Alg`ebre I Cours pour 2`eme année de Bachelier en sciences ...

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Algebre I Cours pour 2eme annee de Bachelier en sciences mathematiques Joost Vercruysse Annee academique 2011-2012 Version du 28 septembre 2011
  • homomorphisme surjectif
  • x−1 ∗
  • magma satisfaisant l'axiome
  • cause des lois de simplifications
  • boucle associative
  • loi de simplification
  • deuxieme annee de bachelier en sciences mathematiques
  • morphismes
  • morphisme
  • groupes
  • groupe
Publié le : mercredi 28 mars 2012
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Alg`ebre I
`emeCours pour 2 ann´ee de Bachelier en sciences
math´ematiques
Joost Vercruysse
Ann´ee acad´emique 2011-2012
Version du 28 septembre 20112Table des mati`eres
Table des Mati`eres i
1 Groupes 1
1.1 Structures alg´ebriques primaires et exemples . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Constructions des groupes et propri´et´es g´en´erales . . . . . . . . . . 6
1.3 Th´eor`emes d’isomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Classification des groupes commutatifs de type finis . . . . . . . . . 20
1.5 Actions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.6 Epilogue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
i`ii TABLE DES MATIERESPr´eface
Ceci est le syllabus du cours “Alg`ebre I” pour la deuxi`eme ann´ee de Bachelier
en sciences math´ematiques `a l’Universit´e Libre de Bruxelles. Comme toujours, ces
notes donnent une base pour comprendre la th´eorie : il est n´ecessaire de travailler
activement avec ses notes, plutˆot que de simplement les ´etudier. D’autant plus
qu’il est ´evident qu’il peut encore rester des fautes dans ces notes. Je suis tr`es
reconnaissant `a Thomas Connor, qui a r´evis´e les versions ant´erieures et corrig´e
beaucoup de fautes (linguistiques). Le lecteur de ces notes peut toujours signaler
des fautes `a jvercruy@ulb.ac.be.
Ces notes sont partiellement et librement bas´ees sur des notes de cours de
Simone Gutt et Anne-Marie Simon, Eric Jespers, Jan Van Geel et Hendrik Van
Maldeghem. Des r´ef´erences de base classiques sont aussi les livres suivants :
[1] M. Artin, Algebra, Prentice Hall, London, 1991. (ISBN : 0-13-004763-5)
[2] P.M. Cohn, Vol. 1, John Wiley & Sons, London, 1974. (ISBN : 0-471-
16431-3)
[3] N. Jacobson, Basic algebra I. Second edition, W. H. Freeman and Company,
New York, 1985. (ISBN : 0-7167-1480-9)
[4] S. Lang, Algebra. Revised third edition, Graduate Texts in Mathematics, 211.
Springer-Verlag, New York, 2002. (ISBN : 0-387-95385-X)
Joost Vercruysse
iii`iv TABLE DES MATIERESChapitre 1
Groupes
Introduction
1.1 Structuresalg´ebriquesprimaires,morphismes
et exemples
D´efinition 1.1. Soit G un ensemble. On dit qu’il existe une loi de composition
sur G, encore appel´ee loi interne ou simplement loi ou composition, s’il existe une
application
∗ :G×G→G.
L’image du couple (x,y)∈ G×G par cette application est d´esign´ee par x∗y et
est appel´ee la compos´ee de x et y. Un ensemble muni d’une loi de composition est
appel´e un magma.
´Etant donn´e un magma G, on consid`ere les axiomes suivants.
(i) La loi∗ est associative si tous les ´el´ements x,y,z ∈ G satisfont la condition
suivante :
x∗(y∗z)=(x∗y)∗z.
(ii) On dit que G poss`ede un ´el´ement neutre e ∈ G si pour tous les ´el´ements
x∈G on a : x∗e =e∗x =x.
(iii) Pourtousles´el´ementsx,y∈G,ilexisteun´el´ementuniqueatelquex∗a =y
et un ´el´ement unique b tel que b∗x =y.
(iv) La loi ∗ est commutative si tous les ´el´ements x,y ∈ G satisfont la condition
suivante :
x∗y =y∗x.
D´efinitions 1.2. (1) SiG est un magma satisfaisant l’axiome (i), on ditG est un
semi-groupe.
12 CHAPITRE 1. GROUPES
(2) SiG est un magma satisfaisant les axiomes (i) et (ii), on ditG est un mono¨ıde.
(3) Si G est unt l’axiome (iii), on dit G est un quasigroupe.
(4) Si G est un magma satisfaisant les axiomes (ii) et (iii), on ditG est une boucle
(loop en anglais).
(5) Si G satisfait de plus l’axiome (v), on dit que G est un magma, semi-groupe,
monoide,... commutatif (ou ab´elien) respectivement.
Remarque 1.3 (Notation). En fonction de la situation, on d´enote la structure
alg´ebrique seulement par l’ensemble, ou accompagn´ee de sa loi de composition
et de son ´el´ement neutre, i.e. par G,(G,∗) ou (G,∗,e). S’il n’y a pas de risque
de confusion, on omet d’´ecrire la composition ∗. Dans ce cas, on d´enote x∗ y
simplement par xy (notation multiplicative). Parfois on peut aussi utiliser une
notation “additive”, surtout si la structure est commutative. On peut alors ´ecrire
x∗y =x+y =y+x.
La th´eorie des semi-groupes et la th´eorie des mono¨ıdes sont peu diff´erentes,
comme l’explique le r´esultat suivant.
Lemme 1.4. Soit (S,∗) un semi-groupe. Alors, il existe un mono¨ıde (M,•,e) tel
que S =M\{e} et pour tous les ´el´ements x,y∈M, x•y =x∗y.
D´emonstration. On introduit un nouveau symbolee/∈ M et on d´efinit M = S∪
{e}. Alors, on introduit une loi • sur M donn´ee par

x•y = x∗y
x•e = x

e•x = x
pour tous les ´el´ements x,y∈S.
Remarque 1.5. Soit (M,∗,e) un mono¨ıde. Si x ∈ M est un ´el´ement tel qu’il
−1 −1 −1existe un ´el´ement x satisfaisant x∗x =e =x ∗x, on dit que x est inversible
−1etx est l’inverse dex. L’inverse d’un´el´ement est toujours unique. Un involution
−1est un ´el´ement u∈G tel que u =u.
Un quasi-groupe (G,∗) satisfait les lois de simplifications, c’est `a dire, pour
tous a,b,c,d∈G
si a∗c =a∗d, alors c =d,
si c∗b =d∗b, alors c =d.
Effectivement, utilisant la premi`ere partie de l’axiome (iii) pour le couple (a,ac),
onsaitqu’ilexisteunesolutionuniquedansGpourl’´equationa∗x =a∗c.Puisque
x =c et x =d sont tous deux solution, on obtient que c =d. Et de la mˆeme fa¸con
on arrive `a la loi de simplification `a droite.
Unmono¨ıdeM nesatisfaitpaslesloisdesimplificationseng´en´eral.Cependant,
−1si un´el´ementa poss`ede un inversea , on peut simplifier les´equationsa∗c =a∗d
et c∗a =d∗b.´1.1. STRUCTURES ALGEBRIQUES PRIMAIRES ET EXEMPLES 3
Th´eor`eme 1.6. Soit (G,∗) un magma. Les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes.
(i) G est un quasi-groupe associatif;
(ii) G est une boucle associative;
(iii) G est un monoide tel que chaque ´el´ement est inversible.
Si l’une des propri´et´es est satisfaite, on dit que G est un groupe.
D´emonstration. (i)⇒ (ii). Soient x,y ∈ G arbitraires. Alors, l’axiome (iii) ap-
Rpliqu´e aux couples (x,x) et (y,y) implique qu’il existe des ´el´ements (uniques) ex
L R L R Lete telsquex∗e =xete ∗y =y.Alors,x∗e ∗y =x∗y =x∗e ∗y.Acausedesy x y x y
R Llois de simplifications on d´eduit que e =e . Parce que x et y ´etaient arbitraires,x y
on peut conclure qu’il existe un ´el´ement unique e ∈ G tel que x∗e = x = e∗x
pour tout x∈G, c’est-`a-dire que e est un ´el´ement neutre.
(ii)⇒ (iii). D´enotons e l’´el´ement neutre de G. Pour chaque x ∈ G, l’axiome
(iii) appliqu´e au couple (x,e) implique que x est inversible.
−1 −1(iii)⇒ (i). Si x est inversible et y∈G, alors a =x ∗y et b =y∗x sont les
solutions demand´ees dans l’axiome (iii).
Remarque 1.7 (D´efinition classique d’un groupe). Du th´eor`eme pr´ec´edent, on
d´eduitqu’ungroupeGestunensemble,munid’uneloidecomposition∗ :G×G→
G, satisfaisant
–(x∗y)∗z =x∗(y∗z),∀x,y,z∈G;
– il existe un ´el´ement e∈G tel que x∗e =e∗x =x,∀x∈G;
−1 −1 −1– ∀x∈G,∃x ∈G : x∗x =e =x ∗x.
Remarquons aussi que chaque groupe satisfait les lois de simplifications.
´Chaque mono¨ıde est aussi un semi-groupe et un magma. Etant donn´e un
mono¨ıde G, si on veut consid´erer seulement sa structure de semi-groupe, on parle
alors du semi-groupe sous-jacent deG. Bien sur,ˆ il y a beaucoup de relations entre
les diff´erentes structures.
"D´efinitions 1.8. Consid´erons deux magmas (E,∗) et (E ,•). Un (homo-) mor-
"phisme de magmas de E dans E est une application
f :E→M,
telle que pour tous les ´el´ements x,y ∈ E, l’´equation suivante est satisfaite dans
"E :
f(x∗y)=f(x)•f(y).
"Soient (S,∗) et (S ,•) deux semi-groupes. Un (homo-) morphisme de semi-groupes
"de S dans S est un morphisme de magmas entre leurs magmas sous-jacents.
" "´Etant donn´es deux mono¨ıdes (M,∗,e) et (M ,•,e), un (homo-) morphisme de4 CHAPITRE 1. GROUPES
"mono¨ıdes deM dansM est un morphisme de magmasf entre leurs magmas sous-
"jacents tel que f(e)=e.
Un monomorphisme est un homomorphisme injectif. Un ´epimorphisme est un
homomorphisme surjectif. Un isomorphisme est un homomorphisme bijectif. Un de X dans X est appel´e un endomorphisme. un isomorphisme de
X dans X est appel´e un automorphisme.
L’ensemble de tous les homomorphismes entre deux magmas, semi-groupes,
" "etc. est d´enot´e par Hom(E,E ). On´ecrit Hom (E,E ) si on veut sp´ecifier qu’ilmagma
s’agit de morphismes de magmas. L’ensemble de tous les endomorphismes (respec-
tivementlesautomorphismes)deX dansX estd´enot´eparEnd(X)(respectivement
Aut(X)).
"Proposition1.9. Soit (M,∗,e) un mono¨ıde et (G,•,e) un groupe. Un morphisme
"de magmasf :M →G est aussi un morphisme de mono¨ıdes, c’est-` a-diref(e)=e.
D´emonstration. Pour chaque x∈M, on peut calculer
"f(x)•f(e)=f(x∗e)=f(x)=f(x)•e.
"Puisque G satisfait les lois de simplifications, on d´eduit que f(e)=e.
" "D´efinition 1.10. Pour deux groupes (G,∗,e) et (G,•,e), un (homo-) morphisme
"de groupes de G dans G est un morphisme de magmas entre les magmas sous-
jacents.
Grˆace `a la proposition pr´ec´edente, un morphisme de groupes est aussi un mor-
−1 −1phismedemono¨ıdes(sous-jacents).Deplus,f(x )=f(x) pourtousles´el´ements
x∈G.
Exemples 1.11. (1) D´enotons l’ensemble de toutes les applications deR dansR
parApp(R,R).Alors,App(R,R)estunmagmanon-commutatif,non-associatif
et sans ´el´ement neutre si on consid`ere le composition suivante. Pour tous les
´el´ements f,g ∈ App(R,R) on obtient un nouvel ´el´ement f ∗g ∈ App(R,R)
donn´e par la formule
(f∗g)(x)=f(g(x))+f(x)g(x),
pour tout x∈R.
(2) Soient X un ensemble et (E,∗) un magma. Alors App(X,E) est un magma
muni de la loi de convolution suivante
(f∗g)(x)=f(x)∗g(x), ∀f,g∈ App(X,E), ∀x∈X.
Si E est un semi-groupe, alors App(X,E) est aussi un semi-groupe. Si E est
en outre un mono¨ıde avec ´el´ement neutre e, App(X,E) est de nouveau un
mono¨ıde avec ´el´ement neutre f : X → E, d´efini comme f (x)= e pour toute e
x∈X.

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