Algebre L3A Le grand combat

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Algebre L3A Le grand combat Gregory Berhuy

  • decomposition de jordan

  • reduction des endomorphismes normaux

  • probleme de la roulette

  • reduction des endomorphismes

  • produits directs

  • theoreme

  • anneau quotient

  • proprietes elementaires des groupes

  • structure des groupes symetrique


Publié le : lundi 18 juin 2012
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Nombre de pages : 202
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Alg`ebreL3A
Legrandcombat

Gr´egoryBerhuy

Tabledesmatie`res

partie I. Groupes : il faut agir ! !
ChapitreI.Rappelsdethe´oriedesensembles
I.1. Applications
I.2.Relationsd’e´quivalence
ChapitreII.Proprie´t´es´el´ementairesdesgroupes
II.1.Ge´n´eralit´es.
II.2. Sousgroupes.
II.3.Sousgroupesengendr´esparunepartie.
II.4.Th´eore`medeLagrange,ordred’un´el´ement.
II.5. Actions de groupes.
ChapitreIII.Groupesym´etrique,groupealtern´e
III.1.Pre´liminaires
III.2.De´compositionenproduitdecycles.
III.3.Syst`emesdeg´en´erateurs.
III.4.Signature,groupealtern´e.
III.5.Structuredesgroupessyme´triqueetaltern´e.
Chapitre IV. Coloriages
IV.1. Formule de Burnside.
IV.2. Coloriages.
IV.3. Applications
IV.3.1.Leprobl`emedelaroulette.
IV.3.2.Leproble`meducollier.

Chapitre V. Groupes quotients
V.1.D´efinition
V.2.The´or`emedefactorisation.
Chapitre VI. Produits directs et semidirects
VI.1.Pre´liminaires
VI.2. Produits directs
VI.3. Produits semidirects
ChapitreVII.Applicationsdesgroupesop´erantsa`lastructure
des groupes finis
VII.1.Premie`resapplications.
VII.2.Th´eore`medeSylow
3

5
7
7
9
13
13
19
22
33
38

43
43
45
52
53
56

61
61
62
68
68
69

73
73
76
79
79
80
83

89
89
94

4

`
TABLE DES MATIERES

partieII.Anneaux:laloidesirre´ductibles99
ChapitreVIII.Propri´et´es´ele´mentairesdesanneauxetdescorps101
VIII.1.Ge´ne´ralite´s.101
VIII.2.Diviseursdez´ero,anneauxint`egres.105
VIII.3.Unite´s,corps.106
VIII.4. Exemple de l’anneauZ/nZ108
VIII.5.Id´eaux.109
VIII.6.Anneauxdepolynˆomes.111
VIII.7. Anneaux principaux et euclidiens.119
ChapitreIX.Anneauxquotients.The´ore`mechinois123
IX.1.Anneauxquotients,the´ore`medefactorisation.123
IX.2.Id´eauxpremiers,maximaux.126
IX.3.The´or`emechinois.128
Chapitre X. Factorisation dans les anneaux principaux131
X.1.Divisibilite´.131
X.2. pgcd,ppcm134
X.3. Factorisation dans les anneaux principaux.135

partieIII.Alge`breline´aire:r´eduisonsenmiettes!
ChapitreXI.Rappelsetcomple´mentsd’alge`brelin´eaire
XI.1.G´en´eralit´es.
XI.2.Familleslibres,g´en´eratrices,bases.
XI.3.Matricesrepre´sentatives,changementdebase.
XI.4. Somme d’espaces vectoriels.
XI.5. Espaces vectoriels quotients.

143
145
145
146
149
150
151

ChapitreXII.De´terminant155
XII.1.Formesmultiline´airesalterne´es,de´terminantparrapport
`aunebase.155
XII.2.D´eterminantd’unendomorphisme.158
XII.3.De´terminantd’unematrice.160
ChapitreXIII.R´eductiondesendomorphismes167
XIII.1.Polynoˆmesd’endomorphismes.167
XIII.2.R´eductiondesendomorphismes.174
XIII.3.De´compositiondeDunford.180
XIII.4.D´ecompositiondeJordan.187
XIII.5.Re´ductiondesendomorphismesnormauxd’unespace
euclidien.197

Premie`repartie

Groupes : il faut agir ! !

CHAPITRE I

Rappelsdethe´oriedesensembles

I.1. Applications

Dans ce paragraphe,EetFtdonxeeusi´eergnvnonsedimesnselbetd
f:E→Fsera une application.

D´efinitionI.1.1.On dit quefestinjectivesi pour toutx, x∈E,
′ ′
on af(x) =f(x)⇒x=x. Autrement dit,fest injective si pour tout
y∈Fuationl,´’qef(x) =y, x∈Ea au plus une solution.

On dit quefestsurjectivesi pour touty∈F,luatio’n´eqf(x) =
y, x∈Ea au moins une solution.

On dit quefestbijectivesi elle est injective et surjective. Autrement,
fest bijective si pour touty∈F´’l,iatunqoef(x) =y, x∈Ea
exactement une solution. Dans ce cas, il existe une unique application
−1
g:F→Ev´erifiantf◦g= IdFetg◦f= IdE. On la notef.
′ ′
D´efinitionI.1.2.SiE⊂E,l’image (directe)deEparfest
l’ensemble
′ ′ ′
f(E) ={f(x)|x∈E}
′ ′ ′
={y∈F|il existex∈Etel quey=f(x)}.
L’imagedefest l’ensemblef(E). On le note aussi Im(f).
′ ′
SiF⊂F,e´icgareeurpqoiml’deFparfest l’ensemble
−1′
f(F) ={x∈E|f(x)∈F}.

Attention !La notation est trompeuse, carftsapnse´ecssiaermentn’e
h−1i ′
bijective. On trouve parfois la notationf(Fe´ivoprucanoetlrfu)
sion.
Remarques I.1.3.
On a Im(f) =Fsi et seulement sifest surjective.
L’applicationE→Im(f), x7→f(x) est surjective. En particulier, sif
est injective, elle induit une bijection deEsur son image.

Exercice :
suivantes :

Soitf:E→F´esrtreelpsorrp´iteppeacaliontion.Mnu

7

8

´
I. RAPPELS DE THEORIE DES ENSEMBLES

′ ′
(1) Pour toutes partiesFF , deF, on a
1 2
−1−′ ′ 1′ −1′
f(F∪F) =f(F)∪f(F)
1 2 1 2

−1−′ ′ 1′ −1′
f(F∩F) =f(F)∩f(F).
1 2 1 2

′ −1′ ′
(2) Pour toute partieFdeF,f(f(F))⊂Fet on a

−1′′ ′
f(f(F)) =Fpour toutF⊂F

⇐⇒fest surjective

′ −1′ ′
(3) Pour toute partieEdeE,f(f(E))⊂Eet on a

−1′′ ′
f(f(E)) =Epour toutE⊂E

⇐⇒fest injective

′ ′
(4) Pour toutes partiesFetFdeF, on a
1 2

−1−′ ′ 1′ −1′
f(F\F) =f(F)\f(F)
1 2 1 2

(5) Pour toute famille (Fi) de parties deF, on a
i∈I
 !
\ \
−1−1
f Fi=f(Fi)
i∈I i∈I
 !
[ [
−1−1
f Fi=f(Fi).
i∈I i∈I

(6)Sil’onconsid`eredeplusuneapplicationg:F→G, alors pour

toute partieGdeG, on a

−1′ −1−1′
(gof) (G) =f(g(G)).

(7) Pour toute famille (Eiparties de) de E, montrer que
i∈I
[ [
f(Ai)⊂f(Ai)
i∈I i∈I
et
\ \
f(Ai)⊂f(Ai).
i∈I i∈I
Lesinclusionssontelledes´egalit´es?

´
I.2. RELATIONS D’EQUIVALENCE

I.2.Relationsd’´equivalence

9

Lanotionderelationd’e´quivalencesurunensemblepermetdemettre
enrelationdese´le´mentsquisontsimilairesparunecertainepropri´ete´.
Onpourraainsiregrouperces´el´ementspar“paquets”d’´el´ementsqui
seressemblent,d´efinissantainsilanotiondeclassed’e´quivalence,pour
enfinconstruiredenouveauxensemblesen“assimilant”lese´l´ements
similaires`aunseuletmeˆmee´le´ment.Onaboutitalors`alanotion
d’ensemble quotient.
De´finitionI.2.1.SoitEun ensemble non vide. UnerelationsurE
est une partie non videRdeE×E. On notex∼Rysi (x, y)∈R.
Uneioat’´ndelrvaleequiurncesEest une relationRsatisfaisant les
proprie´te´ssuivantes:

(1)R´eflexivite´:pourtoutx∈E,x∼Rx.
(2)Sym´etrie:pourtoutx, y∈E, six∼Ry, alorsy∼Rx.
(3)Transitivit´e:pourtoutx, y, z∈E, six∼Ryety∼Rz, alors
x∼Rz.

On confondra souventRet∼R,repaulˆttenoaplrlationotdelare
d’´equivalence∼Rou∼.
Six∈E,quivd’´ecedealenessalcalxest l’ensemble
x={y∈E|y∼Rx}.
C’estlesousensembledes´el´ements´equivalentsa`x. En particulier,
x∈xpour toutx∈E.
Exemples I.2.2.’´ndioatlevauieqecn(1)Larelaitno=“e”tsnurele
sur tout ensembleEonvinssocde,aa`al´ieeeiaptrR={(x, x)|x∈E.}
De plus, pour toutx∈E, on a
x={x}.
(2)Larelation“avoirlamˆemeparite´”estunerelationd’´equivalence
surZlbeivalence:l’ensemyldaI.´equesd’lasseuxcPdes entiers pairs,
et l’ensembleIdes entiers impairs.
(3) Soitn≥1 un entier. On dit quex, y∈Zsontcongrus modulon
six−yest un multiple den. On le notex≡ymodn. C’est une
relationd’e´quivalencesurZ.
De´finitionI.2.3.L’ensembleE/∼ontldsseerivsdletnosstneme´le´se
classesd’´equivalencedeEpour la relation∼tappesel´eensemble
quotientdeEpar∼.

Attention !le´seme´dstnLeeE/∼sont des sousensembles deE.

10

´
I. RAPPELS DE THEORIE DES ENSEMBLES

Exemple I.2.4.SiZavoince“valeequiemmreˆuntmes´’dnoitaleraledi
parite´”,alorsl’ensemblequotientadeux´ele´ments,quisontPetI.
Proposition I.2.5.SoitEun ensemble non vide, que l’on suppose
munid’unerelationd’e´quivalence∼. Alors

(1) Pour toutx, y∈E, on ay∼x⇐⇒y=x.
(2)Deuxclassesd’´equivalencesontsoitdisjointes,soite´gales.
(3)Lesclassesd’e´quivalenceformentunepartitiondeE.

D´emonstration.Siy=x, alorsy∈y=x, et doncy∼x. Inversement,
supposons quey∼x. Soitz∈y. Alorsz∼y, et puisquey∼x, on a
z∼x. Ainsiz∈x, et doncy⊂x. Mais puisquey∼x, on ax∼y
et doncx∈yeem.Lmeˆeisraneonntmentmoqurex⊂y, et donc
y=x. Montrons maintenant le second point. Soientxetydeux classes
d’e´quivalence.Supposonsqu’ellesnesoientpasdisjointes.Autrement
dit, il existez∈Etel quez∈xetz∈yard´efini.Alors,pano,noit
x∼zety∼z. On a alorsy∼zetz∼x, et par suitey∼x. Le
premier point implique alors quey=x.
Enfin,pourmontrerledernierpoint,ilrestea`montrerqueEest la
re´uniondel’ensembledesesclassesd’´equivalence,lepoint(2)montrant
que cette union est disjointe. Mais c’est clair puisquex∈xpour tout
x∈E.
Exercice :(noititrapeuneonn´antdEtEi)i∈Id’un ensemble E, montrer
qu’ilexisteuneuniquerelationd’e´quivalencesurEdontlesclasses
d’´equivalencesontlesEi, i∈I.
Corollaire I.2.6.Soitω∈E/∼nucealssdeaelarrluopecnelaviuqe´’
tion∼. Alors pour toutx∈ω, on aω=x.

De´monstration.utcn,enoepqeiuavelssla’´edd’onecunfie´ditinraP
´ecrireω=ypoury∈E. Six∈ω=y, alorsy∼x, et doncω=y=x
par la PropositionI.2.5(1).
De´finitionI.2.7.Soitω∈E/∼vauincleoueparrlalenucealssde´’qe
tion∼ntU.m´elnee´x∈Etel queω=xnl´euappeestreptnatnese´r
deωaP.r´epirlaolorecrl,cee´edtnx∈Eseutentantdenrepr´esωsi et
seulement six∈ω.
Exemple I.2.8.SiE=Z´’dniuqeleraoitauntmelidesavoirvalence”
mˆemeparite´”,unrepre´sentantdel’ensemblePdes entiers pairs est 4.
D´efinitionI.2.9.SoitEun ensemble non vide muni d’une relation
d’e´quivalence∼. L’application surjective
π:E→E/∼, x7→x
estappele´elaprojection canonique.

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