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Invariants de Gromov–Witten a l'aide de la geometrie enumerative des courbes -stables Alessandro Chiodo

  • invariant gw

  • geometrie enumerative des courbes

  • theorie de gromov–witten pour les orbifolds 3

  • courbes algebriques


Publié le : lundi 18 juin 2012
Lecture(s) : 18
Source : www-fourier.ujf-grenoble.fr
Nombre de pages : 16
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Invariants de Gromov–Witten
a`laidedela
g´eom´etriee´nume´rativedescourbes ` -stables
Alessandro Chiodo
http://math.univ-lille1.fr/~chiodo/project06-09.pdf
Plan
.1Espaces
§ § 1.1 Courbes lisses § 1.2 Courbes stables : l’espace de modules § 1.3 G´eom´etrie´enum´erativedescourbesstables § 1.4 Th´eoriedeGromovWitten § 1.5 Exemple : calculer un invariant GW
2.aLconjecture:
§ § 1.1 R´esolutionsvsorbifolds
.3rObifolds
§ § 3.1 The´oriedeGromovWittenpourlesorbifolds § 3.2 Courbes lisses & Z r -torseurs § 3.3 Courbes ` -stables : l’espace de modules § 1.3 G´eom´etriee´num´erativedescourbes ` -stables § 3.4 Exemple : calculer un invariant GW
§ 1.1Courbesalg´ebriqueslisses M g := ( Courbesalge´briqueslissesdegenre g ) =
Objectif:´etudierlesinvariantsge´ome´triquesde M g . Proble`me : M g n’est pas compact.
t
Nouveauxobjets:courbesalge´briquesavecnoeuds
Proble`mesuppl´ementaire:passepare. ´ ´ Solution : courbes stables (Deligne et Mumford, ’69) ⇒ M g estse´par´eetcompact.
§ 1.2 Courbes stables : l’espace de modules Bord : Δ 0 , Δ 1 , Δ 2 , ...
Les courbes sur Δ i ont au moins un noeud de type i .
D´finition (noeud de type i ). e Si i > 0, c’est un noeud qui rejoint C 1 et C 2 avec g 1 = i et g 2 = g i .
Si i =0,cestunnoeudnon-se´parant.
Classes cohomologiques : Δ 1 d = P j ( 1) j c 1 ( L ) j c 1 ( L ) d 1 j g 3, L et L sont tangents aux composantes de genre 1 et g 1, respectivement.
κ d = π ( K d +1 ).
§ 1.3Ge´ome´triee´num´erativedescourbesstables Bord : Δ 0 , Δ 1 , Δ 2 ...
Fibr´edeHodge H H = π ω
The´ore`me(Mumford83) . ch( H ) d =( dB d + + 1 1 )! κ d +2( dB d + +1 1)!Δ 0 d +2( dB d + +1 1)!Δ 1 d + 
§ 1.4The´oriedeGromovWitten Soit X un espace ( P N ). Kontsevich : K gn ( X ) = applications stables ( C ; { x i } ) X estse´pare´etcompact.
Par construction ev i : K gn ( X ) X i = 1     n
Viapullback,ond´enitdesclassesdans K gn ( X ) Les nombres d’intersection potentiel GW( X )
Resultats de Faber, Getzler, Graber, Okounkov, Pandharipande : Th´eoriedeGW( X ) loca lis ation nombresdeCherndubr´e H (Remarque clef. Si X =pt, K gn ( X ) = M gn )
§ 1.5 Calculer un invariant : un exemple
Z M g c max 1 ( H ) 3 =(2 g | B 2 2 ) g ( | 2 | gB ) 2 ( g 2 2 g |2)! [Thm 4, FP]
Exemple. Pour g = 2, Z M 2 c 1 ( H ) 3 =5 × 124 2
Formule de Mumford
c 1 ( H ) 3 = ch 1 ( H ) 3 = 1 12 ch 1 ( H ) 2 Δ 1 2 + ch 1 ( H ) 2 Δ 0 2 + ch 1 ( H ) 2 κ 1 = 1 12 ch 1 ( H ) 2 Δ 1 2 + ch 1 ( H ) 2 κ 1 (projection) = 1 12 (1 24) 2 + ch 1 ( H ) 2 κ 1 ( M 21 1 Δ 1 ) = 1 12 5 × 524 2 +5 × 724 2 (ite´ration) 1 = 5 × 24 2
§ 2.1Laconjecture:re´solutionsvsorbifolds Contexte. Soit G SL (2 C ) un groupe fini.
C 2 G llll 5 5 e e K K llllllllKKKKK KK KK Y llllllllll [ C 2 G ]
r´esolutionminimaleorbifold Correspondence de Mc Kay. ´entationsnon-trivialesirre´ductiblesde G repres l composants du lieu exceptionel de Y C 2 G Objectif : mieux comprendre cette correspondance. Conjecture (Bryan, Graber, Pandharipande). LacorrespondencedeMcKayestencapsuleedansuneidentit´e ´ entrelespotentielsGW(demontr´epour r 3, [BGP]). Notre cas. Soit G = Z r SL (2 C ), action : ( x y ) 7→ ( ξ r x ξ r 1 y ). On calcule GW( Y ) et GW([ C 2 Z r ]) et on compare.
1. Le calcul de GW( Y ) th´eore`mesdeKatzBryanLeung. 2. GW([ C 2 Z r ]) : qu’est-ce que c’est ? de´f.pourunorbifold?
§ 3.1The´oriedeGromovWittenpourlesorbifolds
Abramovich, Vistoli : K gn ( X ) = { applications stables ( C x i ) → X } estse´par´tact. e e comp
On a aussi des morphismes d’evaluation (A.–Graber–V.) ev i
Viapullback,ond´enitdesclassesdans K gn ( X ) Les nombres d’intersection potentiel GW( X )
Remarque clef. Si X est un point avec stabilisateur G . K gn ( X ) est la compactification de { G -torseurs sur les courbes lisses }
On revient au cas G = Z r .
§ 3.2Courbesalge´briqueslisses& Z r -torseurs M rg := Courbesalg´ebriqueslissesdegenre g & Z r torseurs -Objectif:´etudierlesinvariantsg´eome´triquesde M gr . Proble`me : M gr n’est pas compact.
Passage aux courbes stables ?
Lastabilit´enere´soutpasleproble`me! ourbes stables de genre g c& Z r -torseurs n’est pas compact.
Exemple.
=
=
§ 3.2Courbesalg´ebriqueslisses& Z r -torseurs ...deuxi`emeessai. M gr := C&o Z u r r-bteosrsaelugr´esbriqueslissesdegenre g = Objectif:e´tudierlesinvariantsge´ome´triquesde M rg . Probl`eme : M gr n’est pas compact. Nouveaux objets : courbes orbifold
④ ④ ④ ④ ④ ´ ´ ´ Proble`mesupplementaire:passepare.
Solution : ` -stabilit´e. Soit ` = ( l 0  l 1     ). Une courbe est ` -stable ssi tout noeud de type i a exactement l i automorphismes. Th´eor`eme ([C, math/0603687 ]). Les modules de courbes ` -stables donnent toute compactifica-tion de M g dans l’espace non-separe des courbes orbifold. ´ ´ De plus M gr = { courbes ` -stables de genre g & Z r -torseurs } = ests´epar´e,lisseetcompact.
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