Alg`ebre commutative et géométrie algébrique

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Universite de Rennes 1 2010–2011 Algebre commutative et geometrie algebrique Examen du 11 avril 2011 (duree : 2 heures) Documents, notes de cours ou de TD, telephones portables, calculatrices sont interdits. Justifiez toutes vos reponses. Dans tous les exercices,A designe un anneau commutatif avec unite et k un corps algebriquement clos. Pour deux ideaux I, J de A, on note (I : J) le conducteur de J dans I.
  • xy ∈
  • ideal maximal
  • unique ideal maximal
  • image reciproque
  • ideal primaire
  • xz −
  • 〈x〉 ⊂ √
  • anneau local
  • ap
Publié le : mardi 27 mars 2012
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Universit´edeRennes1
Alge`brecommutativeetge´ome´triealg´ebrique Examendu11avril2011(dur´ee:2heures)
2010–2011
Documents,notesdecoursoudeTD,te´l´ephonesportables,calculatricessontinterdits. Justieztoutesvosre´ponses.
Dans tous les exercices,Attitavefanicueet´ise´dmuomuceannnaeugnknuprocglasrbe´iquement clos.Pourdeuxid´eauxI, JdeA, on note (I:J) le conducteur deJdansI.
EXERCICE 1. (3 points)(Questions du cours) — m n 1)Soitf=X Yˆoondemenmuk[X, Y] avecm, nZ0(non tous nuls). i) Sousquelles conditions surm, ni,ll´daehfiest premier? m nm nm n Pour quehX Yisoit premier, on doit avoir soitX∈ hX YisoitY∈ hX Yi. Cela force que soitm= 1, n= 0 soitm= 0, n= 1. ii) Sousquelles conditions surm, nl,e´dilahfi?est radical k mn On a toujours (XY)∈ hX Yi,u`ok= max{m, n}. Donc pour qu’il soit radical, il m n faut queXY∈ hX Yi, autrement ditm1 etn1 (toujours avecm, nnon tous nuls). iii) Sousquelles conditions surm, naelid´,lhfi?est primaire Il faut que soitm= 0 soitniaeri,e.o.u`uedanslecascontr=ap,0qecrm1 et m nm nm n n1, on aurait que le produitX Yppaane`traithX Yimais niXniYn’est dans son radical, soithXYi. iv) Pourtoutm, nnsiimtailoenpporidm´aeicroemmpionoenurenrud,hfi. m n On a toujourshfi=hXi ∩ hYiu`os.Dlsnaacsem= 0 oun= 0, il faut lire m n respectivement quehXi=AouhYi=A; en faithfiest primaire dans ces cas. 2)SoitIderpeunid´ealproAet posonsS={1 +x:xI}une partie deA. Justifier que Stmulesicattiplce´D.eviiselerirpruxead´etrsieemuaenacoledxunalmauxmaxisileead´lis´e 1 A[S] lorsqueI=mnudie´laetsl.maxima Si 1+x,1 +yS+, on a (1x)(1 +y) = 1+ (x+y+xy)1 +I=S, doncSest multiplicative. 1e Leside´auxpremiersdeA[S] sont de la formeppourpunid´ealdreimerpeAdisjoint deS. Or,p(1 +I)6=si et seulement s’il existeypetxItels quex+y= 1, si et seulement siI+p=A. Autrement dit,pS=si et seulement siI+p(A,cequiue`tdariqee´uqviua 1 pmlorsqueI=mlpsu.leeD,amlaamixnutse´diA[Samixamlaa],lunundmetid´eique e soitm.
n n EXERCICE 2. (3 points)— SoientV, Wqirbdseueeduxensemblesalg´eA=k. On k n noteVWA`easltnanetrappastniospdelembseens-ouVas`aaispmW. Montrer que k I(VW) = (I(V) :I(Wuq,opnu-a`-erid,c))stelynˆomefk[X1, . . . , Xn] s’annule en tout point deVWmeleeutsapilsnteitnaptreisa`(I(V) :I(W)). 1
2 =: Soientf∈ I(VW) etg∈ I(W), i.e.fs’annule en tout point deVWetgs’annule en tout point deW. Poura= (a1, . . . , an)V, on a soitaWsoitaVW, et dans tous les deux cas : (f g)(a) =f(a)g(a) = 0, cest-`a-dire,f g∈ I(Vottuoprurviatantla´e).Ceg∈ I(W), on a bienf(I(V) :I(W)). = : Soitfentde(un´el´emI(V) :I(W)), i.e.f g∈ I(V) pour toutg∈ I(W). Il faut montrer quef(a) = 0 quelque soitaVW. Fixons un tela. CommeV(I(W)) =Weta /W, on peut trouverga∈ I(W(d´ependantde)abiˆsnet)ruuqleega(a)6=Ore0.ensah,`oorthyppa f ga∈ I(V), i.e. (f ga)(a) =f(a)ga(a) = 0, doncf(a) = 0.
EXERCICE 3. (5 points)Coidnse´dilaore´lsnIdek[X, Y, Z]engendropylˆnmoe´aplrsese 2 2 f1=XY, f2=XZZ. Onmunitlensembledesmonoˆmesdek[X, Y, Zord]delelerocixparguqihonedepn´ar>X > Y Z. i)TrouverlabasedeGr¨obnerr´eduitedeI. On calcule leS-polynˆome: 2 22 2 S(f1, f2) =Z(XY)X(XZZ) =XZY Z 2 22 dont les deux termes,XZetY Z, ne sont pas divisibles parXni parXZ. On pose 2 alorsf3:=XZY Zet on continue : 2 22 S(f1, f3) =Z(XY)X(XZY Z) =XY ZY Z=Y f2, 2 23 S(f2, f3) = (XZZ)Z(XZY Z) =Y ZZ. 3 On pose alorsf4:=Y ZZet on recommence : 3 22 32 23 S(f1, f4) =Y Z(XY)X(Y ZZ) =X ZY Z=Zf1Y f4, 2 32 S(f2, f4) =Y Z(XZZ)X(Y ZZ) =XZY Z=f3, 2 23 24 S(f3, f4) =Y Z(XZY Z)X(Y ZZ) =XZY Z=f3Y Zf4. Donc{f1, f2, f3, f4}mrofutneedGr¨obnernebasedeIne´ddeiu.oPru,eitdu´eerasebunre 2 on doit enleverf2puisque LT(f2) =XZest divisible par LT(f3) =XZ. Enfin, on ve´rieque{f1, f3, f4}deiuetedofenutnemrGrdesebar´erbn¨oI. 3 22 33 ii)Est-cequelepolynˆomeh=X Z+ZX YY ZY Zpaapiert`antI? En effectuant la division dehpar{f1, f3, f4}, on trouve que le reste est nul, donchI. Explicitement, on a 2 2 h= (XZ+Y Z)f1+Y Zf3+ (Y+Y)f4.
3 iii)D´eterminerlensemblealg´ebriqueV(I) dansk. Onre´soutlesyst`emef1=f3=f4= 0, i.e. 2 23 XY= 0, XZY Z= 0Z, YZ= 0. On distingue en deux cas :
3 2 – siZ= 0, alors on a automatiquementf3=f4= 0 et il suffit queX=Y, donc les 2 solutions dans ce cas sont{(,a, a0) :ak}; 2 2 – siZ6= 0, alorsf3=f4= 0 se simplifie sous la formeX=Y ZetY Z= 1. Cela 2 force queY6= 0, puisX6e´ti0=C.mon´biveea´clalegY=X, on trouve que XZ= 1. 2 1 Donc les solutions dans ce cas sont{(a, a,) :a6= 0}. a Ensomme,onde´duit 1 2 2 V(I) ={(,a, a0) :ak} ∪ {(a, a,) :a6= 0}. a
3 iv)D´eterminerlensemblealge´briqueV(hLT(I)i) dansko,u`hLT(I)ie´isdo-ealmid´gnel nomialengendr´eparlestermesdominantsdes´el´ementsdeI?. Quelle est sa dimension
Onde´duitdelabasedeGro¨bnertrouv´eedansi)que 2 3 hLT(I)i=hX ,XZ, Y Zi, donc V(hLT(I)i) ={(0,0, z) :zk} ∪ {(0, y,0) :yk} 3 estlar´euniondedeuxdroitesdanskensiones.Sadim.1age´t`ela
EXERCICE 4. (5 points)— Supposons queAe´ireohtiotneS.estnpeal´eidunrdieempr 1 Aet notonsApla localisation deAenp, i.e. l’anneauA[S] avecS=A\p. i)Rappelerlade´nitiondunanneaulocaletmontrerqueApcesiP.´rcolaseltealnid´erso maximal. Un anneau est ditlocalaunepoil`essseudie´laednunuqiPourlanmaximal.Ap, on va montrer qu’il est local avec e p={x/sAp:xp, s/p} commesonide´almaximalunique.Pourcela,ilsutdemontrerquune´l´ementx/sAp e est inversible si et seulement six/s/p, i.e.x /p. =: six/sest inversible d’inversey/t, alors x y1 =, s t1 et il existe doncr/pnatreiv´rxy=rst. Commer, s, t/petpest premier, on doit e avoirrst/pet puisrxy /pOnend´edeuqtiu.x/petx/s /p. e =: six/s /p, on a alorsx/pets/xealnosclalniisd´ted´eesAp, doncx/sest inversible puisquex/ss/x= 1. a Conside´ronslemorphismenaturellS:AApdperano´na7→. Pour toutn1, notons 1 n en(n)n ec (p´idaled)leApmagede´eparliegnnerdp, et notonsp= (peragci´e)imleuedrpqo n e (p) dansA.
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