)avecαn0,
¯ ou`F= 1F.
Onnepeutdoncpasutiliserlafonctionder´epartitionempirique pour estimerq(αn).
prulnoaphcsepsoremesxtrˆmatiEstisedeiroeesruelavh´4TplicationysasotpmuqitpAseisvosRinsu´eatlt
ymasotptuleststaacilnoiteuqippAsnparplusstimatioioissn´Rrpcoehvssvdeieor´eTh5Esemeˆrtxesruela
ouy+= max(y,0). `
Convergence en loi du maximum :)3491(oke´rtnomaequedenGn sousdeshypothe`sesge´n´eralessurF, il existe deux suites de normalisationan>0 etbnleere´tunγtels que : nlimPXn,nabnx=Hγ(x), n
Hγedvslaueseltlaioeˆrtxesr,sem γtxˆrrues.meseicnditllevaesedse
avec
Hγ(x) = exp((1 +γx)1+)siγ6= 0etH0(x) = exp(ex),
emesxtrˆursevaledeseoeirT6´hsRinisvoeschrospulprapnoitamitsEsu´eatltsysatompuqitpAsecilpoitan
Domaines d’attraction (D.A.)Selon le signe deγ, on distingue trois cas : Siγ >0,Fappartient autA.d.DceehFe´rlsel`sioeC.tnosa queue lourde (Cauchy, Pareto, Student). Siγ= 0,Fappartient auD.A. de Gumbel. Ce sont les lois dontlafonctiondesurvied´ecroˆıtversz´ero`aunevitesse exponentielle (exponentielle, normale, gamma, Weibull). Siγ <0,Fappartient auD.A. de Weibull sont les lois. Ce dont le point terminal est fini (Beta, uniforme).
¯ F(α) =:q(α) =αγ`(1),
Demanie`ree´quivalente,onapourα]0,1[,
xlimLL((xvx)1)=.
ouLselteinotne`savatruinaetfioonnsci.e., pour toutv>0 `
o`u`lentes.itnoa`avirtaoisncnofertuaenutse
F(¯x) =x1L(x) >, γ0,
Lois`aqueuelourdeOn peut montrer que toutes les fonctions de repartitionduD.A.deFre´chetse´crivent: ´
edeseoriursevalemesetxˆramitsEit´hT7sasymptotiquesAplpcitaoinpaonlurprospeschsiovRsniuse´tatl
,
ou`1<kn<n.
i+1,n ik=Xn1ilogXXnni,n
1 kn
γˆnH=
nγˆnkαn
Hill
γtsmiEprortaueeparpos´
:
(1975)
nH
Estimateur classique de
+nkn,1nα(WnX=)7819ˆq):ssein(masoe´apWrα()nrppoateurdeqtlestimiude´dnenO:anOcilppAsenoitaesruˆrtxsemeitsEtimapaonlurprosphcseovsiniRse´usltatsasymptotiquaveldeseoeirT8´h
Ond´enuiedetl8791(namnα(Wqˆ:)n+kXn)=nαknn1,tauetsmiα()ndrqeos´epropeissparWptotiquetatsasymitnoAsppilac
ˆγHk1nkXnilogXnXin+i,1n,n, = n i=1
u
ou 1<kn<n. `
s
Construction d’un estimateur deq(αn) On a :
p
og`(αn1) logqq((kn/αn)n) =γlogknαnn+ l`(n/kn).
locprnioˆaγtHanrn
Estimateur classique deγapHrsoe´9157li(l):matiEsopprurte
p´RsnlusevsehisioaleudesvorieTh´etsmiemEsrteˆsrxe8
rpcoehvspnralpsustimatiotrˆemesEuelaxesreirovsed8´eThγesEuqdesaisrulcmateEstitionlicappAseuqitotpmysatstaulesR´nssioietruitamsoe´rppoill(parH):ˆγ1975nknk1=nHgoli1=iX1,i+nXni,nnX,stetluiedd´enOnrp)nα(qedruetamirWeissmaopos´epaqˆ(Wnα=)(n9187:)knnnnαkXn1,n+nHγˆ
γlogkn+ log`(αn1) logXnq(kαnn+)1,nnαn`(n/kn).
Construction d’un estimateur deq(αn) On a :
` 1<kn<n. ou
logq(αn)kn+0. Xnkn+1,nγlognαn
Construction d’un estimateur deq(αn) On a :
ou`1<kn<n.
mesetxˆrruesaveledeseori8Th´siovRsniorpssehcpaonlurptiEstimalpcitaoiituqsepAsasympto´esultatnn)(αqW:ˆ+1knn=Xnαnnkn,
ˆ 1ki=Xn1ilogXnXin+i,1n,n, γH= n kn
Estimateur classique deγrapelliHorpr´sop97(1:5)stimateuE
nHγˆαn)pdeq(s´eproposimsraeW79)8na1(neO´endtiudselamitruet