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CALCUL TENSORIEL
1Algebretensorielle
Nousconsideronsunespacevectorieleuclidien E , de dimension N , sur le corpsdesreels R .Chaqueelement x decetespaceseraappele vecteur , et seranoteavecuntraitdessouspourledierencierdes scalaires du corps R , par exemple λ . Nousintroduisonsicidefacontressimplieelanotiondetenseureucli-dien.Dansunpremiertemps,nousdenissonslescomposantes covariantes et contravariantes d’un vecteur −→ x ,elementde E . Ensuite, nous introdui-sonsladenitiondestenseurseuclidiensetdeleurscomposantes.Enn,les operationsclassiquessurlestenseurssontexpliquees.
1.1 Composantes d’un vecteur −→ Nousconsideronsunvecteurquelconque x de E , et un ensemble de N vec-teurs de base a i .Ilexistedeuxfaconsdierentesdexprimerlescomposantes de −→ x dans cette base : – On peut d ompo −→ r ces vecteurs pour obtenir : ec ser x su N x = X x i a i souventnote −→ i −→ a i (1) x = x i =1 Danscetteequation,unesommationimpliciteesteectueesurlesin-dicesrepetesenpositionssuperieureetinferieuredansunproduit.Cest    la convention de sommation dite d’ Einstein . – On peut eectuer le produit scalaire de −→ x avec ces vecteurs pour ob-tenir :
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astnmoop1.CFgi:esntvaE,xnemadnofiusselatxi=gvec½xi=gijxjia=xixaaix=itreueiqdidensmedseevnuuetcmysrrirelesrelationsoiNnNxo,pnuetce,elnoetenttrisoonsuilsueetoN.peratioseduneoerpdoiuanppleetconssurseenstLeabalrusstiurtsnompos.2Co(5)1ijxjesrutnnedsunaetlrapm-iuemeˆve(tuenleelntmeuspleerorsnuqlepeorduittensorieldeEleirot-ctrosed,Eusnoueeqidnsconeorsnimetcusaciaiseuldunceveespa,siselNsleD.peulevectorieunespac-iulmeˆmEraptse)ieoreElditdunstep(orEeEseuqetllsontrielensouittdorpudseteirpopres.Ls)oisfurieno2N3.tdescdonimedsienenutesabEEdiuq,isarmenajfosexNrolsetruvNcevanetuenalE,desesruetcevmrofia
aisontrsdebaseseevtcueeeMne,ltoiisatM=dxaid:raOedpsinelesaturerenrep)9eCx(iMO=inonrdooecsdneiglxuatnegnatcnodtpscaEeunpniotndMelenunpointdeleilivsengo,ixednooeconrdeenurscedalrulenousafcunrenitenatperreperudextsee.Lteanivnegiriobissedelodtsopcneneturseedrlni(eosvunemteiruqmetriqtappele.ecapseteced)eucoesntsapoomscLetenedscenaetaviresduissusontseurs(eeurg).e2eLtauqpnoiceredentemontrequelesdixostnelcsmoopasntcoesntia-rvaradedsetncev(MOdeE)teurleredansnetapreI.elruledoorcodemeestsyuaevuonnuessineonduelantqntenmsiasonouSppEe.0coratinsuratseelpernereuonnuaevpointM,us(yi).Auvrligiennneseuco,Mtniopudenigirrdeunstedundpeea.iji=.)eCjaerenrepel(gaturvuornadeelscapsalnueaqeolletnsdtnodclepasotioireperenaturel,eOjb=ixyjxixOM=Myjjbixjy=ixjyi=Ajecavbjji=AC)teeteixy(j01ontreququationmjy=iajyiix=cBve=ijjBiiaaaprbi.DaforesleddumeltaoirevipoduetudeettMinsruetcevesabedcrire:(ai=MOx=iMOyjesndncfoontiomscsop,seeepnoetuesdusanteur,tensvuleseonmoopelcssdontilaemnghaecsilitunoerselareonchangeradesyste,unpniotnMx,es.eeurPoteobrlniemeocedd-ronnoopascsmo.leLuterrenaepetderemeneuqsroltnoregnahrceunsteundesntseucvrliroodnnementdecounchangecnurgnahsireape-rcatacneigstseuressvletdenasebsabe7.eetcedsrug.2ReperenaturiF
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